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有限元法的基本原理 有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，单元之间仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。 几个关键点：“分”： 连续体 离散技术 离散体 （有限单元的集合） 无限个自由度 有限个自由度“合”：单元之间通过节点连接，并承受一定载荷，组成有限单元集合体，建立整个物体的平衡方程，实现对整体结构的综合分析。 由于有限单元的分割和节点配置比较灵活，有限元法可以适用于任意复杂的几何结构。,有限元法的基本思想,有限元法基本思想, 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。,有限元法基本思想,问题分析,结构离散,分片近似,位移模式,力学模型,单元平衡,网格划分,整体平衡,单元刚度,问题求解,总体刚度,节点位移,网格划分有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把平面问题划分成三角形或四边形单元的网格，三维实体划分成4面体或6面体单元的网格。,课程要求,学分/学时：1.5/20+12先修课程：理论力学，材料力学，高等数学，线性代数教学目标：通过介绍有限元法的基本理论，使学生掌握有限元法的基本分析方法和常用的几种单元，了解有限元方法在塑性加工等领域的应用，为今后从事结构设计、分析及开展相关科学研究打下基础。使用教材：谭继锦. 汽车有限元法. 北京：人民交通出版社，2005.1 胡于进，王璋奇. 有限元分析及应用. 北京：清华大学出版社，2009曾攀. 有限元方法. 北京：清华大学出版社，2004.6考试方法：笔试（60%）大作业（40%）使用软件：Dynaform和Deform,二、 塑性加工模拟分析方法,塑性加工工艺模拟时采用的分析方法大致可以分为三类：第一、解析法，主要包括主应力法(切块法)、滑移线法和上限法，它们都属于塑性力学中的经典解法；第二、实验/解析法，即实验与解析的综合方法，有相似理论法和视塑性法；第三、数值法，它是随着计算机的发展和应用而产生的，包括有限元法、有限差分法、有限体积法、无网格法和边界元法，其中有限元法是一种广泛使用的方法。,有限元法（Finite Element Method）,有限元法是将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能近似地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可以具有不同的几何形状，因此可以模拟形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析法的另一重要步骤是利用在每一单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数在单元各个结点上的数值以及插值函数表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数的结点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变为离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。显然，随着单元数目的增加，亦即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛性要求的，其近似解最后将收敛于精确解。,边界元法（Boundary Element Method）,边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。,有限差分方法(Finite Differential Method),该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。,有限体积法(Finite Volume Method),其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。,无网格法是近年来兴起的一种与有限元方法类似的数值方法。由于仅仅采用基于点的近似，而不需要节点的连接信息，无网格法不仅避免了繁琐的单元网格生成，而且提供了连续性好、形式灵活的场函数，具有前后处理简单、精度高等方面的优点。在处理裂纹扩展、多尺度分析、高速碰撞和具有大变形特征的工业成形问题时具有重要的研究价值和广阔的应用前景。,无网格法（Meshless Method),三、 塑性加工中的有限元法概述,有限元法与其它塑性加工模拟方法相比，功能最强、精度最高、解决问题的范围最广。它可以采用不同形状、不同大小和不同类型的单元离散任意形状的变形体，适用于任意速度边界条件，可以方便地处理模具形状、工件与模具之间的摩擦、材料的硬化效应、速度敏感性以及温度等多种工艺因素对塑性加工过程的影响，能够模似整个金属成形过程的流动规律，获得变形过程任意时刻的力学信息和流动信息，如应力场、速度场、温度场以及预测缺陷的形成和扩展。,1. 塑性有限元法的分类,塑性有限元法分为刚塑性有限元法(亦称流动型有限元法)和弹塑性有限元法(或固体型有限元法)。 弹塑性有限元法同时考虑金属材料的弹性变形和塑性变形，弹性区域采用Hooke定律，塑性区采用Prantl-Reuss方程和Mises屈服准则，求解未知量是结点位移增量。弹塑性有限元法又分为小变形弹塑性有限元法和大变形有限元法。 刚塑性有限元法不计弹性变形，采用Levy-Mises率方程和Mises屈服准则，求解未知量为结点位移速度。它通过在离散空间对速度的积分来解决几何非线性，因而解法相对简单，并且求解效率高，求解精度可以满足工程要求。,塑性有限元常用软件,通用有限元软件：ANSYS、MARC、ABQUS板料成形专用软件：DANAFORM、SUPERFORM、AUTOFORM体积成形专用软件：DEFORM、FORGE,1-4 有限元法基本思想, 先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。,网格划分有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把平面问题划分成三角形或四边形单元的网格，三维实体划分成4面体或6面体单元的网格。,1-7 有限单元法的基本内容,有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是有限元分析软件。必须掌握的基本内容应包括：1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念）2、数学求解原理（即能量原理）3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（有限元分析步骤）4、有限元法的应用（即有限元法的工程问题研究）5、各种分析建模技巧及计算结果的评判6、学习典型分析软件的使用，初步掌握一种塑性有限元软件注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具,思考题,参考书目思考题：什么是有限元法？简述有限元法的基本思路。举例说明有限元法在塑性成形和焊接上的应用情况。,第一章 弹性力学简介,1-1 材料力学与弹性力学1-2 应力的概念1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移1-4 应力应变关系，物理方程1-5 虚功原理及虚功方程1-6 两种平面问题,1-1 材料力学与弹性力学,有限单元法 本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。,弹性力学 区别与联系 材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。,弹性力学 区别与联系 材料力学 3、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。,弹性力学 区别与联系 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：,弹性力学中关于材料性质的假定 (1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置坐标而变。,弹性力学中关于材料性质的假定(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 (5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。,1-2 应力的概念,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。,1-2 应力的概念,弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素,PA=dx,PB=dy,PC=dz,正应力,剪应力,图 1-4,每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行,1-2 应力的概念,为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力 是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着X轴方向作用的。,正应力,加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于X轴的面上而沿着y轴方向作用的。,剪应力,1-2 应力的概念,应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。,1-2 应力的概念,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。,由力矩平衡得出,简化得,剪应力互等,应力分量 可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,1-3 位移及应变、几何方程、刚体位移,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。,应 变 体素的变形可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的 引起正的 ，等等)。,应变分量与位移分量的关系,A点在X方向的位移分量为u；B点在X方向的位移：,ABCD-ABCD求线素AB、AD的正应变 ，用位移分量来表示：,线素AB的正应变为：,同理，AD的正应变为：,应变分量与位移分量的关系,X向线素AB的转角 Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,线素AB的转角为：,A点在Y方向的位移分量为v；B点在Y方向的位移分量：,应变分量与位移分量的关系,X向线素AB的转角 Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,同理，Y向线素AD的转角,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得,因此，剪应变为：,应变分量与位移分量的关系,以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，,同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：,联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。,应变分量矩阵,可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。 六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,刚体位移,由几何方程(1-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在(1-3)中命：有：积分后，得式中的 是积分常数,积分常数的几何意义,代表弹性体沿x方向的刚体移动。 及 分别代表弹性体沿y方向及Z方向的刚体移动。,代表弹性体绕Z轴的刚体转动。同样， 及 分别代表弹性体绕x轴及y轴的刚体位移。,为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定 这六个刚体位移。,1-4 应力应变关系，物理方程,当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在X方向的单位伸长则可表以方程 式中E为弹性模量。弹性体在X方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和Z方向的单位缩短可表示为：式中 为泊松比。方程(1-5)和(1-6)既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和泊松比相同。,应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律,1-4 应力应变关系，物理方程,设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用(1-5)和(1-6)式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及 所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。,1-4 应力应变关系，物理方程,如果弹性体的各面有剪应力作用，如图1-4所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，波桑系数 存在如下的关系：方程(1-7)中的正应变与方程(1-8)中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将(1-7)和(1-8)的六个关系式写在一起，得式(1-10)，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。,图 1-4,1-4 应力应变关系，物理方程,将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式(1-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式(1-9)代入，可得物理方程的第二种形式：,式(1-11)可用矩阵的形式表示如下：,式(1-12)可简写为：,D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和,1-5 虚功原理及虚功方程,图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,虚功原理,进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足(1-15)式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。,虚功原理与虚功方程,虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒等于零。虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功原理-用于弹性体的情况,虚功方程(1-16)是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(1-15)或(1-16)中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。,虚功原理-用于弹性体的情况,i点外力分量j点外力分量外力分量用 表示；引起的应力分量用 表示,虚功原理-用于弹性体的情况,假设发生了虚位移虚位移分量为用 表示；引起的虚应变分量用 表示,虚功原理-用于弹性体的情况,在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中 是 的转置矩阵。 同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到： 这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。,1-6 两种平面问题,弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题,平面应力问题,厚度为t的很薄的均匀板材。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即 ，所以称为平面应力问题。,平面应力问题,应力矩阵(1-2)可以简化为：,平面应力问题,物理方程(1-10)中后两式可见，这时的剪应变：由物理方程(1-10)中的第三式可见：一般 ， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 三个应变分量即可，于是应变矩阵(1-3-2)简化为：,平面应力问题,物理方程(1-10)简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：,平面应力问题,将(1-21)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则简化为：,平面应力问题,只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-3)简化为：,平面应力问题,弹性体的虚功方程(1-17)简化为,平面应变问题,一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。 由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即 w = 0 因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。,平面应变问题,既然w = 0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程(1-3-1)可见 。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程(1-24)。,平面应变问题,因为由物理方程(1-11)中后两式可见又由物理方程(1-11)中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然 ，但 一般并不等于零，不过它可以由 及 求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。,平面应变问题,物理方程(1-11)简化为：,平面应变问题,将(1-25)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则为：,平面应变问题,平面应变问题，由于在Z方向没有外力，应力和应变也不沿Z方向变化，所以虚功方程(1-25)仍然适用，其中的t可以取为任意数值，但 必须是这个t范围内的外力。 需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。,平面应力问题与平面应变问题,对于两种平面问题，几何方程都是(1-24)，虚功方程都是(1-25)，物理方程都是：,平面应力问题与平面应变问题,对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用(1-23)式，而对于平面应变则采用(1-28)式，还可注意，在(1-23)式中，若将E改换为 ，将 改换为 ，就得出公式(1-28)。,平面应力问题与平面应变问题,在两种平面问题中，如果命 ，则和1-3中(1-4)式相似，由几何方程的积分得出：其中 及 分别代表弹性体沿x及y方向的刚体移动，而代表弹性体绕Z轴的刚体转动。,回顾 第一章 弹性力学简介,1-1 材料力学与弹性力学1-2 应力的概念1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移1-4 应力应变关系，物理方程1-5 虚功原理及虚功方程1-6 两种平面问题,思考题,简述形函数的特点等腰三角形如图所示，求其形态矩阵和单元刚度矩阵。简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的特点、性质和它们中每一项的物理意义。写出三节点三角形单元、矩形单元的位移模式及其各系数的求解公式、写出形函数的表达式。写出六节点三角形单元各节点的面积坐标和形函数。写出刚度矩阵的集成规则。简述载荷移置的原则和方法。单元刚度矩阵的计算过程。,第二章 平面问题的有限单元法,2-1、有限单元法的计算步骤2-2、平面问题的常应变(三角形)单元2-3、单元刚度矩阵2-4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质2-5、平面问题的矩形单元2-6、六节点三角形单元2-7、单元载荷移置2-8、整体分析2-9、整体刚度矩阵的形成2-10、支承条件的处理2-11、整体刚度矩阵的特点,2-1 有限单元法的计算步骤,弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分析 4、整体分析与求解 5、结果分析,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,有限单元法的基础是必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。 对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。 平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,1、位移函数 如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，即单元内任一点的位移，被表述为其坐标的函数。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示：多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,三结点三角形单元,六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下：该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。其中 为广义坐标或待定系数，可据节点i、j、m的位移值和坐标值求出。,位移函数写成矩阵形式为：,将水平位移分量和结点坐标代入第一式，写成矩阵形式：令 则有,A为三角形的面积T的伴随矩阵为，令则,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,最终确定六个待定系数,其中,为2A第1行各个元素的代数余子式，,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,令 （下标i，j，m轮换）简写为,I是单位矩阵，N称为形函数矩阵，Ni只与单元节点坐标有关，称为单元形状函数,是由单元节点位移求单元内部各点位移的转换式,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,据弹性力学几何方程得单元的应变分量由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,2、形函数的特点及性质1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。即,3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。4)形函数的值在0-1间变化。,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,3、收敛性分析 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：位移函数必须含单元常量应变。前已说明 完备单元单元必须能反映单元的刚体位移（即单元应变为0时的位移）。前面位移函数改写为（注意： 为0 ）则单元刚体位移为,显然，位移函数包含了单元的刚体位移（平动和转动）,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,(3)位移函数在单元内部必须连续位移。因为线性函数，内部连续 (4)位移函数必须保证相邻单元在公共边界处的位移协调（即在公共边界上位移值相同）。如右图 设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入位移函数可得：边界上位移为显然，u,v仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元,y=Ax+B,边界不协调产生裂缝,边界不协调产生重迭,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵N。,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,由三角形的面积,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,4、应力、应变矩阵将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：,2-2 平面问题的常应变(三角形)单元,应力矩阵：由平面问题物理方程得：应变矩阵B反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系应力矩阵S反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系常应变三角形单元的应变矩阵B为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。,2-3 单元刚度矩阵,目的：讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位移表示节点力的表达式。 由应力推算节点力，需要利用平衡方程。平衡方程即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。,2-3 单元刚度矩阵,考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为： 任意虚设位移，节点位移与内部应变为：,2-3 单元刚度矩阵,令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为,2-3 单元刚度矩阵,计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。,2-3 单元刚度矩阵,微小矩形的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为,2-3 单元刚度矩阵,根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。 虚应变可以由节点虚位移求出： 代入虚功方程,2-3 单元刚度矩阵,将应力用节点位移表示出 有 令单元刚度阵的一般格式可表示为 则 建立了单元的节点力与节点位移之间的关系， 称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。,2-3 单元刚度矩阵,由于D中元素是常量，而在线性位移模式下，B中的元素也是常量，且 因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。,2-3 常应变三角形单元的刚度矩阵,单元刚度矩阵 可记为分块矩阵形式将应变矩阵B的分块阵代入单元刚度矩阵，可得其子块计算式：对于常应变三角形单元，考虑平面应力问题弹性矩阵D，可得,2-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,上述推导单元刚度矩阵的过程可归纳为单元刚阵K的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。按自由度来说明，元素 的意义为：当第j个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为0时，在第i个自由度上所施加的力。若按节点来说明，则刚阵中每个子块 表示：当节点j处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点i上所施加的力。,2-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的物理意义： 将 写成分块矩阵 写成普通方程 其中 表示节点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。,2-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的物理意义： 将节点力列矩阵 与节点位移列矩阵 均展开成(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵： 元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。,2-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 表示节点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平节点力和垂直节点力的大小。例如 表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。,2-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,1）单元刚度矩阵是对称阵，(只要证明 )2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素 表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。3）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0，这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解 ，只能得到唯一的节点力解。4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。,2-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设,1、求B2、求D3、求S4、求,2-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,几点说明：1）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的，即有限元方程是一组节点力平衡方程组。2）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即微分平衡方程可能不满足。对于非线性单元，位移函数常不满足以位移为未知量的平衡方程，对线性单元，因位移函数为线性的，应变、应力为常量，可以满足单元内平衡。3）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单元的应力为常量，单元间应力有突变，明显不满足平衡条件,2-5 平面问题的矩形单元,矩形单元是平面问题常用的一种单元，尤其是边界比较规则的平面结构，如图2a*2b的4节点8自由度矩形单元。1、位移函数取无量纲坐标，得矩阵表示：利用节点位移，可待定系数：,2-5 平面问题的矩形单元,代入系数至位移函数，并整理成位移插值函数Ni为形函数，仍具有前述的形函数的基本性质记为矩阵形式，I为单位矩阵可以证明该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元,2-5 平面问题的矩形单元,应变矩阵,应变矩阵B的元素是x，y的函数，所以，矩形单元中的应变不是常量，而是随x或y线性变化的，显然，应力也是随x或y线性变化的。较常应变单元有更高的计算精度,2-5 矩形单元的刚度矩阵,将刚阵记为分块形式其子块的计算为（虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所有单元）,2-6 六节点三角形单元,1、