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三、多元函数的极限,二、多元函数的概念,四、多元函数的连续性,五、小结 思考题,第一节 多元函数的基本概念,一、区域,1.邻域(neighborhood),一、区域,(region),2.内点(inner point)、边界点和聚点,举 例,3.开集(opener)与闭集(closed set),例如,即为开集；,即为闭集；,即非开集也非闭集.,4.有界集(bounded set)与无界集,5.区域、闭区域,连通的开集称为区域(region)或开区域,例如，,例如，,注：n维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域等概念也可定义,邻域：,二、多元函数的概念,(functions of several variables),例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,如右图，为球面.,单值分支:,约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明外,其定义域是指的自然定义域,三、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的，即,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限不存在的方法：,推广:,四、多元函数的连续性,定义,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值,（2）最大值和最小值定理,（1）有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（3）介值定理,多元函数极限的概念及极限不存在的判定,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,五、小结,区域、多元函数的概念,思考题,思考题解答,有.,练 习 题,5.,练习题答案,观察,不存在.,