解析函数在无穷远点的性质ppt课件.ppt

5.3解析函数在无穷远点的性质,定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-:+|z|r0内解析,则称点为f(z)的一个孤立奇点.,设点为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,于是,在去心邻域:,(5.12),如果点是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.,(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-,有扩充z/平面上的原点的去心邻域;,(2)在对应点z与z/上,函数,(3),或两个极限都不存在.,定义5.5 若z/=0为,的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=为f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.,设在去心邻域K-0:0|z|1/r内将,展成罗朗级数:,令z/=1/z,根据(5.12),则有,其中,(5.13),(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-:0r|z|+内的罗朗展式.对应,在z=0,的主要部分,我们称,为f(z)在z=,的主要部分.,定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:,定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立: (1)f(z)在 的主要部分为零; (2) (3)f(z)在 的某去心邻域N-内有界.,(1) f(z)在 z=的主要部分为,定理5.5(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点为极点的充要条件是,定理5.6(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂,(2)f(z)在z=的某去心邻域N-内能表成,其中 在z=的邻域N内解析,且,(3)g(z)=1/f(z)以z=为m级零点(只要令g(z)=0).,不等于零;,广义不存在(即当z趋向于,时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).,例1,(2),补充例 2：求出下列函数的 奇点，并确定他们的类型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点也要加以讨论。,例3 求出函数,的全部奇点(含点),并判断其类型.,例4 问函数,在z1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.,例5 设f(z)在0|z-a|R内解析，且不恒为零；又若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证a必为f(z)的本性奇点。,