第7章 数学物理方程定解问题ppt课件.ppt

本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解；重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法；特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程。,第二篇 数学物理方程,数理方程简介,物理/工程问题,数学问题,翻译,物理/工程规律,数学结果,求解,数学理论,数学性质,讨论,物理/工程意义,补充： 二阶线性偏微分方程及其分类,一、偏微分方程,阶数：,偏导数的最高阶数,定义：,未知函数及其偏导数所满足的方程。,线性偏微分方程：,所有含未知函数或其偏导数的项均为一次项。,齐次方程：,各非零项都含有未知函数，或未知函数的偏导数,【例】未知函数 uu (x ,y),二阶非线性非齐次,三阶线性非齐次,二阶线性齐次,一阶非线性非齐次,二、 二阶线性偏微分方程的分类,复杂多样的物理问题被抽象成数学模型时，多样的物理背景可能是同一个数学模型。下面把从物 理问题中抽象出来的二阶线性偏微分方程分为几大类,1.波动方程：描述机械的、电磁的振动和波动的 运动规律的方程,一般形式：设 u = u (x ,y ,z ,t),简记为：,（ a为常数）,拉氏算符,也称：双曲型方程（ Hyperbolic Equation）,2. 输运方程：描述热传导和物质扩散规律的方程,一般形式：,也称：抛物型方程（Parabolic Equation）：,双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的,有时也称为发展方程.,3.泊松方程和拉氏方程：描述各类稳定问题规律的方程,一般形式：,泊松方程,拉氏方程,它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）过程规律偏微分方程. 在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律。,借助算子的语言，以上各类方程可统一写成,对于波动方程：,对于输运方程：,对于稳定场方程：,L为线性算子:满足L(c1u1+c2u2)=c1Lu1+c2Lu2 其中c1,c2是常量,方程还可直接由实验中总结出来（麦克斯韦方程组）或由某些假设推出来（薛定谔方程）,要求：学会从物理、工程规律推导方程的基本方法,由已知的物理/工程规律可推导出来这三类方程。,数学建模-数学物理定解问题,从一些典型的物理、工程问题中导出二阶线性偏微分方程为了说明物理模型，加强对模型物理、工程意义的描述. 对主要类型的物理、工程现象均详细地给出了数学物理方程的建立方法,切实加强数学建模能力的训练和提高.,数学建模的基本物理思想,在科学技术和生产实际中常常要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程。【例】静电场（或电磁波）的电场强度或电势在空间中的分布， 声场中的声压在空间和时间中的变化情况， 半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中怎样分布并怎样随时间而变化等等。,定解条件： 边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，即问题的特殊性(个性)。,数学物理方程的建立及其求解的一般步骤,将物理、工程问题转化为数学模型：对物理、工程问题根据相关的物理、工程定律建立相应的数学模型，也就是将物理或工程问题归结成数学上的定解问题.解定解问题, 也就是用数学方法求出满足方程和定解条件的解;验证模型的正确性并理解模型的物理、工程意义：对所得解通过数学的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并将所得的解作适当的物理意义解释，从而理解遵循同一类方程的普遍物理模型.,（1）牛顿（Newton）第二定律: F = ma ；（2）胡克（Hooke）定律在弹性限度内，弹性体的张应力和弹性体的形变量成正比 即张应力杨氏模量(E )相对伸长.（3）热传导的傅里叶定律：在dt 时间内，通过面积元dS 流入小体积元的热量dQ 与沿面积元外法线方向的温度梯度 成正比，也与dS和dt 成正比，即： 式中k 是导热系数，由物体的材料决定,常用物理定理概述,返回,返回,（4）牛顿(Newton)冷却定律: 单位时间内从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比, 即： 这里u1 是外界媒质的温度. h 为比例系数(5) 扩散定律 即斐克定律: 单位时间内扩散流过某横截面的杂质量m 与该横截面积S 和浓度梯度 成正比，即：,式中D为扩散系数，负号表示扩散是向着杂质浓度减少的方向进行的。,返回,返回,（6）静电场中的高斯(Gauss)定理: 通过任意闭合曲面的电场强度通量，等于这个闭合曲面所包围的自由电荷量的1/倍。即其中，为电荷所处媒质的介电常数，为电荷体密度。,补充：拉普拉斯算符,令,（拉普拉斯算符）,有时记,记,下标2是为了强调二维,下标3是为了强调三维,第七章 数学物理方程定解问题,7.2 定解条件,7.3 数学物理方程的分类(自学）,7.1 三类数学物理方程的导出,7.4 达朗贝尔公式、定解问题（不讲）,（弦的一维自由横振动）,一根均匀柔软的细弦，平衡时将其绷紧，考察它沿垂直于弦方向的微小振动。,1、均匀弦的微小横振动,7.1 三类数学物理方程的导出,推导过程：,（1）建立坐标系： 选择弦平衡时绷紧的直线为ox轴。,（2）确定描述状态的物理量： u (x ,t) u (x ,t)弦上位于x点在任意t时刻偏离平衡 位置的横向位移。,（3）弦运动所遵循的物理规律： 弦上任意一小段可视为质点，服从牛顿第二定律,弦是均匀的密度为一常量,mg T（弦中的张力） 重力可忽略不计，同时忽略空气阻力,弦是完全柔软体（无抗弯力）张力沿切线方向,弦做微小振动,弦的伸缩量S0( ds dx）,（4）简化假设：,弦的横向位移为 u(x,t),(5)导出方程（小块分析法）：,考虑微小横振动,记,高数下册P63偏导数的定义,均匀弦的受迫横振动,如果各点受到一个垂直方向的外力F (x ,t) x的作用，其中：F (x ,t)为单位长度上受到的外力。,推导过程相同，结果得：,一维波动方程,单位质量所受的力(力密度),杆长方向的纵向振动位移所遵从的运动规律：,对于一根杆，只要其中任意一小段有纵向移动，必然使它的临近段压缩或伸长，这邻近段的压缩或伸长又使得它自己的相邻段压缩或伸长 。这样一来，任一小段的纵向振动必然传播到整根杆实际上，这种振动的传播就是波,2、均匀杆的纵振动,细杆分成许多段（研究B段）t时刻，某点的纵向位移为,t时刻，B段伸长,相对伸长为,事实上，相对伸长是位置的函数，如B段两端：,相对伸长,由胡克定律，B两端的张应力（单位横截面的力）分别为,B段运动方程为,记,对于均匀杆，E和都是常数。,不同的物理过程，可能有相同的泛定方程。如：传输线方程（电报方程）均匀薄膜的微小横振动方程流体力学与声学方程电磁波方程 尽管它们的物理本质根本不同，但是这些方程数学形式与弦振动方程和杆纵振动方程完全一样。,3、扩散方程,由于浓度不同引起的分子运动,扩散流强度q ，即单位 时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度 u(单位体积内的粒子数） 的梯度成正比,D 为扩散系数。,负号表扩散方向与浓度梯度相反。(扩散定律 /斐克定律),大小,x方向左表面，dt 时间流入六面体的流量为,流出六面体的流量为,净流入量为,x 方向净流入量为,同理可以求得y 方向净流入量为,以及z 方向净流入量为,则六面体净流入量,如六面体内无源和汇，则dt时间内粒子增加数为,该增加数等于六面体净流入量，即,于是得到三维扩散方程：,如果扩散系数D在空间中是均匀的，则上式可以简化为,这里 a2=D 。如果仅在x方向有扩散，则有,即,如六面体内有源或汇，则需进一步考虑以下两种情况：,第二种情况，若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u ，则,即,第一种情况，若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F(x,y,z,t) 与 u 无关,4、热传导方程,第一种情况：系统内无热源（热传导仅由物体内部温度不均匀所引发）,如果物体内各点的温度不一样，则物体内部就会有热传导现象发生，即热量会从温度高的地方流向温度低的地方。热传导的结果使物体各点温度发生变化，我们的任务就是要推导温度变化所满足的偏微分方程。,设有一根横截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热。u(x,t) 为 x 处 t 时刻的温度， 为杆密度。,热传导的傅里叶定律：单位 时间内流过单位面积的热量 q (热流强度量）与温度的梯度成正比，即,（k 为热传导系数）,一维情况下有,大小,x方向左表面，dt 时间流入圆柱体的热量为,dt 时间流出圆柱体的热量为,dt 时间净流入的热量为,这里认为热传导系数k 为常数。,u(x,t) 为 x 处 t 时刻的温度， 为杆密度,dt 时间内引起小段dx温度升高所需热量为,由能量守恒定律：,dt流入dx内的净热量 体元dx温度改变du所吸收 （放出）的热量,即：,各向同性均匀物体，当体内无热源时的热传导方程。,为该情况下，按单位质量单位热容量计算的热源强度。,设：单位时间单位体积内产生的热量为F (x,t)， （如焦耳热），则能量守恒方程改写为,第二种情况：系统内有热源,三维情况下,5、稳定场方程,以热传导方程为例：如果边界条件及热源内不随时间变化，经过一定时间后，物体内部的温度分布将达到稳定状态。,即：,那么：,退化为,Laplace方程,泊松方程,7.1 作业：P121习题 3和习题 4。注意习题 4需要先推导出(7.1.34)和(7.1.36)。,6、静电场情况下的泊松方程和Laplace 方程,电场强度通量的高斯定理,称为 泊松方程,称为 Laplace 方程,若,高数下册 P229 高斯公式,7、不可压缩流体的无旋稳恒流动,无旋稳恒流动的速度势 满足,无源无旋稳恒流动的速度势,f 为流体源或汇的强度,（不讲，幻灯片隐藏）,各类方程均是对一种连续分布的物理场的逐点、瞬时的精确描述。也就是说，从空间上看，方程所反映的是系统中除边界点外所有内部点的运动规律。从时间上看，方程所反映的是系统在t0以后各个时刻的运动规律。方程反映的是同一类物理问题的共性，跟具体条件无关泛定方程。具体问题的个性是由边界条件和初始条件反映的；要完全确定地解出一个具体的物理问题，还必须考虑边界条件和初条件定解条件。,7.2 定解条件,t0时刻系统的周围环境,t=0时刻系统的初始状态,物理、工程,数学,t0时刻系统内部的物理、工程过程,泛定方程,边界条件,初始条件,某系统物理状态的最后确定不仅取决于系统内部的物理过程，而且还取决于系统周围环境和初始状态。,对于输运方程,（一）、初始条件,初始条件要求已知,对于弦振动方程,初始条件要求已知,位移满足,速度满足,定义：描述初始时刻，系统各点状态的定解条件。注：只有非稳定问题，提初始条件才有意义。,位移满足,速度满足,（二）、边界条件,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,一维情况,解释和M,如两端固定弦,端点位移,（1）、第一类边界条件,如细杆热传导端点温度,l,（如扩散端点浓度）,A）、如细杆的纵振动，x=a 处受力 f(t),（2）、第二类边界条件,如杆端自由 f(t)=0,a,如细杆热传导端点有热量流出,如细杆热传导端点有热量流入,B）、热传导,如细杆热传导，一端自由冷却,则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度差有关系,（3）、第三类边界条件,牛顿冷却定律,0,x,a,对于两端都是自由冷却的杆：x=0 处,第一、第二和第三类边界条件可统一写成：,（三）、衔接条件,1.所研究的区域里出现跃变点，在跃变点处应 提供衔接条件； 2.所研究的系统为不同介质所组成时，在不同介 质的连接处应提供衔接条件,泛定方程,定解条件,波动方程,输运方程,泊松方程,第一类,第二类,第三类,衔接条件,初条件,边界条件,t=0时刻系统的初始状态,t0时刻系统的周围环境,第二类边界条件： 纵振动： 端点受力（不受力） 热传导： 端点有热流流入（绝热）,第三类边界条件：在热传导问题中代表自由冷却端的边界条件。,7.2 作业：P 128习题 1，习题 4和习题 5。,