空间分析 (5 6)：空间点数据分析ppt课件.ppt

第五讲 空间点数据分析,引言点数据概述点数据分析,-Spatial Point Data Analysis-,1. 引言,点模式分析由植物学家和生态学家在1930s应用。但是，随后许多不同领域也开始应用点模式分析，如考古学、流行病学、天文学和犯罪学。一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据（incident data）。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。,抢劫案,Data,城市发展的空间演变模式,星罗棋布的村庄,http:/www.sphere.ad.jp/togen/photo-n.html,来源：USGS,Arp 272是两个螺旋星云NGC 6050 和 IC 1179相撞形成的，这两个星云的螺旋臂相互扭结在一起。它们是武仙座星群的一部分。武仙座星群是已知的宇宙中最大的结构：所谓的长城的一部分。Arp 272距离地球大约4.5亿光年。,http:/,Arp 240是一对大小相似的螺旋星云NGC 5257 和NGC 5258。这两个星系显然通过一个暗淡的恒星桥相互作用。它们两个的中心都有超大质量黑洞。Arp 240位于室女座内，距离地球大约3亿光年。,http:/,ESO 99-4是一个拥有奇特形状的星系，它可能是一个早期合并过程的残余物，没有成形。ESO 99-4位于北三角座内，距离地球大约4亿光年。,轧制钢横截面（100100 微米）573个碳化物颗粒中心,混凝土（101010毫米）（白色为切的刚玉颗粒，黑色为气孔）,细胞表面的蛋白质位置矩形大小：107119 微米,血液样本（红细胞为黑色）矩形大小：225182 微米,“点”模式在自然与社会经济中普遍存在。 识别空间点模式(spatial point pattern)的目的是为了更好地理解空间点过程(spatial point progress)，揭示隐藏在空间模式表象之下的空间过程的机理。 空间随机/ 聚集/均匀 过程建模,2. 点数据概述,随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布(Poisson distribution)。均匀分布：个体间保持一定的距离，每一个点尽量地远离其周围的邻近点。在单位(样方)中个体出现与不出现的概率完全或几乎相等。聚集分布：许多点集中在一个或少数几个区域，大面积的区域没有或仅有少量点。总体中一个或多个点的存在影响其它点在同一取样单位中的出现概率。,空间点数据的三种基本分布模式,点数据的三种基本空间分布模式,怎样描述点模式?,一阶效应(First-Order Effects)事件间的绝对位置具有决定作用，单位面积的事件数量在空间上有比较清楚的变化。如，空间上平均值/密度的变化。二阶效应(Second-Order Effects)事件间的相对位置和距离具有决定作用。如，空间相互作用。,3.1 基于密度的方法：测度一阶效应,3. 点数据分析,3.2 基于距离的方法：测度二阶效应,最近邻距离： G 函数、 F 函数 最近邻距离的统计检验 K 函数 (K Function),样方分析 样方分析的统计检验 核密度估计,空间点数据分析架构,3. 点数据分析,3.1 基于密度的方法 样方分析(Quadrat analysis) 样方分析的统计检验 核密度估计 (Kernel Density Estimation),利用所有点：样方的形状、大小、方向对结果有影响如果样方太大/小，那么 ?,随机抽样方法：有增加样本量的作用可以描述一个没有完全数据的空间点过程,样方分析-两种方式,样方形状,http:/psychology.exeter.ac.uk/lundy/quadrat.htm,The term “Quadrat” strictly means a four sided figure, but in practice this term is used to mean any sampling unit, whether square, rectangular, circular, hexagonal or even irregular in outline.,样方分析步骤,a). 研究区域中打上网格，建议方格大小为： QuadratSize = 2A /n A：研究区域面积，n：点的个数。b). 确定每个网格中点的个数。c). 计算均值(Mean)、方差(Var)和方差均值比:VMR=Var/Mean,对于均匀分布，方差=0，因此VMR的期望值= 0；对于随机分布，方差=均值，因此VMR的期望值= 1；对于聚集分布，方差大于均值。因此VMR的期望值 1 。,注: N = 样方数量 = 10,随机,随机,聚集,x,均匀,x,x,样方分析的缺点,结果依赖于样方的大小和方向。,总的模式是分散的，但局部有聚集现象。,样方分析主要依据点密度， 而不是点之间的相互关系，所以不能区别图示的两种情况：,样方分析不能探测区域内的变化。,密度：,密度依赖于研究区域的大小。a： a, 4a, 16a, 64an： 2, 2, 5, 10 ：2.0, 0.5, 0.31, 0.15,样方分析：K-S检验,D检验,如何比较精确地检验零假设？H0：没有空间模式假设在一区域内通过随机放点来模拟零假设，并计算其方差-均值比（VMR）。更进一步地，假如重复模拟1000次，得到模拟结果的直方图，当H0为真时，1000次VMR的均值将接近于1。直方图中VMR的尾部值（VMR的抽样分布），当零假设为真时相对稀少。,样方分析的统计检验-方差均值比的x2检验,如果观测模式的VMR大于VMRH，则拒绝零假设，相对于随机模式而言观测值更趋于均匀分布；如果观测模式的VMR小于VMRL，也拒绝零假设，相对于随机模式而言观测值更趋于聚集分布。,当H0为真时VMR的抽样分布,如果观测到VMR的极值（大于VMRH或小于VMRL），则拒绝没有空间模式的零假设。在这种情况下，1）零假设实际上是真的，而我们拒绝了它，犯了第I类错误（弃真）；2）零假设不是真的，我们做了一个正确的决定。为了确定临界值点（VMRH、VMRL ），首先必须确定所容许犯第I类错误的概率。,如果=0.05，那么1000次模拟当中50个较大的值用于获取临界值（50/1000=0.05）。如果把1000次模拟的VMR值从小到大依次排序，第25个值将作为VMRL ，当H0为真时1000次中有25次低于VMRL ；相似地，第975个值将作为VMRH，当H0为真时1000次中有25次高于VMRH 。这样，当采用该临界值时，1000次当中有50次，或5%的几率犯第I类错误。,样方分析：假设检验示例,判断下图是否空间随机（共100个点，分布于1010的样方内） ？,均值：100/（1010）=1含3个点的样方：6个含2个点的样方：20个含1个点的样方：42个含0个点的样方：32个,方差为：6(3-1)2+20(2-1)2+42(1-1)2+32(0-1)2 /(100-1)=0.77,VMR = 0.77/1 = 0.771，趋于均匀分布。如果H0为真，0.77是否小到可以拒绝原假设？,方法：随机模拟，均值=1重复模拟1000次，建立VMR的抽样分布，得到的结果从小到大排序。第25个最小值VMRL =0.747，第975个值VMRH =1.313。由于VMRL 0.77 VMRH ，接受原假设，即随机情况下VMR=0.77不是特别不正常。上述方法即所谓的蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）。优点：易于理解和实现缺点：不同的人得到的模拟结果不同，e.g. 10个人可能得到 10个不同的临界值。,蒙特卡罗模拟方法的基本思想,圆的外切正方形的边长。,蒙特卡罗模拟方法的基本思想,蒙特卡罗模拟方法的基本思想,当H0为真时，有一个简单的方法可以避免采用前述的模拟方法。临界值可用x2 =(m-1)VMR具有m-1个自由度的x2 分布表确定。当自由度（df）比较大时， x2 =(m-1)VMR趋于正态分布。特别地，当H0为真、df 30的情况下， (m-1)VMR具有均值为m-1、方差为2(m-1）的正态分布。这意味着,是均值为0、方差为1的标准正态分布。 在=0.05的情况下，临界值分别为zL=-1.96、zH=+1.96。如果zzH ，则拒绝原假设。上例中：,自由度小于30的情况100个点，55样方：VMR = 0.6875。x2=(25-1)VMR=16.5,由于自由度（df）小于30，需要应用x2分布表。查找df=24、p=0.025和p=0.975，并进行插值，得到上、下临界值40.5、12。,因为1216.5 40.5，所以接受零假设。点模式为空间随机分布。,基本思想：在研究区域内的任一点都有一个密度，而不仅仅是在事件点上。该密度通过计数一定区域内的事件点数量，或核(Kernel)进行估计。核以估计点为中心，一定距离为半径。,其中：C(p,r) 是以待估点p为 圆心、r为半径的圆。,带宽：r如果 r太大/小，那么 ?r 固定？ r 变化？, 核密度估计(Kernel Density Estimation, KDE),边界?,Kernel Windows, Paul Bolstad, GIS Fundamentals,带宽选择是核密度估计中一个具有挑战性的问题，可以采用不同的带宽对同一问题进行分析，探测模式的异质性。,Analysis,密度估计(带宽700Km),密度估计(带宽300Km),密度估计(带宽500Km),Quartic Kernel Funktion,A,B,C,r = 500m,r = 1000m,r = 3000m,核密度估计(KDE)用途：可视化点模式进行热点 (hot spot)探测；离散连续。 如，疾病与污染。,Spatial smoothing,Cluster detection,3.1 基于密度的方法：测度一阶效应,3. 点数据分析,3.2 基于距离的方法：测度二阶效应,最近邻距离：G 函数、F 函数 最近邻距离的统计检验 K 函数,样方分析 样方分析的统计检验 核密度估计,3.2 基于距离的方法：测度二阶效应 最近邻距离方法,计算每个点到其最近邻点之间的距离， 然后计算所有点最近邻距离的平均值。对每一个点，根据其欧几里德距离最小确定其最近邻点。平均最近邻距离的大小，反映点在空间的分布特征。最近邻距离越小，说明点在空间分布越密集，反之，越离散。,3.2 基于距离的方法 最近邻距离方法：G函数(Event-Event),欧几里德距离：,3.2 基于邻距离的方法 最近邻距离方法：G函数(Event-Event),与最近邻距离只采用平均距离不同，G函数基于最近邻距离的所有频率分布。,如果是聚集分布， 的值是大是小？,2022/11/23,河南大学环境与规划学院 ,52,最近邻距离的最小值是9.00，即点4&8和点8&4之间的距离，有两个， 2/12=0.167，所以G(d)在距离等于9时的值为0.167。下一个最近邻距离的最小值是15.64，即点2的最近邻距离，有一个，加上前面的两个最近邻距离(即9)共有3个，3/12=0.25，所以G(d)在距离等于15.64时的值为0.25。依次累积下去，得到G函数。,如果点是聚集的，G(d)在短距离内急速上升。如果点趋于均匀分布， G(d)在一定距离内缓慢上升，在该距离内包含大多数点，之后G(d)快速上升。,3.2 基于距离的方法：测度二阶效应 最近邻距离方法：F函数(Point-Event),与G函数仅仅基于事件间最近邻距离的频率分布不同，F函数基于区域内任意位置点与事件间最近邻距离的频率分布。,三个步骤：随机选择m个位置p1, p2, , pm；计算dmin(pi, s) ：pi到点模式S中的任一事件的最小距离；计算：,如果事件是聚集的， F(d)先缓慢上升，而在远距离处急速上升，因为研究区的大部分地方没有事件点。如果点趋于均匀分布，F(d)先快速上升，而在远距离处上升缓慢。,G 函数与 F 函数的比较,G 函数与 F 函数的比较,3.2 最近邻距离方法最近邻距离统计量的统计检验,Clark & Evans（1954）发展了一个最近邻分析用于分析植物种类的空间分布。采用最近邻距离的平均值与随机模式下的期望值之比构建一个所谓的最近邻统计量：,其中， 为平均最近邻距离， 为单位面积的点数。,R的取值从0（所有点聚集到一起）到理论最大值2.14（正六边形完全均匀）。 R=1表示随机模式，即观测值与随机分布下的期望值相等。,方差：,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,最近邻指数(NNI) ：,R的取值从0（所有点聚集到一起）到理论最大值2.14（正六边形完全均匀）。 如果：R = 0, 所有的点集中于同一位置聚集分布。如果：R = 1, 无分布模式随机分布。即观测值与随机分布下的期望值相等。如果：R 1, 每个点趋近于等间距均匀分布。,60,60,61,61,Step 1: 计算每一个点到其最近邻的距离（通过计算直角三角形的斜边）：,62,62,Step 2: 计算不同条件下的距离如果模式是随机的，平均距离为?其中，密度 = n / 面积 = 6/88 = 0.068如果模式完全聚集 (所有点在同一个位置), 那么：如果模式完全分散，那么：,(Based on a Poisson distribution),63,63,Step 3: 计算标准最近邻指数 (NNI )：,= slightly more dispersed than random,0,1,2.14,完全聚集（Perfectly clustered）,随机,完全分散（Perfectly dispersed）,More dispersedthan random,More clusteredthan random,空间随机分布条件下，给定面积内恰有n个点的概率可以用泊松分布描述：,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in PopulationsJ. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in PopulationsJ. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,假设给定面积是半径为r的圆k等分的一部分，令 为分布的平均密度，那么有：,表示任意给定面积 内，恰有n个点的概率；而 表示任意给定面积内不包含任何事件点的概率（n=0）。,如果圆心任意选取，那么给定面积中距圆心为r的距离内不包含点的概率也为 。作为r的一个函数，它是到最近邻的距离r的比例。相应地， 是到最近邻距离r的比例。,对 关于r微分，得到 作为r的概率分布函数。 r的期望（均值），即Re，可以通过r乘以其概率分布函数并从0到无穷大积分得到。,若取圆为单位圆，即 ，则：,（ ）,（ ）,r的二阶矩，E(r2)，可以通过r2乘以其概率分布函数，并从0到无穷大进行积分得到。,若取圆为单位圆，即 ，则：,（ ）,r的方差为：,若取圆为单位圆，即 ，则r的标准差为：,因此，r的标准差为：,（ ）,最近邻距离统计量的构建,根据上述均值和标准差，可以构造出一个服从标准正态分布N(0,1)的统计量：,当显著性水平为 时，Z的置信区间为 。如果 或 ，则观测模式和完全空间随机（CSR）之间存在显著的差异。若Z的符号为负，则模式趋向于聚集；若Z的符号为正，则模式趋向于均匀分布。,判断下图（76矩形）的空间分布模式，并进行统计检验。,例子：最近邻统计量,Rogerson, P. A. Statistical Methods for Geography . Sage Publications Ltd, 2001. p.163,平均最近邻距离： =(1+1+2+3+3+3+3)/6=2.1676个点随机分布在76的矩形内的平均最近邻距离的期望值为：,例子：最近邻统计量,近邻距离统计量为R=2.167/1.323=1.638，即观测模式的平均最近邻距离大于完全空间随机（CSR）模式下的值，模式趋于均匀分布。检验统计量：因此，在5%的显著性水平上，拒绝空间随机分布的零假设。,例子：最近邻统计量,但我们忘记了对分析结果具有明显影响的边界效应。可以用 Monte Carlo模拟方法，在x轴上(0,7) 和y轴上(0,6)区间内随机选取6个点，并计算其最近邻距离。模拟10000次，然后计算其平均最近邻距离，比如为1.62，大于前述的Re=1.323。这主要是因为相对于假想的区域外的点而言，区域内靠近边界上的点与区域内其他点之间的距离较远。,例子：最近邻统计量,对10000次模拟结果从小到大进行排序，显示第9500个值为2.29。平均最近邻距离仅有5%的机会大于2.29，我们的观测模式的平均最近邻距离为2.1672.29，因此，在通过Monte Carlo模拟考虑边界效应后，接受空间分布模式为随机的零假设。,3.2 基于距离的方法 K 函数,Ripley(1976)提出。The K function (variously called Ripleys K-function and the reduced second moment function) Ripleys K function can be used to summarize a point pattern, test hypotheses about the pattern, estimate parameters and fit models.,Ripley, B. D. The Second-Order Analysis of Stationary Point Processes. Journal of Applied Probability, 1976, 13(2): 255-266.,Volume 3, pp.1796-1803 in Encyclopedia of Environmetrics,与G函数、F函数只使用事件或点的最近邻距离不同，K函数基于事件间的所有距离。因此，K函数不仅能探测空间模式，而且可以给出空间模式和尺度的关系。,K 函数,定义：,K(d) 可以在许多不同的距离尺度上描述点过程的特征。Many ecological point patterns show a combination of effects, e.g. clustering at large scales and regularity at small scales. The combination can be seen as a characteristic pattern in a plot of the K function.,Volume 3, pp.1796-1803 in Encyclopedia of Environmetrics,假设:平稳性(Stationary)：统计特征独立于绝对位置。特别地，均值和方差是不依赖于空间位置的常数；协方差仅依赖于两点之间的相对位置、距离和方向，而与空间上的绝对位置无关。各向同性( Isotropy)：No directional detection,Ripleys K 函数,平稳,各向同性,Cov(Y(s1),Y(s2)=Cov(Y(s9),Y(s10),Cov(Y(s1),Y(s2) Cov(Y(s3),Y(s4),Cov(Y(s1),Y(s2) =Cov(Y(s3),Y(s4),K 函数,经验K函数估计的四个步骤：对于每一个事件si ，以si为圆心、d 为半径画圆C(si,d)计算圆内其他事件点的数量,3) 计算同一半径下所有事件的均值,4) 均值除以研究区内事件密度 得：,聚集?,均匀?,K 函数,每个圆的面积为 ， 为单位面积的事件平均密度。因此， CSR下K(d)的期望值为：,K 函数,当,平均点数高于CSR下的期望值，在尺度d上聚集。,平均点数低于CSR下的期望值，在尺度d上分散。,当,K 函数 L函数,由于K(d)基于平方距离进行计算，对于大的d其结果会变得非常大，为此，可将K(d)的期望值转换为零：,当L(d)0，在尺度d上聚集。当L(d)0，在尺度d上分散。,K函数的检验：Monte Carlo模拟假设在CSR条件下，对n个事件进行m次独立的模拟，计算其经验L函数，并取其上、下界：,边界校正：,K 函数,边界校正：1）Ripley校正(Ripley,1977),K 函数,wi是圆C(si, d)位于研究区域内的比例。2）建立警戒区：位于警戒区内的点在计算K(d)时采用，但不作为点模式的一部分。3）环形边缘校正（Toroidal edge correction）：假设研究区的上部和左部分别与下部和右部连接，好像研究区域是一个圆环（torus），仅用于矩形研究区域。,Yamada, I. , Rogerson P. A. An Empirical Comparison of Edge Effect Correction Methods Applied to K-function AnalysisJ. Geographical Analysis, 2003, 35(2): 97-109.,例子：R package spatstatA point pattern giving the locations of 3605 trees in a tropical rain forest. Accompanied by covariate data giving the elevation (altitude) and slope of elevation in the study region.,K 函数, library(spatstat) data(bei) plot(bei),Barro Colorado Island热带雨林内1000 500 m的矩形抽样区域, plot(Kest(bei) #K function plot(Lest(bei) #L function,lot(Kest(bei,correction=none) #无边界校正,lot(Kest(bei,correction=Ripley) #Ripley校正,K 函数的Monte Carlo模拟, plot(envelope(simdat, Kest, nsim=99),空间点数据分析总结,基于密度的方法： 样方分析统计分析核密度估计基于距离的方法： NND（G/F函数）统计分析K函数：统计模拟检验、边界校正,2022/11/23,河南大学环境与规划学院 ,93,空间点数据分析学习资料,书籍： Bailey, T. and Gatrell, A. (1995) Interactive Spatial Data Analysis, Longman. pp.98-103. OSullivan D. and Unwin D.(2003) Geographic information Analysis, John Wiley & Sons. pp.77-114 Rogerson, P. A. Statistical Methods for Geography . Sage Publications Ltd, 2001. pp.154-164 王远飞，何洪林. 编著 (2007) 空间数据分析方法, 科学出版社. pp.57-93.文章：Clark, P. J. , Evans F. C. Distance to Nearest Neighbor as a Measure of Spatial Relationships in Populations. Ecology, 1954, 35(4): 445-453.,2022/11/23,河南大学环境与规划学院 ,94,思考与练习,基于密度的空间点数据分析方法有哪些？试说明各自的基本思想。基于距离的空间点数据分析方法有哪些？试说明各自的基本思想。练习：R软件，spatstat包,