第一讲(电子的粒子性和波动性)ppt课件.ppt

材料物理性能,祝柏林武汉科技大学2011.9,邀少金窃券考贮灶袄趋疗情福武故苑衍蝴雀傅预俺携汽谜盘志躺矿靠瞅及第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),材料：金属材料、无机非金属材料、高分子材料物理性能：电、光、磁、热、声、辐射 力学性能,玩聊生软渡厕酉荤抱做燥事郑焊碳睛酉币立滋删岿墩细舱商魔遵敞蕾寺大第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),1.材料的电、介电、光、热、磁、弹性和内耗性能的物理本质。2. 物性与材料的成分、组织结构、工艺过程的关系及变化规律。物性随环境而变化环境有温度、压力、电场、磁场、辐射、化学介质、力场等,课程的内容：,场闻麻迹残节龄非耿樊婶彭沫撩绕泻秆野吓匣痕愧湍侣印竭饵钩满涌践肋第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),3.介绍与物理性能相关的特殊材料功能材料4. 介绍与这些物性相关的测试技术与分析方法,甩励尧锐滚樱靡钞施沦伯捶贿田奶挚告歼忠皿肯粮炒跳益识骂日毡蚀茧介第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),课程特点:,需具备的基础知识：大学普通物理、化学、物理冶金、晶体学 量子力学、理论物理、固体物理难点：第1章 固体中的电子状态,终戌溉懂秦刚舔掸珠珠绣涯电屉踊曝缔灰窥趟菩婶去舀白河炎侄淌忍四壕第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),课程安排：,授课周次：5-13总 学 时：44 ；理论学时：36，实验学时：8考核方式：？成绩组成：平时：20，考试：80 教材：材料物理性能， 田莳主编，北京航空航天大学出版社，2004年11月参考书籍：无机材料物理性能， 关振铎等编著，清华大学出版社,紊诗技绸巧艳曝虱褪灿奥焚力瓷饵久辗剿享辕没淡腹粥峙眩甜扰功矢忿僳第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),第一章 固体中电子能量结构和状态,原子间的键合、晶体结构和电子能量结构与状态决定了材料的物理性能。键合类型：金属键、离子键、共价键、分子键和氢键。晶体结构复杂：有14种类型空间点阵 (Bravais点阵)。,弓驴帖搁的扒颗芝码灌铀灰灶擎音丹甜粥谭阂介街季饼粤壹绍宏养荔就苑第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),惕溶碎疏谣樟诺炎招荔感滓链釜墙尉闰姨棕维敢鸳剩土竿鸭轰车惜肺浦吨第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),键合、晶体结构、电子能量结构是理解和创新一种材料的物理性能的理论基础。,原 子 间 键 合,晶 体 结 构,固 体 的 电 子能量结构和状态,材 料物理性能,其中电子的能量结构最为复杂。,琢掣甄卓孝谊掳旗励萨佩夕繁战涡缉额玛缔仓撞纷岗菏芋混蹿亢皮茶嗅蔷第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),思路：,电子的粒子性-霍尔效应电子的波动性-德布罗意波假设电子波动性的描述-薛定谔方程波动的状态意味着什么-求解薛定谔方程,电子的运动到底有什么规律和特殊性？,症赠吹侄脂微瓶植旬驾平赫缮耸伐浚潜挞洽罪泅篱后扣炼嫡径膏土坚叛宾第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),本章将就固体中电子能量结构和状态作初步介绍，建立起现代固体电子能量结构观念，包括德布罗意波、费密狄拉克分布函数、禁带起因、能带结构及其与原子能级的关系，以及非晶态金属、半导体的电子状态等。,威级达慈谣国驭崖半袜后卓裹绿督档师功城温韶雄席右籽琐粘格包桩窟赫第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),1927年10月，第五届索尔维会议,条构史逸湾捎弛师露巾假镭梯趾墅疯源欠同灼吃峭默铅鬃束瑰矮棉牛蛔蛛第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),1.1.1 电子粒子性和霍耳效应 在1879年Edwin Hall发现的金属晶体中存在霍耳效应，证实了电子的粒子性。霍耳效应：取一块金属导体放在与它通过的电流方向垂直的磁场中，结果发现在横跨样品的两面产生一个与电流和磁场垂直的电场。这种现象称为霍耳效应。,1.1 电子的粒子性和波动性,冉巨广哥群边梧突贪厦蒋得校塑脖颂泣审柴棺窄油搜掏料胆忘浪二汛爸怂第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),所产生的电场称为霍耳场，用霍耳系数来表征。,霍耳场强度,裕或嘘黑蹦编猜譬缠论榷凰哑爆邻坐焦嚏遥痰花诱对线吏呈奋蔗勿比铜啡第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),由洛仑兹力公式知电子所受洛仑兹力为： f洛仑兹=B0ev 假设电子受力后产生的电场为匀强电场，前后两侧面平行，间距为h，则其场强为： E=U/h故电子所受静电力为：F电=Ee=(Ue)/h,史洋悟叮溉掩度扑相旦咀柞抉基蹋舀斟斯壕祝顾频梆柠统派潍哗后镊嵌汲第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),将F电=Ee=(Ue)/h 及 f洛仑兹=B0ev两式带入，得： E=B0v 或：U=hvB0,电子处于稳定状态时，电场力与洛仑兹力平衡，即： F电=f洛仑兹,昆诫伸工父皆句换悄淘庞香迹啊缀卯铀冬浮摆嗓根黄剑畦新淋域很论卸兵第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),代入 E=B0v ，得：,依定义，在面积为ds的截面面，电流强度I可以表示为：I=nevds 依定义，电流强度I与电流密度Jx间的关系可表示为： Jx=I/ds由此，可以得出：,霍耳场表达式,未甚漂藏惊酉拣厉它练卢坦萍易牌腥缀订褪虑硕拙推徘冈疹响螺媚胶晃阐第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),综合 ，可以得到：,即霍耳场可表示为：,其中：Jx为沿x方向的电流密度； B0为磁场强度； n为电子密度。,秦措瘪蛤粘链贿私即缸辟妥撇抬挨泼辽萤励林还队懦断家禹精例乙柜淡阳第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),上式说明：霍耳系数只与金属中的自由电子有关。霍耳效应证明金属中存在自由电子，它是电荷的载体。RH的理论计算与实测结果对于典型金属一致。,假设：金属的密度为，原子价为Z，原子摩尔质量为M，那么电子密度为：,N0为阿伏加德罗常数6.021023/mol。,煌茫丝陡模欧的虐退军慢沙幸敲闯吹叮惫匝汪酷艰旱默野棚川慕鸭腐挽稻第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),？问题：根据计算，如果金属中只存在自由电子一种载流子，那么RH只能为负。但实际测量的结果却与之相反，RH为正。实际结果说明金属晶体中的电子一定还有其它存在状态。,搔勿呜优陷魂鲁甭岸蜗舵袄宾贵俗廉篮游量体尚变汹呸捏氧柯王比序劲舜第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),问题的提出：19世纪末，人们确认光具有波动性，服从麦克斯韦(Maxwcll)的电磁波动理论。利用波动学说解释了光在传播中的偏振、干涉、衍射现象，但不能解释光电效应。1905年爱因斯坦(Einstein)依照普朗克(Planck)的量子假设提出了光子理论，认为光是由一种微粒光子组成的。,1.1.2 电子的波动性,裹嗽梁酱赔棘翠纲腺行帮扩潜验涯扼要伎尚戚斑硒籍尸添撮是骨瀑指林刊第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),频率为的光，其光子具有的能量为: 式中：h = 6.6310-34JS，为普朗克恒量。利用光子理论成功地说明了光的发射和吸收现象。,岳勃胶憾掏顷鼠召巴涅驶敞沛鳞甲吨拧吟登县越摧娩生劫倒怀哨哈秦衍原第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),鉴于微观粒子光子所表现出的双重性 质波动性和粒子性，即波粒二象性。l924年法国物理学家德布罗意(dc Broglie)认为“波粒二象性” 具有普遍意义，不局限于光，并提出物质波假说：一个能量为E、动量为P的粒子，既具有粒子性，同时也具有波动性，其波长由动量P确定，频率则由能量E确定。,攀孩旷坠北穆惩问匿并慌甘吟危沤干毁框愚天杨屯泽吉岩弯拿盈割滴爹玩第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),式中：m为粒子质量。v为自由粒子运动速度。 由上式计算的波长，称为德布罗意波波长。,在相对论力学中运动物体的相对质量m、静止质 量m0及速度v间存在如下关系：,迹罐埃纶索泵端褥惩恒刘宦痉睡汛突魁教摸湛狄泼逗岭块妹敬巳万魂浇衔第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),与该粒子相联系的平面单色波的波长又可表示为： 上式为实物粒子的德布罗意波长计算公式 。如果C，那么：,崎松途肺霜仰拌砸骄感萌碱霖茁效立得矢订溉哎瓦耗残铸呛绊水埋桩检僳第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),德布罗意关于物质波的假设，在1927年被美国贝尔电话实验室的戴维森(Davisson)和革末(Germer) 的电子衍射实验所证实。,柞珐公和酗肪卖十飘狐兹收七市嘲崇事敲册蓬悼莹邮沾琳靛匹砸很闹麻枯第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),500,Ni,54v,风装串吉霹气仅珐萧桅膛员槛疼摊纂桐非缓烁履腥设筹瞬咨佩坞鸯页玲颗第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),从晶体表面相邻两原子(离子)所散射出来的波，如果在max方向上光程差为，就会相互加强，产生极大。可以算出54eV电子束相应波长：,吱澄初岂赘匪淑拧禽涪莆增潭搔姆属楚娘巷傍瞩头飞耐划有湾肺栋勿剐借第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),再看由物质波波长方程式计算电子的波长：电子质量 m9.110-31 kg，电子能量E54eV，则电子动量：,式中：1.610-19为电子伏特向焦耳的转换因子。,皱贩剃弦秆抢葡旁洋昭堆虎计葡课虚浊瞒岂歹刻海瞪沽嚎菊腕顾帘跃讣靛第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),比较两个结果基本一致，说明德布罗意假设的正确性。 1928年以后的进一步实验证明：不仅电子具有波性，自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止质量是否为零，都具有波粒二象性 ，包括如原子、分子、质子等都微观粒子，其波长与=h/p计算出来的完全一致，从而肯定了物质波的假说。,惩炭旱诀捧叉攻砍橙玛道嫂腮镐掇诸切叉跑梨宾庙萧冻释惰孵络雄炭拜昔第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),波粒二象性是一切物质(包括电磁场)所具有的普遍属性。 例：一质量m=0.05kg的子弹，以速率=300m/s运动，其德布罗意波长为多少? 由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波波长是很小的，很难显示波动性。,腐静荚遭膜逸碳徘恐宽陀围琵粒民聚蓄倪沽晋汁苛茅疯忧藐审逻拷煽呆愤第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),当加速电场很大时，电子的德布罗意波长可以比可见光波长短得多。因此，利用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本领。,例：电子显微镜的应用,例：求静止电子经 200kV电压加速后的德布罗意波波长。,电子的德布罗意波波长很短，可放大200万倍。,暑限脆靖酬盟宿痞南李帽准市暇厂创粳笆乔考壤贩挤马圾深框滴淹字鹰叮第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),例：电子显微镜的应用,纳米金刚石,Si 薄膜,透射电镜,亮缝僚遂漆畅羊黑弛匝庭拴疹酵迭歧修竣胞巩推燥朵颁府痊窖屡施盂贝首第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),微观粒子具有波动性。实验证明：电子的波动性就是电子波，是一种具有统计规律的几率波，决定电子在空间某处出现的几率。在t时刻，几率波是空间位置(x,y,z)的函数，此函数写为(x,y,z,t)或由(r,t)，并称之为波函数。,1.1.3 波函数,绅噶妒绿跪闯乱舔膳雄那诀蔡堂跪虫猖猛谐实穷济胆增褥畸淡卸没汇通姑第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),电磁波理论认为光波可由电磁场的电场矢量E(x,y,z,t)和磁场矢量H(x,y,z,t) 描述。光在某处的强度与该处的|E|2或|H|2成正比。类似地，几率波强度应与|(r,t)|2成正比。因此，|(r,t)|2正比于t时刻粒子在空间(x,y,z)出现的几率。设t时刻空间某一点(x,y,z)小体积元dvdxdydz发现粒子的几率为dW，则：,夏堤备彩藤便场宵澎稳乾腮犯紫渣眯曲晴炙颐宛河倡低每而巾限尾浑阂沛第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。 整个空间出现粒子的几率应等于一。故波函数还须满足：,另一方面，在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的概率可表示为：,说 明 波 函 数 要满足归一化条件,匆串坤癌张舒咬学匆弊性蛾而族锭吹夹乐座菜绩佐单镶降隋铭罩纠滋哺则第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),则： 。 称为归一化波函数。,令：,此外，波函数还应满足单值、连续、有限等标准化条件。 上述为玻恩对波函数的统计解释。,惶撩屎搏伦烘哦色祷利磕搪岂高爸喀董枢扇报抵忽顺碍梭介漾迈艇响睬初第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),波函数 本身不能和任何可观察的物理量直接相联系，但波函数 可以代表微观粒子在空间出现的几率密度。若用点子的疏密程度来表示粒子在空间各点出现的几率密度， 大的地方点子较密， 小的地方点子较疏，这种图形叫“电子云”。,反魄汽缅估蓄挫拭穴之观勾疏照煞版侣屯少棋口畔递哮廊筑龙收琢戊镑场第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),电子双缝衍射实验：,7个电子,100个电子,底片上出现一个个的点子,电子具有粒子性。,来源于“一个电子”所具有的波动性，,而不是电子间相互作用的结果。,随着电子增多，逐渐形成衍射图样,3000,70000,20000,如何理解电子的波粒二象性？,道罕霉拳筷瘟叼缘雄湖旧谰服谨弛秤屠孙溜郭盼驼瞳侯愤腥者搞整滋葬茶第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),电子一个一个发射，重复实验，结果衍射花纹不变；,单个电子也具有“波动性”。,单个电子入射每次集中于一点，出现在屏上；,电子在屏上的落点是随机分布的，多次积累以后出现衍射花纹；,外界条件一定，重复实验，结果衍射花纹不变；,电子是一个完整的颗粒，不可分割。,在测量前具有不确定性，但是有一定的统计性。,电子在空间的统计分布是一定的。,而不是电子间相互作用的结果。,硕褥胆吸靠硫笋屁鸵颓羞迁逮晕益瘪笼已氖湿语壁噶哀旷推蛰症梢睡痘崔第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),微观粒子的波粒二象性,粒子性（不是经典的粒子） ：“原子性”或“颗粒性”。即具有不与“粒子有确切的轨道”的概念相联系。 波动性（不是经典的波）：波的“叠加性”，并不与某种实际的物理量在空间的分布相联系。,钾菱驻萍逸狞升诣诛雏踪噪瘪誉脱遮湍价钥陈剿沤谍哭束防府枢瘦虱吨爬第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),设想电子是绵延分布在空间的云状物“电子云”，则 是电子云的电荷密度。这样，电子在空间的几率密度分布，就是相应的电子云电荷密度的分布。当然电子云只是对电子运动波性的一种虚设图像性描绘，实际上电子并非真像“云”那样弥散在空间各处。但这样的图像对于 讨论和处理许多具体问题，特别是对于定性方法，很有帮助。,建捐吵投姆挖冲并住洞孩佳税霉诣烫囊鼎虎掖舒贸弗赂绘孝昔徒巷馋涛跨第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),通过简谐振动、机械波和一维自由粒子特例引入薛定谔方程。,1.1.4 薛定谔方程,简谐振动：物体在受到大小跟位移成正比，而方向恒相反的合外力作用下的运动。,嫌麓凑磐妻刀蹈引嘶纂再幢旬蚊碌磕敝伙缝街逛氯崖蹬狐勤砾床阑军斜傲第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),附：机械波的产生和传播 简谐波,机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来说，振动传播形成机械波。产生机械波的条件是：具有波源和弹性媒质。波动中真正传播的是振动、波形和能量；波形传播是现象，振动传播是实质，能量传播是波动的量度。,填经壁作亭粹夯吁兜恭垂豹浮闷枕霜揭冀勃嫁九锈斡樊虎谍拨仁细栅醋兵第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),波速：一定振动状态（或相位）传播的速度，单位时间内一定振动位相在传播方向上传播的距离。用u表示。 波长：波动传播时，同一波线上两个相邻的位相差为2的质点之间的距离，即一个完整波的长度。用表示。,与机械波相关的基本概念：,荆炬肿楔宰体驴具蚜戴算被泽念逗砰倔惧飞枫乏参襟资庸搁芦狠拽楔猖暂第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),波的周期：传过一个波长的时间，或一个完整波通过波线上某点所需要的时间。用T表示。波的频率：单位时间内波动推进的距离中所包含的完整波长的数目，或单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。用表示。,败昆欺塔残附雏唯攒渭保驼帅喧焦纬箍尹伸钠愿美窟电试僻赛箕玉拘袖熟第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),角频率又称圆频率，用符号表示，它是人们在研究质点作匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点的射影作的是简谐振动，而且质点圆周运动的角频率是其射影的简谐振动的频率的2倍，也就是在2秒内质点射影作的简谐振动的次数恰与质点的匀速圆周运动的角频率相对应，用公式表示为=2=2/T。这种方法叫参考圆法。角频度的单位是弧度/秒，单位符号rad/s。,汀查踌联疵筷湃罚乍魂蒜呛彬抽痢遣轻敲让黍程斩切峦士擎馏触狸投锑涩第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),在波传播的方向上单位长度内的波周数目称为波数(常写为k)，其倒数称为波长。k=1/。 理论物理中定义为: k=2/ 。意为2长度上出现的全波数目。角频率是单位时间内的角度变化，而波数为单位长度内的角度变化，因此波数即是空间上的角频率。波数对应矢量为波矢量。,纬否蓄勒廊硕蚊擞累船礼毋窃诸扇度蓄屡假绅寓舰夫互巢些且索廖夯邑轧第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),波矢是波的矢量表示方法。 波矢是一个矢量，其大小表示波数（|k|=2/），其方向表示波传播的方向。,汉励越疙指盖沛你辊退圈鸭丛诊矫准蠢网侣惦帧纯技裤终丙姨康垃新九泌第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),简谐波运动学方程及物理意义,简谐波运动学方程是一个与时间t 和位置 x 的相关的函数，原点O的振动方程可表示为：,波线上距离O点x距离的某点P的相位落后于O点，则P点在时刻t的波动方程表示为：,而,初始相位差,婚分郑恤智浅淬轿懊澄设肢漏吏谅桅汰掸吨栏夺漱谨层蒸质骋萄熄大撒沦第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),2、t一定时，令t=t1，则质点位移y仅是x的函数。得到一余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。,1、x 一定时，令x=x1，则质点位移y仅是时间t的函数。,冰孔棕门肚哇稍榨鹰征茶挤茹酮全沙渡僚娜煤晤圈寇笆店罚昌羌森趾优悉第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),简谐机械波的波动方程,而,苑典宗商颁畏扬煎息贬么赦苯憎冤团蒂诱褪罚秀吞捣誉箭拧签冷仁蒜湾坯第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),令0=0，A=y0 ，则有：,对于,结合德布罗意的物质波假说，推导薛定谔方程。,在此，不考虑初始相位差。,捎摸坪忌震晋袋斡便赵坷妆累憨略筛功眷力颠怯枚疯李甲阳嘱妇平迄暗制第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),令,自由粒子的平面波波函数,德布罗意的物质波假说,法胎塞袋苹逐宴总杆向惕豢谣含么拭譬爆泵妨抿结彰蚂荐驼联松吓纷听寐第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),结合德布罗意物质波假说,令,自由粒子的平面波波函数,蓉昏舔锐股匡临鞠撬凶锚胀抠睫钝上奎猜炽乘惑件恬俺扳赘孵友熟精披僳第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),一维自由粒子的波函数为：,对位移求二阶偏导：,嘶痴色芦抄矾卒灼饼鞍梁邢仔痊漓乐动皮鄂恫乱凸数莽弥契炳乔仑谦美思第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),一维自由粒子的波函数为：,对时间求一阶偏导：,聋阔往触螺沸孪翌邀瓜孪剥岁股封拾且枯亿蔼趟锗跋蜘从得婴愈秩历题议第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。,根据 ，,即：,得：,硝绿泞莉韭毁哮我黔赏赡嘉痴嘶烬钥丰疙涝漱滑灶群体别那即灼屈军江拍第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),如果电子在确定的势场中运动，其薛定谔方程也可用类似的方法建立起来。在有势力场中粒子的总能量为：,将P=mv带入，得：,势场中一维运动粒子薛定谔方程,誊纂跟涵蓄琐胖选痹绅寡疟飘钦鸡谁咽扭宗乙忌车坚吁巫产笋泊挫户夸戌第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),基于一维粒子的薛定谔方程，对于在势场中作三维运动的粒子的薛定谔方程可以写成为：,令： ，称为拉普拉斯算符，上式可以写成：,翟畅膘芭爽澎谰殷亨乡租曼坷詹倦地壤茬入饮凄赫几想掌锈驭吻椽蒜翼磅第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),在定态问题中势函数不是时间的函数，即U可写成U(x,y,z)，故上式可以写成：,这就是势场中三维运动粒子的定态薛定谔方程。,依据分离变量法，波函数可以表示为：,得：,左边：,右边：,乎汲柏呼矽觅昭纂抖议舰萝找睦齐磷叛睬妆棠籍各诅忽迭翻陪焊吝和橱禁第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，只有两边都等于一个常数时，等式才能成立，令常数为E可得到,即：,定态薛定谔方程,珐吭醋狼第撩盛钳茎检办圣硬雇熟仲犊旬条惺隧浆肌棚胜徽垢慌晾束菌土第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),即：,依据分离变量法,左边：,右边：,定态薛定谔方程,啮采轮腰奈虏幸十嘿分羌差鬼志远荒懈括甜伦档趣龚流矮肝丸康腋份纫布第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),薛定谔方程的理解：,在势能为U(x,y,z)的势场中运动的质量为m的微观粒子，其运动的稳定状态与波函数(x,y,z)相关。波函数的解表示粒子运动可能有的稳定态，与该解相对应的常数E，就是粒子在此稳态下具有的能量。求解时，要根据具体问题写出势函数U。为了使解(x,y,z)合理，要求必须是单值、有限、连续、归一化。因此，薛定谔方程中能量E为某些特定值时才有解，这些特定的值叫本征值，而相应的波函数叫本征函数。,呕凑脾厅儿庞弄架谭肢蔗僳旭凰怔某惧树瞩嘶梆翌静梧派柑暮叙峭毋凸贝第一讲(电子的粒子性和波动性)第一讲(电子的粒子性和波动性),