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    线性代数ppt课件3 2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt

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    线性代数ppt课件3 2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt

    2 矩阵的初等变换与初等矩阵,目的要求,(3)掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法;,(1)了解矩阵的初等列变换、标准形等概念;,(2)掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用;,(4)掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.,一、初等变换与标准形,矩阵的初等行变换:,矩阵的初等列变换:,初等变换,求解线性方程组为了解不变,必须着眼于方程整体变化,所以原则上只用矩阵的初等行变换,而不用矩阵的初等列变换.,标准形,标准形矩阵特点:,任意矩阵经过初等变换总可以化为标准形.,左上角是一个单位矩阵,其余元素均为0.,标准形的形式有四种:,等价关系:,满足以下三个性质的关系称为等价:,” 表示.,等价用“,1.反身性,AA;,2.对称性,若AB,则BA;,3.传递性,若AB,BC,则AC,等价矩阵:,矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,是一种等价关系,称矩阵A、B等价,记作,矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,是一种等价关系,称矩阵A与B按行等价,记作,矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,是一种等价关系,称矩阵A与B按列等价,记作,二、引例,三、初等矩阵,定义:称由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵为初等矩阵.,1、对调两行或两列,E(i,j),2、以非零数k乘某行或某列,E(i(k),由对角矩阵的特性知:,3、以数k乘某行(列)加到另一行,i,j,E(i j(k),例1,解矩阵方程,解:,例2,解矩阵方程,解:,四、初等变换的性质,定理1 设 是一个 矩阵,,对A 施行一次初等行变换,,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵;,对A 施行一次初等 列变换,,相当于在A 的右边乘以相应的n阶初等矩阵.,方阵可逆的充要条件,定理2: n 阶方阵,可逆,设A可逆,且标准形为,左端行列式为0,右端行列式不为0 ,矛盾.,初等矩阵可逆,有限个可逆阵乘积也可逆.,可以写成有限个初等矩阵的乘积,定理3: 设A与B为,矩阵,则,(1),(2),(3),存在可逆阵,存在可逆阵,存在可逆阵,五、初等变换应用一-求逆阵,例3,解:,六、初等变换应用二-求解Ax=B,当A为可逆方阵,矩阵方程 AX=B 的解为,例4,解:,七、初等变换应用三,方法:,变换成,即得所求,利用初等行变换将,例5,设,的行最简形矩阵为,,求,,并求一个可逆矩阵,,使,解:,八、思考题,解:,解:,经四次初等行变换化成单位矩阵,而这4次初等行变换所对应的初等阵为:,由初等方阵的性质得,于是,注:答案不唯一,2 矩阵的初等变换与初等矩阵,目的要求,(3)掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法;,(1)了解矩阵的初等列变换、标准形等概念;,(2)掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用;,(4)掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.,

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