第一型曲面积分【高等数学PPT课件】.ppt

一、第一型曲面积分的概念与性质,二、第一型曲面积分的计算法,第四节 第一型曲面积分,第十一章,一、第一型曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄片质量的思想, 采用,可得,求质,“分割, 近似, 求和, 取极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上第一型,函数, 叫做积分曲面,则第一型曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、第一型曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 略,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、第一型曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,而,(光滑),记忆,则,二代：,三换：,一投：,则,二代：,三换：,一投：,则,二代：,三换：,一投：,注：这里曲面函数均是单值函数.,例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,例3.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,思考: 若例3 中被积函数改为,计算结果如何 ?,例3. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,