第一节 高斯消去法ppt课件.ppt

第六章 线性方程组的数值解法,主要内容,一、线性方程组的直接解法,二、线性方程组的迭代法,1、高斯消去法,2、高斯消去法的变形,1、雅克比迭代法,2、高斯-塞德尔迭代法,第一节 高斯消元法,思想,通过初等变换逐步消去未知元，将原方程组化为同解的三角方程组。,一、三角方程组及其解法,称形如,的方程组为上三角方程组。,若系数行列式不为零，即 ，则方程组的解,上述求解过程成为回代过程。,类似方法可用于求解如下下三角方程组,设求解方程组 ，其中,(1) 第一步消元。若 ，记,二、高斯消去法,将第一行乘以 ，加到第 行上去，得,其中,于是得到如下与原方程组等价的方程组,(2) 第二步消元。若 ，对增广矩阵 进行类似,行初等变换得下述方程组,其中,于是得到如下与原方程组等价的方程组,(3) 第 k 步消元。设第 k-1 次消元已经完成，若增广矩阵,若 ，对 做类似的初等变换的等价,方程组 ,其中,其中,(4) 当 时，经过n-1次消元得到,与原方程等价的上三角方程组：,(5) 回代求解,等价方程组,高斯消去法的消元过程,回代过程,例5：用基本Gauss消元法求解下列方程组,解：,增广矩阵,基本Gauss消元法的工作量,消元过程：,回代过程：,加减法的次数,乘除法的次数,（基本Gauss消元法的实现条件）,证明：,归纳法证明(略),小主元 可能导致计算失败,8个,解：,二、 选主元素的高斯消元法,思想,每次消元之前，在剩余元素中选择绝对值最大的非零元素作为主元， 然后经过换行换到主元位置,列主元消去法,Step k：第k步首先选择主元,寻求 满足,然后交换矩阵 的第 行和 行，再进行消元过程,算法: Gauss列主元消去算法求方程组Ax=b 的解.输入:增广矩阵An(n+1)=（A|b）.输出: 近似解 xk=ak,n+1(k=1,2,n) 或失败信息.消元过程 for k = 1,2,n-1 do Step 1 - Step 4 Step 1 寻找行号 ik , 使得Step 2 如果 ，则交换第k行和ik行； 否则转Step 7,算法: Gauss列主元消去算法（续）Step 3 for i=k+1,n 计算 Step 4 for j=k+1,n+1 计算回代过程Step 5Step 6 for i=n-1,1 计算 Step 7 Output (系数矩阵奇异); /*不成功 */ STOP.,例7：用Gauss列主元消去法求解下列方程组,解：,首先写出增广矩阵,Step 1,Step 2,