偏微分课程ppt课件4 双曲型方程的差分方法(I).ppt

1,第三章 双曲型方程定解问题 的有限差分法,3.1 一阶线性常系数双曲型方程3.2 一阶线性常系数双曲型方程组3.3 变系数双曲型方程及方程组,2,u定义在xt平面上的一个区域内.,(一) 一阶线性常系数双曲型方程,下面考察方程解u在定义域内直线x=at+C上的变化规律.,解u在直线x=at+C上的解等于常数.,3,解u在直线x=at+C上的等于常数,任意在xt平面上方程定义域内取点,在此点做特征线x=at+C, 那么,特征线与t=0交于点,-特征线,由点,任意性, 可知,解u在直线x=at+C上的解等于常数.,4,对于定解问题,方程的解为,见10页,5,1.迎风格式,关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。,6,7,条件稳定,条件满足,8,条件稳定,9,绝对不稳定,课堂练习,证明：,差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。,10,11,迎风格式统一形式,12,2 Lax-Friedrichs格式,13,绝对不稳定,Lax-Friedrichs格式,14,则稳定,15,Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。,16,3. Lax-Wendroff格式（2阶精度）,17,18,左偏心格式,P点数值解依赖于DC内节点上的函数值-依赖区域,4. Courant-Friedrichs-Lewy条件（C.F.L.条件）,19,P点数值解依赖于DC内节点上的函数值-依赖区域,点微分方程解依赖区域,差分方程的依赖区域端点构成的区间DC内, 否则 没有关系。即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域。,C.F.L.条件,应在,20,不收敛,21,微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域,右偏心格式C.F.L.条件,22,Lax-Wendroff格式的C.F.L条件,23,C.F.L.条件,差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域,C.F.L.条件是格式收敛的必要条件.,24,25,不稳定，,C.F.L.条件下不收敛（非充分条件）,C.F.L.条件仍为,课堂练习,1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的C.F.L.条件。,右偏心格式C.F.L.条件,27,左偏心格式C.F.L.条件,不收敛,28,5.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式,29,30,设B,C,D处的值已知，下面来确定点P处的值u(P),1.由B、C线性插值求u(Q):2.由B、D线性插值求u(Q):3.由B、C、D二次插值求u(Q):,过P做特征线,Lax-Wendroff格式,4.由A、B、C二次插值求u(Q):,Beam-Warming格式,Lax-Fridriches格式,32,B，C点插值,33,B，D点插值,34,B，C, D点插值,35,Lax-Wendroff格式,36,A,B,C三点做抛物插值，可得Q点函数值，即Beam-Warming格式（二阶迎风格式，1976）,稳定性条件：,时间步长限制较宽,37,6.蛙跳格式,38,39,详见p53,40,一阶双曲方程,在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，以上两种二阶格式通常会观察到由色散现象引起的数值震荡。,44,一个好的数值方法不仅应该在真解充分光滑的区域有效的逼近真解，而且应该尽可能精确的捕捉和跟踪间断。高阶格式一般有较大的色散（相位误差）因此会 在解间断附近产生数值震荡；低阶格式则有较大的耗散（振幅衰减）； 两者对间断解得逼近精度都不高。,解光滑处尽量使用高阶格式（保证差分格式在解 光滑处有较高的局部截断误差）；解间断的地方尽量使用低阶迎风格式，以保证差 分格式在解的间断有足够的数值黏性，从而避免 在间断处产生过度的数值震荡；如何切换或结合高阶和低阶格式以保证格式整体 的实际逼近精度和稳定性绝不是一件简单的工作。,45,作业,P802. 直接证明求解 的Lax-Wendroff格式是二阶精度的格式。,46,5.考虑初值问题,试用迎风格式,LF格式，LW格式计算上述问题，取,计算到t=0.5,1.,