第九章 弹性体振动ppt课件.ppt
第九章 弹性体振动,弹性体的振动：1、连续体振动2、振动时处于弹性阶段，材料均匀、各相同性,连续体(结构)：弦、杆、轴 梁、板、 壳、 一般弹性体,研究方法：取微段，列平衡方程,离散体的振动：研究每个自由度处的运动和外力之间的关系,研究连续体每一点的运动与外力的关系,坐标的连续函数,乐器为何能发出不同音调、不同音色的声音？,9-1、弦的振动,一、弦的振动方程,弦长 弦的线质量密度 弦的张力,弦：柔软；张力近似为常量；略去重力和阻尼；微幅振动,弦的动力学方程为偏微分方程,初始条件,边界条件,求主振动：,代入微分方程：,波动方程,二、方程求解,（1）,（2）,初始条件,边界条件,C1 C4为待定系数,振型函数：,固有频率：,主振动：,边界条件,初始条件,由振型函数的正交性,方程解(任意振动) ：,Ai、Bi为待定系数，如何确定？,主振动：,振型函数的正交性,振型函数：,初始条件,音调：基频的大小音色：谐波的组成（主振动叠加多少） 由激励条件确定,乐器中弦的振动,弦任意初始条件的振动一定是简谐振动吗？,由于主振动频率相差整数倍，叠加后仍为简谐振动,与F和l有关,解：初始条件,例：设张紧弦在初始时刻被拨到所示位量， 然后无初速地释放求弦的自由振动,写出级数的前四项,连续体与离散体振动求解的区别与联系,杆件细而长的构件。一、 直杆纵向振动运动方程平截面假定、忽略横向位移。x处微元段dx，考虑线性（小位移）问题。虎克定律求应力及内力：微元段上的惯性力：,9-2、杆的纵向振动,达朗贝尔原理建立运动方程：,整理得：,其中：,直杆纵向振动运动方程,对等截面直杆：,令：,表示波的传播速度,波动方程(同弦振动),系数由边界和初始条件确定,求主振动(分离变量),二、方程求解,代入微分方程,为振型函数，表示杆振动形状,位移边界条件(同弦振动边界)：,三、不同边界条件下的解,1、两端固定杆,频率方程,固有频率,第一二阶振型如图所示：,频率方程,固有频率,振型函数(主振型),节点：振型函数中振幅为零的点。,第n阶主振型有n-1个节点,振动全解:,Ai、Bi由初始条件确定,2、两端自由杆,边界条件：,应力边界,频率方程：,固有频率：,主振型：,固有频率：,主振型：,第一二阶振型如图所示：,第n阶主振型有n个节点,振动全解:,Ai、Bi由初始条件确定,两端固定杆：,3、一端固定、一端自由杆,边界条件：,位移边界,频率方程：,固有频率：,主振型：,应力边界,第一二阶振型如图所示：,固有频率：,主振型：,振动全解:,Ai、Bi由初始条件确定,振动全解:,固有频率：,例题 求轴向力 在 时突然释放时的振动反应初始条件： ，各点应变：解：将 代入： 用 乘两边沿全杆积分：,利用 求得：,带有端点条件杆的振动,端点条件：端点带有弹簧或质量。,持续存在的与u成正比的纵向回复力,持续存在的与a成正比的纵向惯性力,边界条件：由条件1： 由条件2：振型：,平截面假定、横截面绕圆心轴转动一个角度dx微元段，根据材料力学：微元段上的惯性力矩： 达朗贝尔原理建立运动方程：整理得：圆轴扭转振动运动方程,9-3、圆轴的扭转振动,对等直杆，a为剪切波传播速度。波动方程 与直杆纵向振动相同通解：4个常数 由边界条件及初始条件确定（1）两端固定的轴固有频率：主振动：,（2）两端自由的轴固有频率：主振动： （3）一端固定、一端自由的轴固有频率：主振动：,梁变形：,轴向变形,薄形长梁,欧拉梁：不考虑剪切变形,1、中性轴无轴向变形2、横截面变形前后均为平面，且垂直于中性轴3、忽略振动时转动惯性矩,考虑剪切变形的Timoshenko梁,第二条假定不成立,弯曲变形：引起垂直于中性轴的平面发生旋转,剪切变形:引起垂直于中性轴的平面与中性轴的相对错动(不再垂直),深梁,9-4、梁的横向自由振动,9.4.1 梁的横向振动微分方程平截面假定、忽略轴向位移及截面转动、忽略剪切变形。欧拉梁的变形方程：梁自由振动时分布惯性荷载：得：梁横向振动运动方程,对等直杆，分离变量法求解： 代入两个微分方程：解： 为振动固有频率 为相位角解：为振型函数表示杆振动形状 的主振动解：6个常数 由边界条件及初始条件确定,9.4.2 两端简支梁的横向振动振型函数：简支梁的边界条件：频率方程：固有频率：主振型：全解：,9.4.3 悬臂梁的横向振动,悬臂梁的边界条件：,频率方程：固有频率：主振型：,各种边界条件下横梁的固有频率,9.4.4 考虑轴力影响 梁的弯曲振动,考虑轴力影响梁的弯曲振动运动方程,9.4.5 梁的剪切振动,欧拉梁：不考虑剪切变形,1、中性轴无轴向变形2、横截面变形前后均为平面，且垂直于中性轴3、忽略振动时转动惯性矩,考虑剪切变形的Timoshenko梁,第二条假定不成立,剪切变形:引起垂直于中性轴的平面与中性轴的相对错动(不再垂直),深梁,梁的纯剪切振动,特点：平截面间只有错动，无转动，即弯矩造成的弯曲变 形可以忽略.适用环境：深梁（l=2h3h）,微段平衡：,边界条件：,波动方程,分离变量得振型方程:,类比：解完全相同。,弯曲变形和剪切变形都将引起中性轴的挠曲,9.4.6 考虑剪切变形和转动惯量影响的横向振动,剪应变,利用(1)(2)(3)式中消去Q和g得到y的微分方程,由(3),由(1),由(1)(2),将(5)(6)代入(4),9.4.7 弹性地基上梁的振动,温克尔假定：,分离变量：,振动方程：,解得a后:,振型方程：,设：,振型方程与梁振动完全相同。,9.4.8 哈密顿原理在梁横向振动中的应用（1）梁振动微分方程设梁中性轴横向变形为： ；距中性轴y处任意点的轴向位移： 梁的动能与势能：,代入哈密尔顿原理：动能：式中， (t1, t2时刻的运动给定)势能：外力虚功：梁两端弯矩 、剪力 的虚功：,代入哈密尔顿原理后：若为位移边界条件，则边界上的变分 均为零，故有由于变分的任意性，有梁横向振动微分方程：若有力的边界条件：例如 处位移 和转角 未给定，则有若无外力作用，则有：都可得到相同的振动微分方程。,9.4.9 主振型的正交性多自由度系统主振型正交性推广到连续弹性体。多自由度系统求和形式连续弹性体积分形式。设 为弹性体各阶主振型，一般振动u可表示为：式中， 称为第i个广义坐标。设弹性体的分布质量为 和分布刚度 ，则主振型的正交性可表示为：,对梁，主振型的正交性可表示为：而对等截面均质梁：主振型正交性的证明（以等截面均质梁为例）梁的频率方程：设两个主振型 满足：分别用 和 乘上两式，相减后并沿梁全长积分：对右边第一式进行分部积分：,对右边第一式进行分部积分：同理对右边第二式：代入 得上式对梁两端无论固支、铰支、自由，右边均为零，（位移、转角、弯矩、剪力）故有,9.4.10 梁的受迫振动（以梁为例）梁横向受迫振动运动方程对等截面匀质直梁， 忽略自由振动部分，求稳态振动解。基于振型叠加原理求解：（设主振型 已求得）代入 得：由于主振型 满足，代入 得将上式乘以 并沿全梁积分，,根据振型正交性 ，可得设广义力： ；广义质量： 得解耦单自由度体系受迫振动方程：代回 得解。,例题：计算简支梁在均布简谐激振荷载 作用下，梁的稳态反应。由前知，固有频率与主振型为：计算广义力：计算广义质量：代入： 代回 得解：,9.5 弹性体自由振动,一、一般弹性体的动力学方程,物理方程：,平衡方程:,几何方程：,几何方程代入物理方程代入平衡方程：,弹性体动力学方程,二、弹性体动力学变分原理,代入几何方程并在整个弹性体内积分：,形变势能（弹性变形能、比能）,经分部积分和变分运算：,动能：,由哈密顿原理:,由变分的任意性,可得到每个括号内的部分等于零,动力学方程+力边界条件,弹性体振动分析:,1、建立运动微分方程2、求解主振动3、求解自由振动4、求解强迫振动,9.5 板的横向自由振动,平板：中面为一平面的扁平连续体薄板：厚度远小于中面平面尺寸,承受垂直于中面的横向荷载,发生垂直于中面的横向挠曲,横向振动,弹性薄板横向振动小挠度理论的基本假定：,1、变形前垂直于中面的直线在变形后仍为直线，长度 不变，并保持与中面垂直2、忽略沿中面垂直方向的法向应力3、只记入振动时的惯性力，而略去惯性力矩4、无沿中面内方向的变形,中面挠曲函数,假定(4),结论:1、u、v沿厚度方向线性分布，并与挠曲面在该处沿x、y方向的斜率有关2、各点应变分量沿厚度方向线性分布，并与挠曲面的曲率或扭曲率有关,9.5.1 薄板振动微分方程的建立,基本微分方程,应力分量：,内力分量：,抗弯刚度：,运动方程(忽略惯性力矩),由(1)(2)可得剪力表达式,代入(3),9.5.1 矩形板的横向自由振动等厚度板横向自由振动运动方程,单向板的振动,单向板：挠曲函数只与空间一维坐标有关。,板自由振动的求解：振型、频率,适用情况：当矩形板的两对边无限延伸或相当长，且边界条件均匀；或矩形板中两短边自由，长边边界条件均匀，其远离自由边的板中间部分分析可按单向板处理,与梁振动微分方程相同,求解：,代入方程得到两个常微分方程：,其中：,令：,代入边界条件可得到频率方程，求得振型和频率,固定-固定板：,自由自由板：,自由简支板,固定简支板：,固定自由板,单向板频率系数,单向板振型系数,四边简支板的振动,代入方程得到两个微分方程：,设：,令：,其中：,w为振动固有频率f为相位角,四边简支板边界条件（位移与弯矩为零）：,设解为：代入 得频率方程：,固有频率：,其中：,频率系数：与阶次及长宽比有关,固有频率：通解：对 最低阶振型见图。位移为零的线 称为节线,固支边界条件（位移与转角为零）：自由边界条件（弯矩与剪力为零）：难于求得解析解，可查表得固有频率。例如对正方形板的固有频率为四边固支条件下的固有频率：振型见图,其他边界条件板的振动,9.5.2 适用于求解各种边界条件矩形板的梁函数组合法,梁函数组合法：对一般边界条件矩形板固有振动分析中，采用的双向梁函数组合级数逼近的近似方法。,当矩形板一个方向特别长，则另一方向的振型十分接近相应边界条件的梁的振型函数。当两边长度较为接近时，板的主要区域的振型也十分接近于两个方向相应边界条件梁函数的乘积。,为相应边界条件的梁函数,多项组合法：,挠度振型可近似设为：,分别为x、y方向相应边界条件的m与n阶梁振型函数,悬臂梁(固定-自由边界条件)的梁函数：,简支梁(简支-简支边界条件)的梁函数：,自由自由,已知,待定系数为,如何确定 ？,这时，梁函数已经满足位移边界条件,变分方程：,将,代入变分方程,要满足的代数方程组：,求解该代数方程组,要保证有非零解：,关于,的,关于,阶奇次线性方程组,例：四边自由矩形板，由以上公式计算得前六阶频率和振型如下：,9.5.3 圆板的横向自由振动柱坐标下板平衡方程：等厚度圆板振动方程：分离变量法求解：代入将 分解为得两个方程：或,设： ，代入得贝塞尔方程解为贝塞尔函数：通过边界条件可解得固有频率和振型圆板固有频率：系数 与边界条件有关，对周边固定圆板，见下表：,n为径向节线数，s为环向节线数,9.5.4 功能梯度板的动力学分析,功能梯度板件：材料常数沿厚度方向变化。,功能梯度材料(FGM)：一种近期发展的新型功能材料。其由多种不同材料介质沿空间按不同组分进行复合，形成材料功能的梯度分布，从而满足构件不同部位对材料功能的不同要求；同时，由于该种材料与结构中各组分相呈连续变化，不存在明显的界面与性能的突变，因此具有优于一般层叠型功能材料的特性。,基本关系式：,物理方程：,位移分量：,应变分量：,内力分量：,内力分量：,功能梯度板的弯、扭刚度,形变势能（弹性变形能、比能）,沿厚度积分：,变形能：,动能：,由哈密顿原理:,自由振动变分方程则为,设w(x, y, t)=W(x, y)sin(w t+f)代入上面几式，并沿wt=2p积分，则有振型变分方程,自由振动频率、振型的求解,代入变分方程，由变分的任意性得到方程：,采用双向梁函数组合级数法,设板件挠度振型函数为,系数行列式为零,
