第七章 数值积分ppt课件.ppt
1. 正交多项式,前一次课内容回顾,2. 最佳平方逼近,第七章 数值积分,第七章 数值积分,数值积分概述Newton-Cotes求积公式外推原理与Romberg求积公式Gauss求积公式,7.1 数值积分概述,求积公式和它的代数精度插值型求积公式,对于积分,但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:,如果知道f(x)的原函数F(x)，则由Newton-Leibniz公式有,（1）f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值;,（2）f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数;,（3）f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难。,以上这些现象，Newton-Leibniz公式很难发挥作用，,只能建立积分的近似计算方法。,7.1.1 求积公式和它的代数精度,上式称数值求积公式。,由定积分的定义,知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为,基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近似值。无需寻求原函数。,为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。因此定义代数精度的概念:,定义1. 若求积公式,则称该求积公式具有m次的代数精度。,代数精度也称代数精确度,使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。,例,设有求积公式,试确定系数,解：,令公式依次对,都精确成立，即,故该求积公式应为,对,有,即对,也精确成立，,但对,不能精确成立，,因此该求积公式具3次代数精度。,解得,若已知函数f(x)在a,b上一组节点值ax0 x1xnb以及函数值 f(x0)，f(x1) , f(xn)，构造f(x)的n次Lagrange插值多项式：,7.1.2 插值型求积公式,则,若记,则,插值型求积公式,Ak为求积系数。,余项：,（1）当f(x)取次数n的多项式时，R0，即含n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。,注：,（2）特别地，当f(x) 1时，有,7.2 Newton-Cotes求积公式,Newton-cotes公式的导出几种低阶求积公式及其余项偶阶求积公式的代数精度复合求积公式,7.2.1 Newton-Cotes公式的导出,设函数f(x)Ca,b，将积分区间a,bn等分，步长h=(b-a)/n，节点xk=a+kh为等距节点。,Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。,由插值型求积公式,知,可得,引进变换x=a+th，则有dx=hdt， xk- xj=(k-j)h ， x- xj=(t-j)h ，,所以插值型求积公式化为,称Newton-cotes公式，式中ck(n) 称柯特斯系数。,记,在Newton-Cotes公式中，n=1,2,4时的公式是最常用也最重要的三个公式，称为低阶公式。,1.梯形(trapezia)公式及其余项,Cotes系数为,求积公式为,7.2.2 几种低阶求积公式及其余项,上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为,梯形公式的余项为,即,几何意义如右图：,第二积分中值定理,梯形(trapezia)公式具有1次代数精度。,故,2.Simpson公式及其余项,Cotes系数为,求积公式为,上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式。,记为,Simpson公式的余项：,Simpson公式具有3次代数精度。,即,3.Cotes公式及其余项,Cotes系数为,求积公式为,上式称为Cotes求积公式，也称五点公式。,记为,Cotes公式的余项：,Cotes公式具有5次代数精度。,注：n8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。,因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而是采用低阶复合求积法(下节)。,Cotes系数表：,7.2.3 偶阶求积公式的代数精度,研究Simpson公式，是二阶Newton-Cotes公式，因此至少具有二次代数精度。,将f(x)=x3代入Simpson公式：,直接对f(x)=x3求积，得,有 I2( f )= I ，又易证Simpson公式对f(x)=x4不能够准确成立。,故Simpson公式具有3次代数精度。,定理： 当n为偶数时，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。,证明：,只要验证当n为偶数时，公式对 f(x)=xn+1余项为零即可。,由余项公式,又,故,一般地，可以证明下述论断：,此时，被积函数,是奇函数，故Rf=0。证毕。,若n为偶数，则n/2为整数，再令t=u+n/2，得,引进变换x=a+th，则xj=a+jh，,当积分区间a,b的长度较大，而节点个数n+1固定时，直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大。,而如果增加节点个数，即n+1增加时，公式的舍入误差又很难得到控制。,为了提高公式的精度，又使算法简单易行,往往使用下述复合方法：,将积分区间a,b分成若干个子区间，然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加。,7.2.3 复合求积公式,将a,bn等分，h=(b-a)/n，在每个子区间xk, xk+1 (k=0,1,n-1)上采用梯形公式，得,1、复合梯形公式,复合梯形公式,记,复合梯形公式的余项：,由于,即有,由,得,设被积函数f(x)C2a,b，,又由,将a,bn等分，在每个子区间xk, xk+1 (k=0,1,n-1)上采用Simpson公式，若记xk+1/2= xk+h/2，则可得复合Simpson公式形式为,2、复合Simpson公式,复合Simpson公式的余项：,则当n足够大时，复合Simpson公式的余项为：,3、复合Cotes公式,复合Cotes公式的余项：,比较三种复合公式的余项：,例1.,解:,为简单起见，依次使用8阶复合梯形公式、4阶复合Simpson公式和2阶复合Cotes公式。,可得各节点的值如下表：,分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有,原积分的精确值为,精度最高,精度次高,精度最低,7.3 外推原理和Romberg求积公式,一、外推原理：数值计算中的加速收敛方法。,数值计算中常利用一序列：F1，F2，Fk，去逼近准确解F，然后在理论上给出Fk收敛于F的误差估计。,一个有趣的问题：能否在截断误差估计的基础上，通过简易的方法，在Fk基础上产生一个新序列F*k，使F*k比Fk更快地逼近F呢？称加速收敛技巧,例,设f(x)在x=0处函数值为f(0)，在很多情况下，f(0)无法求得，只能得到一函数值序列：f(h)，f(h/2)，（h0）且h越小，计算难度越大。,于是问题出现：能否通过序列f(h)，f(h/2)，构造出一新序列，使其更快收敛于f(0)呢？,如利用Taylor展式：,若f (0)0，则f(h)，f(h/2)逼近f(0)的阶数都是O(h)，若令,在某种条件下，这是办得到的。,则当f (0)0时，f2(h)逼近f(0)的误差阶为O(h3)，故序列f2(h)，f2(h/2)，比 f1(h)，f1(h/2)，收敛到f(0)更快。再构造f3(h)，还可继续加速。,这种利用若干已算出的近似值作适当组合以求得更精确的近似值的加速收敛的方法称外推算法。,若再令,则当f (0)0时，f1(h)逼近f(0)的误差阶为O(h2)，故序列f1(h)，f1(h/2)，可更快地收敛到f(0)。,二、Romberg求积算法,以复合梯形公式算法为例介绍：,将a,bn等分，h为步长，复合梯形公式为,若将a,b2n等分，即将求积区间xk,xk+1再二分一次，只增加一个分点xk+1/2=(xk+xk+1)/2，用复合梯形公式求得该区间的积分值为：,分析误差：,假定,则,则有,即,若T2n与Tn接近，则T2n误差很小。,这种以计算结果估计误差的方法称事后估计法。,若用T2n的误差作为T2n的一种补偿，得,可能是更好的结果。,由,复合Simpson公式,即T2n与Tn作线性组合，可得Simpson公式的值Sn。,考察Simpson方法，类似推导可得,即,复合Cotes公式,重复上述过程，可得Romberg公式：,上述讨论说明，由梯形公式出发，将a,b逐次二分可提高精度。,设,若记Tn=T(h)，当a,b2n等分时，T2n=T(h/2)，且有,将T(h)展开成h2的幂级数形式：,（其中k与h无关）,则,记,则T1(h)与I的近似阶为O(h4)，且序列T1(h),T1(h/2),即Simpson序列Sn,S2n,。,又,若令,则又可进一步消去h4项。,记为,序列T2(h),T2(h/2),，即Cotes序列Cn,C2n,，近似阶为O(h6)。,继续下去，每加速一次，误差量级提高2阶。,一般地，若记T0(h)=T(h)，则有,经过m次加速后，,上述处理方法称理查森（Richardson）外推加速方法。,设以T0(k)表示二分k次后求得的梯形值，且以Tm(k)表示序列T0(k)的m次加速值，则以外推公式,(m=1,2,k),称Romberg求积算法。,得,T表：,（1）取k=0，h=b-a，求T0(0)=h/2f(a)+f(b)；,由1k（k为a,b二分次数）计算：,（2）求梯形值T0(k)，,（3）求加速值。用Romberg求积公式逐个求出T表的第k行其余元素Tj(k-j)，(j=1,2,k)；,（4）若| Tk(0)Tk-1(0) |，则中止计算，并取Tk(0)I；否则，令k+1k，转(2)继续。,计算过程：,例1：用Romberg求积算法计算定积分,解：,k T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k),012345,0.92070.93980.94450.94570.94600.9461,0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461,0.9461 0.9461 0.9461 0.9461,0.9461 0.9461 0.9461,0.9461 0.9461,0.9462,例2：用Romberg求积算法计算定积分,解：,k T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k),012345,0.50.4267770.4070180.4018120.4004630.400118,0.400002 0.400002 0.400002 0.400002 0.400002,0.400014 0.400009 0.400009 0.400009,0.400077 0.400054 0.400050,0.400432 0.400302,0.402369,(I=0.4),(取| Tk(0)Tk-1(0) |10-5),含2n+2个待定参数xk, Ak (k=0,1,n)，当x取等距节点时得到的插值型求积公式的代数精度至少为n次，若适当选取xk (k=0,1,n)，有可能使求积公式具2n+1次代数精度，这类求积公式称Gauss求积公式。 xk 为Gauss点。,7.4 Gauss求积公式,公式,只要取 f(x)=xm 对m=0,1,2n+1精确成立，即,解得Ak 及xk即可得Gauss求积公式。,例 构造下列积分的Gauss求积公式：,解：令其对f(x)=1，x，x2，x3 精确成立，得,故求积公式为,上式即为两点Gauss求积公式，至少具3次代数精度。,注：对积分区间a,b，作变换,则,求积公式为,由上例知，据定义求xk，Ak ，计算复杂。故从分析Gauss点的特性来构造Gauss公式。,定理：,插值型求积公式,的节点ax0 x1xnb是Gauss点的充要条件是以这些节点为零点的多项式,与任何次数不超过n次的多项式P(x)带权正交，即,证明：,必要性,设P(x)为n次多项式，则n+1(x)P(x)为2n+1次多项式。若x0,x1,xn是Gauss点，则求积公式对f(x)=n+1(x)P(x)精确成立，即,由,得,充分性,对任意2n+1次多项式f(x)，用n+1(x)去除f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x) ，（其中P(x)，Q(x)都为n次多项式） ，即,即,由于求积公式对n次多项式精确成立，则,又由n+1(xk)=0知，Q(xk)=f(xk),求积公式对一切次数2n+1的多项式均精确成立，故xk为Gauss点。,几种常用的Gauss型求积公式：,对不同的 (x)，选不同的正交多项式系，可导出不同的Gauss求积公式。,1、GaussLegendre求积公式：,Legendre多项式：区间为-1,1， (x)1，由1,x,xn,正交化得到的多项式。,表达式：,性质：,（1）正交性：,（2）奇偶性：,（3）递推关系：,(n=1,2,),（4）Pn(x)在-1,1内有n个不同的实零点。,因Legendre多项式是-1,1上的正交多项式，故Pn+1(x)的零点就是求积公式,的Gauss点，上式称GaussLegendre求积公式。,n=1时，可得两点GaussLegendre求积公式：,n=2时，三点GaussLegendre求积公式：,其他GaussLegendre求积公式的节点和系数参看教材183页。,当积分区间不是-1,1时，可如前作变换：,二、GaussChebyshev求积公式：,Chebyshev多项式是-1,1上,的正交多项式系。,表达式：,(n=0,1,2,),n次Chebyshev多项式的零点为：,(k=1,2,n),以xk为求积节点，计算可得,故n个求积节点的GaussChebyshev求积公式为：,节点及系数表：教材P184表73。,P194习题七：1，2，4，8，9,本章作业,
