中南大学线性代数4.1 4.2特征值与特征向量ppt课件.ppt

第一节 特征值与特征向量,第四章,二、 特征值与特征向量的概念,四、 小结,一、 正交矩阵与正交变换,三、 特征值与特征向量的性质,证明,定义,定理,一、正交矩阵与正交变换,方阵 为正交矩阵的充要条件是 的列（行）向量组是正交的单位向量组,说明：,由上述定理可知：,性质 正交变换保持向量的内积长度及夹角不变,证明,定义 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换，即,正交矩阵的性质：,说明,二、特征值与特征向量,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则,证明,证明：,证明,则,即,类推之，有,三、特征值和特征向量的性质,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；但是一个特征向量只能属于一个特征值,例1,解,解,得基础解系为：,解,方法一,方法二,方法三,例4 设A是 阶方阵，其特征多项式为,解,1 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,四、小结,2. 正交矩阵的性质：,3.求矩阵特征值与特征向量的步骤：,思考题,解,