第七章一阶电路和二阶电路的时域分析ppt课件.pptx

7-1 动态电路的方程及其初始条件,一、一阶电路当线性时不变电路含一个电容或一个电感时，电路方程是一阶线性微分方程，对应的电路称为一阶电阻电容电路（RC电路）或一阶电阻电感电路（RL电路）。这种电路是一阶动态电路。,二、换路定律,过渡过程：电路由一个工作状态转变为另一个工作状态，其间所经过的过程称为过渡过程。,暂态,过渡过程,稳态,稳态,上述电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路。,通常把换路前最终时刻记为t =0-，换路后的最初时刻记为t =0+，换路经历的时间为0-到0+。,1、过渡过程：从一种稳定状态转变到另一种 稳定状态的中间过程。,补充：过渡过程,过渡过程演示电路图,2、现象：合上S L1立即发亮 亮度不变 L2由暗亮 最后定 L3由亮暗 直到熄灭 外因 :电路状态的改变 内因: 有储能元件,2.换路定律定义,换路前后电容电流和电感电压为有限值时，换路前后电容电压和电感电流不能跃变。,即：,uc(0+)=uc(0-),iL(0+)=iL(0-),能量不能跃变,电路中其它量换路前后皆可跃变。,三、初始值计算：求解初始条件,初始值：响应在换路后最初瞬间（即0+）的值。独立初始值：uc(0+)、iL(0+)。相关初始值：其它电量由独立初始值求出。求解过程：由已知求得uc(0+)、iL(0+)换路定律；画出t =0+时的等效电路： uc(0+)电压源替代； iL(0+)电流源替代；求出其它电量的初始值。,图（a）所示电路中, 已知Us=12V, R1=4k, R2=8k, C=1F, 开关S原来处于断开状态, 电容上电压uC(0-)=0。求开关S闭合后, t=0+时, 各电流及电容电压的数值。,例:,解:选定有关参考方向如图所示。 (1) 由已知条件可知: uC(0-)=0。 (2) 由换路定则可知: uC(0+)=uC(0-)=0。,(3) 求其它各电流、电压的初始值。画出t=0+时刻的等效电路, 如图（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等效电路中电容相当于短路。故有,由KCL有iC(0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。,解：,t=0：,iL,t=0,uC (0+)=uC(0)=4ViL(0+)=iL(0)=4A,i(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6AuL (0+)=US R3iL(0+)= 6V,t =0+：,解：,7-2 一阶电路的零输入响应,一、零输入响应 当uC(0+)、iL(0+)不为零且电路中无独立源外施激励时，电路中的响应称为零输入响应。,二、RC电路的零输入响应,充好电的电容向电阻放电：,R0,U0,uC,C,R,S(t=0),uR,t0,i,C,R,uR,uC,i,1.求解t 0+时的电路,当t 0时 uC(0+)=U0由KVL得 uCuR=0又 uR=Ri,C,R,uR,uC,i,解微分方程可得,(t 0+),一阶微分方程求解补充：,由换路定则知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即将A=U0代入， 得,电流,(t0+),2.uC、uR、i的时间曲线,uR、i,3.时间常数,定义: =RC,仅取决于电路的结构和元件的参数，单位“秒s”。,对响应的影响： 越大，放电过程越长。通常认为经过35后过渡过程结束。,的图解,t=时，uC=0.368U0,(次切距法),任一点切线,（其中R为等效电阻）,电容电压及电流随时间变化的规律,4.能量转换,电容的电能,电阻的热能,例： 电源开关S原在位置1，且电路已达稳态，t=0时开关由1合向2，求t0时电流i（t）。,解：,换路后电路如右图：,三、RL电路的零输入响应,R0,U0,uL,L,R,S(t=0),uR,t 0,i,L,R,uR,uL,i,1.求解t 0+时的电路,当t 0时 i(0+)=I0=U0/R由KVL得 uL+uR=0又 uR=Ri,L,R,uR,uL,i,解微分方程可得,(t 0+),2.时间常数,即:,单位”秒S”,O,RIO,i,uR,RIO,IO,t,uL,3.参数曲线,4. 能量转换：L磁场能R热能,零输入响应是初始值的线性函数，满足：,U0：,KU0 ：,U01+U02：,注：,齐次性：,可加性：,uC =R1i1+R2i2 ，i2=i1+i1=2i1 uC = R1i1+2R2i1,解：,=RC=5s,求等效电阻R,7-3 一阶电路的零状态响应,一、零状态响应 当uC(0+)、iL(0+)为零，电路中由独立源外施激励引起的响应称为零状态响应。,二、RC电路在直流激励下的零状态响应,求解 t0 时的电路(充电),US,uC,R,S(t=0),uR,C,KVL： uC+uR=US,i,又,可解得,（t0）,（t0）,其中=RC,对,的说明,特解,称为稳态分量或强制分量；,通解,称为瞬态分量或自由分量。,2.参数曲线,O,US,uC ,US,US,t,uC,uC,i,R,3.能量转换,WR=WC=CUS2,充电效率50%,三、RL电路在直流激励下的零状态响应,IS,S(t=0),L,R,uL,iL,iR,求解 t0 时的电路,KCL: IS=IR+IL,可解得,其中,2.参数曲线,O,IS,i L ,IS,t,iL,iL,3.能量转换,WL=WR=LIS2,零状态响应是激励的线性函数：可加性：f1(t)y(1)，f2(t)y(2)，则 f1(t)+f2(t)y=y(1)+y(2)齐次性：kf1(t)y(3)=ky(1),注：,四、正弦电源激励下的零状态响应（以RL电路为例）,i (0-)=0,求：i (t),接入相位角,强制分量(稳态分量),自由分量(暂态分量),用相量法计算稳态解,解答为,讨论几种情况：,1）合闸 时u = ，,电路直接进入稳态，不产生过渡过程。,2） u = /2 即 u - = /2,则 A = 0, 无暂态分量,u = -/2时波形为,最大电流出现在 t = T/2时刻。,可见，RL串联电路与正弦电压接通后，在初始值一定得条件下，电路的过渡过程与开关动作的时刻有关。,解：,0t6s（图b）：,1=R2C=6s,t6s （图c）：,2=RC=2s,零状态,零输入,uC(t)的曲线,7-4 一阶电路的全响应,一、全响应定义 一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。即： uC(0+)、iL(0+)不为零，且电路中有独立源外施激励所引起的响应。,二、全响应电路求解,US,uC,R,S(t=0),uR,C,i,以RC电路为例：uC(0-)=U0,求解 t0 时的电路(充电后的电容接入直流电源),KVL： uC+uR=US,可解得,（t0）,二、全响应电路分解,1.,（t 0）,其中:,稳态 (强制)分量,瞬态 (自由)分量,全响应=(稳态分量)+(瞬态分量),O,U0US,uC ,US,t,uC,uC,UO,2.,（t 0）,全响应=,零输入响应,零状态响应,+,t,US,uC,UO,uC1,uC2,O,有三种情况： (a) U0Us,一阶电路的全响应及其分解:,(a) U0Us,全响应是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。1、直流电源激励,三、三要素法解一阶电路,一阶电路响应通式f (t)=f ()+ f (0+)f () （t 0）,2、正弦电源激励,式中 是特解，稳态响应；,是稳态响应的初始值；,的含义与前述相同。,注：在分析一阶电路时，可把储能元件以外部分，应用戴维宁定理或诺顿定理进行等效变换，然后求解储能元件上的电压和电流。其它之路电压和电流，则可按照变换前的原电路进行。,表 92 经典法与三要素法求解一阶电路比较表（一）,表 92 经典法与三要素法求解一阶电路比较表（二）,(1) 画出换路前（t=0-）的等效电路。求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)。 ,(2) 根据换路定则uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-), 画出换路瞬间（t=0+）时的等效电路, 求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+), 即f (0+)。,(3) 画出t =时的稳态等效电路（稳态时电容相当于开路, 电感相当于短路）, 求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i()或u(), 即f()。,(4) 求出电路的时间常数。=RC或GL, 其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储能元件两端看进去的等效内阻。,(5) 根据所求得的三要素, 即可得响应电流或电压的动态过程表达式。,归纳出用三要素法解题的一般步骤,(a),(b),例：（a）图所示电路中Us10V，Is=2A，R=2，L=4H。试求S闭合后电路中的电流iL和i。解：戴维宁等效电路如b图，,解：,弥尔曼定理,uC ()=US+R1IS=9V，=R1C=3s,uC (0+)=uC (0-)=6V,(t 0),7-5 二阶电路的零输入响应,一、二阶电路用二阶微分方程描述的动态电路为二阶电路。二阶电路有两个初始条件。如RLC串联电路和GLC并联电路。,二、RLC串联电路,1.求解电路KVL:uR+uL-uC=0又,L,R,uR,uL,i,uC,S(t=0),C,已知 uC(0-)=U0(电容已充电)。,特征方程：LCp2+RCp+1=0,特征根：,仅与电路结构和参数有关！,又,可得：,由于R、L、C参数不同，特征根可能为两个不等的负实根一对实部为负的共轭复根一对相等的负实数,求出uC！,2.分析电路,称为过阻尼电路, uC向R、L非震荡放电。,特征根为两个不等的负实根；,称为欠阻尼电路, uC向R、L震荡放电。,特征根为一对共轭复根；,称为临界情况, uC向R、L非震荡放电；,特征根为一对相等的负实数(重根)；,此时的电阻R称为临界电阻。,、,补充：R=0，uC等幅振荡。,求所示电路中电流 i (t)的零状态响应。,i1= i - 0.5 u1,=i - 0.5 2 (2 - i) = 2i - 2,由KVL,整理得：,二阶非齐次常微分方程,解：第一步列写微分方程,7.6 二阶电路的零状态响应和全响应,一. 零状态响应,解答形式为：,第二步求通解i,P1= -2 ，P2 = -6,稳态模型,P2+8P+12=0,第三步求特解 i”,i = 0.5 u1,u1=2(2-0.5u1),u1=2Vi()=1A,第四步求初值,第五步定常数,二. 全响应,已知： iL(0)=2A uC(0)=0R=50 , L=0.5H , C=100F,求：iL(t) , iR (t) 。,解 (1) 列微分方程,(2)求通解(自由分量）,特征根 P= -100 j100,(3)求特解（强制分量，稳态解）,(4)求全解,(4)由初值定积分常数,iL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）,(5) 求 iR(t),解答形式为：,由初始值定积分常数,1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程 的时间。,小结,2. 二阶电路用三个参数 ， 和 0来表示动态响应。,特征根 响应性质 自由分量形式,5.线性电路古典法解二阶过渡过程包括以下几步：(1)换路后(0+)电路列写微分方程；(2)求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定）；(3)求强制分量（稳态分量）；(4)全解=自由分量+强制分量；(5)将初值f(0+)和f （0+)代入全解，定积分常数求响应；(6)讨论物理过程，画出波形。,3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。,4. 特征方程次数的确定：等于换路后的电路经过尽可能简化而 具有的独立初始值的数目。,7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,一、阶跃函数,单位阶跃函数：(奇异函数),=,0 t 0-,1 t 0+,也称为开关函数。,一般阶跃函数： f (t) =K (t),f (t) =,0 t 0-,K t 0+,f (t) =,0 t t0-,K t t0+,f (t),延迟阶跃函数： f (t) =K (tt0),0,f (t),t0,K,t,单位阶跃函数定义波形起始：,若f (t)波形从t0时刻起始,0,f (t),t0,f (t),f (t) =f (t) (t-t0)=,0 t t0-,f (t) t t0+,表示函数定义域!,t,5.波形分解, f (t) =K (t)-K (t-t0),0,f (t),t0,t,0,f1 (t),t0,t,K,K,+,0,f 2(t),t0,-K,t,0,f (t),t1,t,K,t2,0,f1 (t),t1,t,K,+,0,f 2(t),t2,-K,t, f (t) =K (t-t1)- K (t-t2),二、一阶电路的阶跃响应,单位阶跃响应：电路在单位阶跃函数(t) 作用下的零状态响应,用s(t)表示。阶跃响应：,uS,uC,R,C,i,若us=US (t )，则,(t)限定了定义域。,0,uc (t),t,US,若us=US (t-t0)，即在t = t0时施加激励,uS,uC,R,C,则,i,0,uc (t),t,US,t0,显然此时(t-t0) 的作用与上面所讲的起始波形不同。,例： 图示电路，开关位置1时电路已达到稳定状态。T=0时开关合向2，在在t= 时又由2合到1，求t0时的电容电压uc(t)。,解:(1)将电路的工作过程分段求解在0t 区间为RC电路的零状态响应。,（2）用阶跃函数表激励，求阶跃响应激励us(t)可用a图矩形脉冲表示，,us(t),us,0,t,-US,us(t),us,t,0,-US(t- ),(a),(b),(c),t,uc(t),us,0.632us,0,例1,求阶跃响应iC .,解:,等效,分段表示为：,分段表示为,另解：,例2.,已知: u(t)如图示 , iL(0)= 0 。求: iL(t) , 并画波形。,解,0 t 1 iL(0+)=0,t 0 iL(t)=0,iL()=1A,iL(t) = 1et / 6 A, =5/ (1/5)=6 s,方法一：用分段函数表示,1 t 2 iL(1+)= iL(1-)= 1e1/ 6 =0.154 A,iL( )=0,iL(t) = 2 +0.1542 e ( t 1 )/ 6 = 21.846 e ( t 1 )/ 6 A,t 2 iL(2+)= iL(2-)= 2 - 1.846 e - ( 2 - 1 )/ 6 =0.437 A,iL()=2A,iL(t) = 0.437 e ( t 2 )/ 6 A, =6 s, =6 s,u(t)= (t)+ (t1)2 (t2),iL(t) = (1 e t / 6) (t)+ (1e( t1) / 6 ) (t1)2(1e( t 2) / 6 ) (t2) A,解法二：用全时间域函数表示(叠加),一、冲激函数,1. 单位脉冲函数,6-6 一阶电路和二阶电路的冲激响应,2. 定义,k(t),例., 0,uc U(t),iC CU (t),iC = CUS (t),t = t0时合S ,t = 0时合S,延迟单位冲激函数 (t-t0):,3. 函数的筛分性质,同理有,例.,解:,f(t)在t=0时连续,4. (t) 和 (t)的关系,= (t),证明：,(1) s(t)定义在( ，)整个时间轴。,注意：,(2) 阶跃响应s(t)可由冲激响应(t)积分得到。,单位冲激响应：电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响应。,二、冲激响应,1. 由单位阶跃响应求单位冲激响应,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激函数, (t),单位阶跃函数, (t),(1) 先求单位阶跃响应：,例1.,uC(0+)=0,uC()=R, = RC,求： is(t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t),iC(0+)=1,iC()=0,已知：uC(0+)=0。,令 iS (t)= (t)A,解,(2) 再求单位冲激响应：,冲激响应,阶跃响应,t 在0-至0+间,t 0+,为零输入响应,电感储能,三、二阶电路的冲激响应,uC(0-)=0 , iL(0-)=0,uC(0-)=0 , iL(0-)=0,t 在0-至0+间,uC是跳变和冲激上式都不满足,设uC不跳变，duC/dt 发生跳变,有限值,相等,0,电感电流跳变,结论,特征方程,注：线性电路的几个性质,叠加性：若激励e1(t)响应r1(t)；激励e2(t )响应r2(t )则激励ae1(t)+be2(t )响应ar1(t )+br2(t )延迟性：若激励e1(t)响应r1(t)则激励e1(t t0)响应r1(t- t0)微分性:若激励e1(t)响应r1(t)；激励e2(t)响应r2(t),如果满足,则有,