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    离散型随机变量的均值和方差课件.ppt

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    离散型随机变量的均值和方差课件.ppt

    离散型随机变量的均值和方差,离散型随机变量的均值和方差,复习引入,对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期望与方差.,复习引入 对于离散型随机变量,可以由它的概率分,一、离散型随机变量取值的平均值,数学期望,一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:,则称,为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,一、离散型随机变量取值的平均值数学期望一般地,若离散型随机变,1、随机变量的分布列是,(1)则E= .,2、随机变量的分布列是,2.4,E=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,1、随机变量的分布列是(1)则E=,归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤:,、确定离散型随机变量可能的取值。,、写出分布列,并检查分布列的正确与否。,、求出均值(期望)。,归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤: 、确定离散型随,1:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X1, X2分布列如下:,从以数据你能否说明谁的射击水平高?,解,表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中平均得分差别不会很大,,1:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X1, X2分布,2. 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1,你赢8元;出现2或3或4,你输3元;出现5或6,不输不赢这场赌博对你是否有利?,对你不利!劝君莫参加赌博.,2.对你不利!劝君莫参加赌博.,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次的得分X的数学期望?,解:X的可能取值为0,1,其分布列如下,例题讲解,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已,则E(X) p,若XH(N ,M , n),则E(X),若XB(n,p),则E(X)np,若XB(1,p),各种不同概率模型下的数学期望,则E(X) p若XH(N ,M , n)则E(X)若X,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和,则,B(20,0.9),B(20,0.25),,所以E200.918,,E200.255,由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5.这样,他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890,,E(5)5E5525,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7,他连续罚球3次;(1)求他得到的分数X的分布列;(2)求X的期望。,解:,(1) XB(3,0.7),(2),3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已知,所以, 的分布列为,1: 则,所以, 的分布列为1:,离散型随机变量的均值的理解(1)均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数,是由X的概率分布唯一确定的,它描述X取值的平均状态(3)变量YaXb的均值E(aXb)aE(X)b说明随机变量X的线性函数YaXb的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线性函数,此式可有以下几种特殊形式:,离散型随机变量的均值的理解,当b0时,E(aX)aE(X),此式表明常量与随机变量乘积的均值,等于常量与随机变量均值的乘积当a1时,E(Xb)E(X)b,此式表明随机变量与常量和的均值,等于随机变量的均值与这个常量的和当a0时,E(b)b,此式表明常量的均值等于这个常量.,当b0时,E(aX)aE(X),此式表明常量与随机变量,2设的分布列为:又设25,则E(),D,2设的分布列为:D,1口袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,以表示取出球的最大号码,则E值的是()A4B4.5 C4.75 D5,3若随机变量B(n,0.6),且E3,则P(1)的值是()A20.44 B20.45 C30.44 D30.64,B,A,C,1口袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,4已知B B ,且E()15,则E()等于()A5 B10 C15 D20,B,A,4已知B B,6已知X的概率分布如下,E(X)7.5,则a_.,7,7若随机变量X的分布列是P(xk) 0.1k0.94k,k0,1,2,3,4.则EX_.,8两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数的数数学期望E_.,0.4,6已知X的概率分布如下,E(X)7.5,则a_,E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0,P(=k)= Cnkpkqn-k,证明:,=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np, 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0,( k Cnk =n Cn-1k-1),若B(n,p),则E= np,E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+,第二课时:随机变量取值的方差和标准差,第二课时:随机变量取值的方差和标准差,如果其他对手的射击成绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛?,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数x1、x2的分布列如下:,试比较两名射手的射击水平.,如果其他对手的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛?,显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.,探究,方差定义,一组数据的方差:,在一组数:x1,x2 ,xn 中,各数据的平均数为 ,则这组数据的方差为:,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.,新课,方差定义一组数据的方差:方差反映了这组数据的波动情况,离散型随机变量取值的方差和标准差:,定义,离散型随机变量取值的方差和标准差:则称为随机变量x的方差.一,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值.,记忆方法: “三个x”,练习一下,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,,练习一下,结论1: 则 ;,结论2:若B(n,p),则E= np.,可以证明, 对于方差有下面重要性质:,则,结论,练习一下结论1: 则,几个常用公式:,几个常用公式:,1. 已知随机变量x的分布列,求Dx和x.,解:,2. 若随机变量x 满足P(xc)1,其中c为常数,求Ex 和 Dx.,Exc1c,Dx(cc)210,练习,1. 已知随机变量x的分布列求Dx和x. 解:2.,再看一例,例2,试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛?如果其他对手的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛?,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数x1、x2的分布列如下:,如果对手在8环左右,派甲. 如果对手在9环左右,派乙.,思考,再看一例例2 试比较两名射手的射击水平.如果其他,例题:甲乙两人每天产量相同,它们的次品个数分别为 ,其分布列为,判断甲乙两人生产水平的高低?,解答,练习,例题:甲乙两人每天产量相同,它们的次品个数分别为,E=00.3+10.320.230.2=1.3,E=00.1+10.520.4=1.3,D=(01.3)20.3+(11.3)20.3(21.3)20.2(3-1.3)20.2=1.21,结论:甲乙两人次品个数的平均值相等,但甲的稳定性不如乙,乙的生产水平高.,期望值高,平均值大,水平高方差值小,稳定性高,水平高,E=00.3+10.320.230.2=1.3,例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:,根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?,解:,在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.,例题,例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:根据工,练习一下,结论1: 则 ;,结论2:若B(n,p),则E= np.,可以证明, 对于方差有下面两个重要性质:,则,结论,练习一下结论1: 则,五、几个常用公式:,五、几个常用公式:,例如:已知某离散型随机变量的分布列如下,则a_,数学均值(期望)E_,方差D_.2.一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么DX_.3一般地:随机变量与随机变量满足关系ab,其中a,b为常数,则D_.,n6p0.4,0.4,1,0.8,p(1p),a2D,4若B(n,p),则D_.例如:设B(n,p),且E2.4,D1.44,求n,p.,np(1p),例如:已知某离散型随机变量的分布列如下,则a_,1已知随机变量的分布列为:P(k) ,k1,2,3,则D(35)()A6 B9 C3 D4,2设B(n,p),且E12,D4,则n与p的值分别为(),A,C,1已知随机变量的分布列为:P(k) ,k1,4设随机变量XB(n,p),且EX1.6,DX1.28,则()An8,p0.2 Bn4,p0.4Cn5,p0.32 Dn7,p0.45,A,3.已知3 ,且D13,那么D的值为()A39 B117 C39 D117,解析:DD(3 )9D913117.答案:B,4设随机变量XB(n,p),且EX1.6,DX1.2,5已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0,DX1,则a_,b_.,5已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0,DX1,6.投弹一次命中次数X服从两点分布,而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验,命中次数Y服从二项分布解(1)X的分布列为:,E(X)00.210.80.8.D(X)(00.8)20.2(10.8)20.80.16.(2)由题意知,命中次数Y服从二项分布,即YB(10,0.8),E(Y)np100.88,D(Y)100.80.21.6.,6.某人投弹命中目标的概率为p0.8.(1)求投弹一次,命中次数X的均值和方差;(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差,6.投弹一次命中次数X服从两点分布,而重复10次投弹可以认,7已知某运动员投篮命中率p0.6.(1)求一次投篮时命中次数的期望与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数的期望与方差,分析:(1)投篮一次可能投中,也可能不中,投中次数服从两点分布(2)重复五次投篮的投中次数服从二项分布,解析:(1)投篮一次命中次数的分布列为:,7已知某运动员投篮命中率p0.6.分析:(1)投篮一次可,则E00.410.60.6,D(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数服从二项分布,即B(5,0.6)由二项分布期望与方差的计算公式,有E50.63,D50.60.41.2.,点评:求离散型随机变量的期望与方差的关键环节有以下两点:(1)写出离散型随机变量的分布列;(2)正确应用期望与方差公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式),则E00.410.60.6,点评:求离散型随机变,课堂小结,一、离散型随机变量的期望和方差,二、性质,三、如果随机变量X服从两点分布,,四、如果随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),课堂小结一、离散型随机变量的期望和方差,1.一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分,学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。,五、巩固应用,1.一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,2. 决策问题: 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备,有以下种方案:方案1:运走设备,搬运费为3800元。方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能 挡住小洪水。方案3:不采取措施,希望不发生洪水。试比较哪一种方案好。,2. 决策问题:,3.某商场的促销决策: 统计资料表明,每年国庆节商场内促销活动可获利2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元;如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式?,3.某商场的促销决策:,

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