第三节(泰勒级数展开)ppt课件.ppt

幂级数之和在收敛圆内部为解析函数.,在实数域中，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，而解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数。,定理：,设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点f(z)可展为幂级数,其中,为圆CR内,包含z且与CR同心的圆。,、解析函数以幂级数展开问题,证明：,如图，为避免涉及在圆周CR上级数的,收敛或者发散问题，作比CR小，但包含z且与CR同心的圆周,应用柯西公式得,下面我们把 展开为幂级数，且展开式以z0为中心，,右边第二个式子可得,代入（1）可得,（1）,代入,然后逐项积分可得,根据柯西公式,上式就是以z0为,中心的泰勒级数,下面证明以上得到的泰勒级数是唯一的,如果另有一个以z0为中心的不同于上面的泰勒级数,则有,令zz0，得,然后求导一次，令zz0，可得,然后求导一次，令zz0，可得,依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有密切的关系。,例1,在z00的邻域上把 展开,解：,函数 的各阶导数,并且有,由此可以写出 在z00的邻域上的泰勒级数,由,可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z,是有限的，则泰勒级数就是收敛的！,例2,在z00的邻域上把 展开,解：,的前四阶导数是,往后依次重复,二、解析函数展为泰勒级数举例：,在z00处，f1(z)和前四阶导数的值是,由此可以写出sinz在z00的邻域上的泰勒级数,同样也可求得其收敛半径为无限大！,同理可求得cosz在z00的邻域上的泰勒级数为,可求得其收敛半径为无限大！,例3,在z01的邻域上把 展开,解：,多值函数f(z)lnz的支点在,而现在的展开中心,z01不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。,展开系数计算如下：,由泰勒展开的公式我们可以写出lnz在z01的邻域上的泰勒级数如下：,同时可求得其收敛半径为1，则有,在上述展开式中，n0的那个单值分支叫做lnz的主值,例4,在z00的邻域上把 展开,解：,（m不是整数）,先计算展开系数,由此我们可以写出 在z00的邻域上的泰勒级数,可求得收敛半径为1，由此可得,其中,这许多单值分支中，n0，即1m1的这个分支叫做主值,同时也是指数为非整数的二项式定理,复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则一样，但要注意复数运算和实数运算的异同，在计算的时候，考虑全面！,解析函数的一个等价命题,函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数,