等离子体中的输运过程ppt课件.ppt

第6章 等离子体中的输运过程,在前几章，介绍并应用单粒子轨道理论、磁流体力学方程研究和处理了等离子体中的一系列问题，其特点都忽略了带电粒子间的碰撞。磁流体力学模型是建立在粒子间频繁碰撞基础上的，但把它应用于等离子体波问题时，往往又忽略其碰撞的影响，这是因为波的频率远大于等离子体中粒子间的碰撞频率。因而可以把碰撞的影响忽略。现在还有一类问题，如等离子体处于不平衡状态如何趋向平衡，这就需要等离子体中带电粒子短程的库仑碰撞。,等离子体内部存在密度、速度、温度的空间不均匀或存在电场时，将会出现粒子流、动量流、能量流或电流，这些属于一定物理量在空间的传输过程称输运过程，也涉及等离子体中粒子间的碰撞。由于等离子体中粒子间的库仑长程相互作用、离子与电子质量相差很大，而且往往存在强磁场，因此等离子体中的输运现象变得十分复杂。等离子体输运现象在受控核聚变研究的很多方面都有重要作用，因此输运过程在等离子体物理中占有重要地位。,严格处理等离子体的输运问题，应该用微观的动理论，采用分布函数描述，用动理论方程研究分布函数的时间演化，然后一切宏观量（如密度、平均速度、温度、电流密度等）都是由速度分布函数对相应微观量求平均值得到，从而得到等离子体宏观行为。如果只需要了解一些宏观量的变化，也可以从磁流体力学方程出发进行研究。磁流体力学方程，包括每一种粒子的连续性方程、运动方程、能量方程和广义欧姆定律等，这些方程组中的电磁场如忽略波场，即只保留外场，于是不需要麦克斯韦方程组，这样磁流体力学方程组就是输运方程组。因此需要联立求解等离子体中所有带电粒子组成的流体的输运方程组，就可得到完整的输运过程的描述，输运方程中的系数通过动理学方程求得。本章主要介绍的就是这方面内容。,6.1 等离子体的输运方程组,等离子体输运方程组可以用唯象的方法来建立，也可以用等离子体动理学方程求速度矩来严格推导。在第4章中已采用后一种方法得到了各种粒子成份的磁流体力学方程组，因此很容易由此得到输运方程组:1. 连续性方程 上式表示粒子数守恒，如令 为质量密度，则由上式，可以得到质量守恒方程。,2. 运动方程 为弹性碰撞造成的对粒子的摩擦阻力， 表示不同类粒子弹性碰撞的动量交换。 为粒子弹性碰撞引起的对粒子的粘滞力，对于理想流体 。3. 能量平衡方程 为热流矢量， 为交换的热能。,对输运方程组说明两点：（1）输运方程组不封闭。现在方程组中未知的场变量为n、u、T，理应由输运方程组自洽求解。现在输运方程组中还有两个高阶矩 和 ，在现有的输运方程组内无法知道的，因此需要设法解决。通常做法是依靠实验定律，把高阶矩用低阶矩表示。如傅里叶热传导定律： 为热传导系数，可采用实验测定的数据； 粘滞张量 由牛顿粘滞定律用u的分量表示， 或采用理想流体近似 经过这样处理，方程组就可以封闭。,输运方程组中含的碰撞项可以从动理学方程得到 式中 为,粒子间动量平衡的平均碰撞频率， 为温度平衡的平均碰撞频率。（2）输运方程组中的E、B是外场，不包含等离子体自身运动产生的波场，因而不需要麦克斯韦方程组。输运方程与磁流体力学方程的重要区别是输运方程组考虑弹性碰撞项，但不考虑波场，因而不存在和麦克斯韦方程组耦合的问题。,6.2 库仑碰撞,研究等离子体中输运过程，首先要研究带电粒子间的库仑碰撞。1. 二体碰撞转化为单体问题设两个粒子其质量和运动速度分别为m、v，m、 v ，粒子间的相互作用力为有心力，则运动方程为,引入质心坐标与相对坐标 因无外力 为质心运动速度， 为折合（约化）质量。 结果：质心保持匀速直线运动，相对运动相当于质量为的一个粒子受力心固定的有心力 作用的单粒子运动。于是在质心坐标系中，就可以把二体碰撞化为单体问题，使问题简化。,2. 碰撞微分截面 在质心坐标系中，一个处在远处、质量为、电荷为q的粒子，以速度u射向固定在O点的电荷q为的另一个粒子，其瞄准距离为b（也称碰撞参量），受有心力 的作用而发生偏转，其偏转角为，偏转后速度为u，经历这样一个运动过程的称为二粒子碰撞（或称散射）。 当 为库仑作用力， 偏转角与碰撞参量b 之 间关系，可以证明为或,当b=b0 时，=/2，b0 是偏转角为/2时的碰撞参量，称近碰撞参量。因为bb0 ,/2，称为近碰撞。 当 为小角度偏转，称远碰撞。 设每秒单位面积入射粒子数为I ，打在 的粒子数为 ，这些粒子被散射为到 立体角 内，则每秒单位面积强度为I的粒子束被散射到立体角 内的几率,称碰撞（散射）微分截面。其物理意义：单位时间单位面积入射1个粒子，散射到 的单位立体角内的几率。因为几率总是正的，所以在式中 取了绝对值。 由 得 碰撞微分截面 这就是著名的卢瑟福散射公式。,如果考虑两个带电粒子间的作用受到其它带电粒子的屏蔽效应，则可用屏蔽库仑势 采用经典和量子（Born近似）的方法，都可求得散射微分截面,6.3 动量变化率与平均碰撞频率,1. 二体碰撞近似中性稀薄气体，粒子间的相互作用为短程力，当粒子间平均距离远大于作用力程时，一个特定的运动粒子，在平均自由程内一般不受其它粒子的作用，所以运动是“自由”的，仅当它与另一个粒子相距很近，在作用力程范围时，才受到这个粒子短程力作用，运动方向发生改变，称为碰撞，而与其它第3个粒子无关，这种碰撞作用称二体碰撞。中性气体的宏观行为（扩散、热传导、粘滞性、温度平衡等）都是这些二体碰撞引起的。,在等离子体中带电粒子间是屏蔽的库仑作用，当力程 （德拜屏蔽距离）远大于粒子间平均距离 （n为粒子数密度）时，观察一个特定粒子运动，在任何时刻它都同时受到德拜球内所有粒子（粒子数 ）的作用，而且德拜球内的粒子也受到这个粒子的作用，即不但所观察的特定粒子运动状态改变了，而且德拜球内个粒子的运动也发生变化。因此，等离子体中粒子间的作用是多体碰撞问题。要严格处理多体作用是极其困难的，通常都采用近似的方法。在等离子中还是采用“二体碰撞近似”。,二体碰撞近似是把多体作用看成相互独立的瞬时的二体作用之和，同时还要考虑电荷的屏蔽效应。具体做法是，当 时 ，一个入射粒子与 个背景粒子的多体相互作用，背景粒子总体是稳定的，基本没有变化。只考虑其中每一个粒子与入射粒子的相互作用，在非相对论极限下每个背景粒子与入射粒子的作用都是二体的屏蔽库仑作用，然后入射粒子与 个粒子的多体相互作用就看成这许多同时发生的二体碰撞的简单叠加。在等离子体中影响其宏观行为的“碰撞”，主要是大量二体的小角度偏转积累而成的大角度“偏转”，这样就算经历了一次“碰撞”，作为特征量的平均碰撞频率就是每秒钟经受这种“碰撞”的次数,2. 二体碰撞的动量变化率现在计算在质心坐标系中二体碰撞引起的动量变化率。 设碰撞前两粒子的质量、速度分别为m、m ， v、 v ，相对运动速度 u = v v ，则由动量守恒 动量 每一次碰撞粒子的动量变化,对于弹性碰撞，质心运动速度不变，由能量守恒方程得或由图可见式中n为垂直u的单位矢量，因此两个粒子经过一次碰撞后动量的变化,设试验粒子，为场粒子，考察一个试验粒子被大量场粒子的碰撞作用后总的动量变化。 在单位时间内， 试验粒子与密度为n的场粒子发生碰撞，被散射到（ ）方向立体角 内的碰撞数为 单位时间内试验粒子动量总变化应为所有二体碰撞产生变化的叠加 试验粒子总动量变化率为,应用卢瑟福散射公式试验粒子总动量变化率会出现积分因子当取=0时，出现积分发散问题。 原因：散射微分截面是用库仑作用计算的结果，对于库仑长程作用，碰撞参量b 可以到无限大，此时偏转角0 ，因此积分下限发散。实际上二体作用必须考虑电荷屏蔽效应。,如果取二体作用力程为 ，在 处把相互作用截断，即把德拜距离以外的电场当作零。于是 时的偏转角 ，作为积分下限，则发散问题就可以解决。由库伦碰撞： 称库仑对数总动量变化率结果表明， 与相对速度 u 反平行。,试验粒子在质心系中垂直 u 和平行 u 动量变化率注意，以上结果都是在质心系中计算的，平行、垂直分量都是以相对运动速度u定向的。实际感兴趣的是在实验室系中，试验粒子的初始速度 经受场粒子的多次碰撞后，发生显著变化所需的时间，称平均碰撞时间，其倒数就是平均碰撞频率。因此在质心系中以 u 定向计算结果在实际应用上是不方便的。尤其当场粒子有速度分布时，不同粒子对的u是不相同的，在对场粒子速度分布求平均时也是不方便的。因此需要将质心系中所得公式转换到实验室系，才便于求得以初始速度 定向的坐标系中的结果。,3. 电子-离子碰撞时间与碰撞频率,研究一个特例：试验粒子为电子、场粒子为离子。 因为电子质量me比离子质量mi小很多，所以离子可以近似地看成不动，质心系与实验系就没有区别，相对运动速度u与电子在实验室系速度 近似相等。 电子、离子的质量分别为me、mi，电荷分别为 ，实验室系中的速度为 ve，vi， 因为 ， ，所以 ，,定义碰撞时间 和碰撞频率则得电子与离子的有效碰撞频率 和碰撞时间 意义：电子受离子作用，其初始速度发生显著变化时对应的有效碰撞频率。注意，这是电子受离子的大量的二体作用叠加，其初始速度减为0，获得这种效果算为一次“碰撞”，每秒钟的“碰撞”次数称有效碰撞频率，这里加“有效”二字以示与中性气体短程力的真正的一次碰撞相区别。,碰撞频率、碰撞时间都是特征参量。碰撞频率改写为 为一次散射偏转角 的大角散射截面， 为大角散射对应的碰撞频率，也称近碰撞频率，因此 可以称为小角散射对应的碰撞频率。 小角度散射在二体碰撞中占主要地位，即试验粒子初始运动状态改变，主要由大量小角散射积累的结果，而一次性大角散射只起次要作用。,库仑对数 就是库仑碰撞中出现的一个参量，其大小反映库仑碰撞过程中小角度散射与大角度散射过程的相对重要性。库仑对数值越大，表明小角散射过程越显重要。在热核等离子体中， 值在1020之间， 因此在库仑碰撞中小角散射（远碰撞）起主要作用，这是等离子体中库仑长程作用的特点。在库仑对数中， 与两粒子相对运动速度u 有关，如果对粒子的分布函数求平均，则会带来麻烦。但由于 值很大，又出现在对数项中，它对 u 值的变化不灵敏，通常是直接用其平均值代替。,必须指出，前面在处理库仑对数发散问题时，考虑电荷屏蔽效应，采用的是（在德拜屏蔽距离上）库仑截断方法。如果散射微分截面直接用德拜屏蔽势求得的公式，就不会出现发散问题，所得结果与库仑截断方法的相同，只是在库仑对数项中稍有差别，对总的结果影响不大。以上处理方法只适用于电子-离子作用。,6.4 等离子体的弛豫时间与碰撞频率,当等离子体偏离平衡态分布时，靠其自身粒子间的相互作用（碰撞），使其恢复平衡分布所需要的特征时间称弛豫时间，弛豫时间的倒数，一般为相应的碰撞频率。1. 动量能量变化率 前面已得试验粒子的动量变化率 这些结果都是在质心系中计算的。,上式中相对速度 是固定的，而且v、 v 在质心系与实验室系中只相差一恒定的质心运动速度V，因而它们的相对运动速度 u 及改变量 、 在两个坐标系中是相同的。 动量变化率公式只与相对速度u 有关，因此它在实验室系中也适用，上面公式及相关的量都可理解为实验室系中的量，其结果仍然正确。原来假定u是固定的。现在如果场粒子具有速度分布，则相对速度 u 就是变化的。设实验室系中，场粒子速度在 间单位体积的粒子数为 ，对场粒子速度分布求平均得,现在 中 ， 都是实验室系中的速度。 库仑对数对u 的变化不灵敏，可用平均值代替，移到积分外，则为便于计算和书写简便 ，令 v代替v ，v代替v ，上式可改写为,上式计算可借用已知电荷分布求电场、电势方法。令则只要给出场粒子的速度分布 ，就可计算积分 或 。电荷分布 产生的电场、电势公式,假设分布是球对称的 很容易用高斯定理计算得到假设试验粒子对场粒子的作用引起场粒子分布的变化可以忽略，场粒子分布服从稳定的麦克斯韦分布 式中 为场粒子的最可几速率。代入计算。,则得式中误差函数最后得,结果表明， 的方向与试验粒子速度v反平行，说明试验粒子受场粒子的碰撞作用不断减速。现在以实验粒子的实验室系速度v划分平行与垂直类似地，也可求能量的变化率： 试验粒子经历一次碰撞的动能变化,利用动量守恒，能量守恒 则有 于是 则得平均能量变化率 利用,则得平均能量变化率可以研究高能离子束能量慢化速率和加热等离子体问题。,注意：已得 但 它代表试验粒子受场粒子作用后在垂直初始速度方向上的偏转或速度空间的横向扩散，是重要的一个物理量。应用如下关系式： 由此得已知结果代入得,现在已得到试验粒子经受麦克斯韦分布的场粒子作用，平均动量、能量的变化率：如果试验粒子就是等离子体中的粒子，则还需要对试验粒子的速度分布求平均！,2. 动量弛豫时间与碰撞频率 弛豫时间定义: 为试验粒子的初始动量， 称为纵向减速时间， 称为横向偏转时间，相应地 和 为相应过程的碰撞频率。由已知的结果得,式中标出了实验粒子和场粒子的角标。库仑对数 应对不同粒子的相对速度u求平均，因它对 u 不灵敏，在这里就不考虑其差别，现在也简化地写为 。分不同情况进行计算与讨论：（i）试验粒子为电子 电子与电子碰撞和电子与离子碰撞两种情况： 电子-离子 电子-电子 （假定试验粒子能量较高或仅为了考虑数量级方便）,如果试验粒子就是等离子体中的一种粒子，弛豫时间还需对试验粒子的麦克斯韦分布求平均，所得结果称平均弛豫时间：对试验粒子速度分布求平均，最简单的办法：稍严格些：用后一种平均方法的结果得 是电子平均弛豫时间,（ii）试验粒子为离子，现只考虑离子与离子碰撞。类似方法计算，得 为离子与离子碰撞的平均弛豫时间。（iii）试验粒子为离子，与等离子体中的电子碰撞。,将 、 结果代入，然后再用离子的分布函数对 求平均，得 代表离子与电子碰撞的平均弛豫时间。,共有8种弛豫时间，在数量级意义上可分为三类；其大小之比为如果 因为离子质量比电子质量大很多，弛豫时间和相应的碰撞频率 电子的弛豫时间最短，碰撞频率最高；离子被离子碰撞的弛豫时间次之 ；离子被电子碰撞的弛豫时间最长。,一种试验粒子可以受多种场粒子作用，因而总的弛豫时间倒数等于各种场粒子作用弛豫时间倒数之和，这是因为各种作用过程的频率是相加的。总的弛豫时间主要由最短的一种决定的。因此，在讨论弛豫过程时，只需选取其中最短的一个弛豫时间为代表。如果等离子体不处于平衡状态，则可通过碰撞逐步达到平衡，首先是电子达到平衡，然后离子也达到平衡，最后才是电子和离子间达到完全的平衡。,根据平均碰撞时间, 还可以定义电子、离子的平均自由程 和 分别为电子、离子的为均方根速率如果 ，则 ，这表明，电子与离子的平均自由程是相等的。,原因：虽然离子的碰撞时间远比电子的大很多， 但温度相同时，离子热运动速度比电子的小很多，因此在相邻两次碰撞期间，它们自由行走的路程相等。,6.5 等离子体的能量弛豫与温度平衡时间,等离子体中粒子间的二体碰撞可以交换动量，也可以交换能量，因此高能的带电粒子束通过等离子体时，与其中的电子、离子碰撞交换能量，使其动能损失慢化，而等离子体获得能量加热。在核聚变研究中高能粒子束注入加热等离子体，核聚变反应产生的高能氦离子的慢化使等离子体自加热，都属于这类问题。等离子体可能出现电子、离子不处于热平衡状态，或电子、离子分别处于热平衡，但它们之间温度不同，这些都可通过粒子间碰撞交换能量，逐渐达到热平衡。以上这些问题都属于等离子体中的能量弛豫问题。下面分别进行讨论。,1. 高能粒子束的慢化与等离子体加热 设一束高能带电粒子束射入等离子体，受场粒子（离子、电子）作用交换能量，高能粒子束的能量变化率： 式中 。为了简化式子，令 引入函数 则能量变化率：,现在只需研究 随x的变化，就可以了解入射离子或电子束与等离子体中各类粒子的能量交换和加热情况。 当 时 极大当 时， ，粒子束从等离子体中获得能量；当 时，等离子体从粒子束获得能量，而且当 时，能量从粒子束转移到等离子体的效果最好。现在结合具体例子进行讨论：,（1）高能电子束的慢化与等离子体加热 高能电子束通过等离子体，分别对其中的电子和离子加热。设入射电子束的速度为 能量为 ，则设电子束能量足够高，电子-电子作用：电子-离子作用：则得电子束的能量变化率,在计算过程中，式中的第2项较小被忽略。上式右边括弧中第1项为离子的贡献，第2项为电子的贡献。结果表明，电子的加热效率比离子的高 倍。因为电子-电子间碰撞，能量交换显著，但高速电子与质量比它大得多的离子碰撞，电子动量可能变化很大，而能量交换却很小。（2）高能离子束的慢化与等离子体加热 设入射离子束的电荷、质量、速度、能量分别为zie、mbi、vbi、bi ，如果入射离子能量很高，其速度大于等离子体中电子热速度 ，当然远大于离子的热速度，则高能离子束的慢化与电子束的结果相似，它对等离子体中离子、电子的相对加热比率与电子束情况相同。,现在设入射离子束的速度小于电子热速度，但又大于离子热速度： 在这种情况下，高能离子束慢化及对等离子体中离子、电子加热，可由分别计算离子-离子和离子-电子的能量变化率，然后相加，得第1个方括号是离子加热项，第2个是电子加热项。,当y2，x0.3时，满足条件则注意，式中zi为入射离子束的原子序数，z为等离子体中离子的原子序数，vbi、bi 为入射离子束的速度与能量。 方括号中的两项，第1项为加热离子、第2项为加热电子.,如果加热离子和加热电子的比例相同，则方括号中这两项应相等，这时入射离子能量结果表明： 当 时，则离子束慢化时，等离子体中的离子和电子获得相同大小的能量； 当 时，则电子获得较多能量； 当 时，离子获得较多能量。,以高能氘离子束注入氘等离子体为例则还可以计算离子束慢化时间式中 为离子束初始能量。,2. 能量弛豫和温度平衡时间如果等离子体中两组分处于不同温度的麦克斯韦分布，通过粒子间碰撞交换能量，可以趋向平衡，使温度一致。这种能量弛豫过程的时间称能量弛豫时间或温度平衡时间。设等离子体两组分处于不同温度的麦克斯韦分布，设想一束以速度 入射的粒子与速度为 的场粒子碰撞，引起能量变化率为 ，由于粒子具有温度为T的麦克斯韦分布，则应对粒分布求平均得 粒子也是具有温度为T的麦克斯韦分布，则也应对粒分布求平均，得,式中Q 就是两组分间单位时间交换的热能。现在定义能量弛豫时间 ： 前面已经得到 ，现在只要再对粒子的麦克 斯韦分布求平均 。对粒子速度分布求平均只需计算如下两个积分：,结果：式中 ，代入后得能量弛豫时间，也称温度平衡时间,上式可分别应用于电子-电子 、离子-离子和电子-离子间的温度平衡过程，则可得这些弛豫过程的时间。电子-电子：离子-离子：电子-离子：,以上三种能量弛豫时间的比较 设结果表明，如果等离子体各成份都未达到平衡，则电子达到热平衡的时间最短，此过程最快，离子次之，电子-离子间达到平衡时间最长，过程最慢。在受控核聚变研究中，由于加热方法或压缩方法不同，可能出现远离平衡情况，如大电流欧姆加热，主要是电子获得功率；动力学压缩，离子获得的动能大，而且是定向的，还有离子束加热、中性粒子束注入加热等都需要经过碰撞达到热化和温度平衡。弛豫过程时间在核聚变中是很重要的 。,需要说明：计算的3个能量弛豫时间与相应的动量弛豫时间近似相等。在数量级意义上，今后不再区分这两种类型的弛豫时间。各种弛豫时间公式，用不同的平均方法或计算方法，表示式会有所不同，但其中所含的物理量因子在量纲上是相同的，只是公式中所含的数值系数有所差异。因此各种参考书、文献资料上所列的或引用的公式可能不相同，但是在数量级上是完全一致的。严格地讲，各种弛豫过程的精确结果需要用动理学方程的方法严格求解。还有：采用库仑场截断方法带有任意性、二体散射的量子效应在密度很高时也得考虑，这些因素引起的修正都反映在库仑对数项中，其误差约为10% 。,6.6 等离子体电导率和电子逃逸,若等离子体加上电场E，则离子、电子在电场作用下方向相反的定向加速运动，形成电流，由于电子与离子间的碰撞产生的动力摩擦，使电流不可能无限增长，会达到一个稳定值。电流与电场间的平衡关系，反映了等离子体的导电特性。1. 无磁场时电导率电子、离子作为两种流体，其宏观速度不同电流定义：由电子运动方程求电子宏观速度ue,当外磁场B=0、而且假定 、 ，则电子运动方程 式中 为电子受到离子的摩擦阻力，它可以用电子受离子碰撞引起的动量变化率，然后对离子、电子平移麦克斯韦速度分布（以各自平均速度平移）求平均得到，是离子对电子流体的宏观作用力。通常取如下简单形式： 用6.4节结果 达到稳定状态时,代入电流定义得 这就是无磁场时的欧姆定律，式中 为等离子体无磁场时电导率。应用碰撞频率，则 结果表明：电导率与电子温 的成正比，这是等离子体的一个重要特性。一般导体的电导率是温度愈高电导率越小，而等离子体则相反，因此高温等离子体是非常好的导电流体，有时就当作理想导电流体。,2. 有磁场时电导率 如有外磁场B，电子运动方程中增加洛仑兹力项，定态情况 设 ， ，则方程可分解为x、y两个分量方程解方程组，得,式中这里 就是垂直磁场、电场引起电流的电导率。就是无磁场时的电导率。方程组还可解得则电流 就是霍尔电流，它垂直于磁场、又垂直于电场。,为霍尔电流分量的电导率对于强磁场，这些结果与第4章4.7节的结果是一致的。,3. 电子逃逸 在等离子体中，由于库仑碰撞，电子要受到离子对它的动摩擦力。根据6.4节，动摩擦力 这表明随着电子速度增大，动摩擦力迅速减小。6.4节结果：等离子体中如果有外加电场时，电子在电场作用下做加速运动，电子速度不断增大，动摩擦力也随之减小。当电子速度超过某一临界值时，将出现电场的加速力始终大于动摩擦力，于是这种电子持续被加速，电子速度就越来越大，这就是电子逃逸现象。要严格计算电子逃逸应由动理学方程求解。现在采用简单模型进行讨论。,（1）弱电场下电子逃逸 假定一维情况，沿x轴方向加一电场 ， 因为离子质量很大基本不动。电子速度 ， 则电子运动方程（微观的） 右方第2、3项为电子受到背景的电子和离子的摩擦阻力。对于ee， ，对于ei， ， 而且 ，设 ，则,假定电子速度比较大， ， ， 只要 电子速度就不断增大，出现电子逃逸。因此，由上式，电子逃逸条件为： 称电子逃逸的临界速度。当 的高速电子， 在电场E的作用下，就会不断加速，就出现电子逃逸。对于麦克斯韦速度分布的电子，电场不需要很强，在速度分布的高端部分，总会有的电子逃逸。实际上由于加速电子的辐射、反常电阻、相对论效应等，电子速度不可能无限增大，最终总是有限的。,（2）电子整体逃逸 对电子速度分布求平均，就可得到一维的流体力学方程（宏观的流体元运动方程） 式中u为电子流体元的平均速度，因为对流体元 求平均时 ，所以式中的摩擦阻力 ， 再用电子平移的麦克斯韦速度分布求平均，,则上式可化为已知 ，当 时， ，就发生电子整体逃逸。令 为临界电场。实际上， 发生电子整体逃逸，也会引起微观不稳定性、激发等离子体波或引发其它能量损耗机制，这样电子流体运动速度u 就不会趋于无限。,最后，对摩擦阻力表示式做些补充说明。 前面已经提到，速度大的电子受到的碰撞摩擦力小，速度小的摩擦力大，因而速度高的电子可能愈来愈快，速度慢的可能愈来愈慢，这样可能远离平移的麦克斯韦分布，速度高的部分几率增加，速度低的部分几率减少。但是，在等离子体中还存在电子-电子、电子-离子间的碰撞，使电子尽可能趋向平衡，这样电子会达到一种新的平衡分布，与原先平移麦克斯韦速度分布偏离不会很远。从这一物理概念考虑，用动理学方法进行计算，在无磁场或平行磁场方向上摩擦力项需要增加一个修正因子0.51，即 公式应改写为,