推理与证明(复习课) 好ppt课件.ppt

推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,数学归纳法,间接证明,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,知识结构,从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.,1.什么叫推理?,2.合情推理的主要形式有 和 .,归纳,类比,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,例.黑白两种颜色的正六边形地砖按如图的规律拼成若干个图案:,则第n个图案中有白色地砖 块.,第1个,第2个,第3个,2(2n+1),(06广东,14)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则 f(3)= ; f(n)= （答案用n表示）.,10,设第n堆由上到下,第n层有an个乒乓球,则,【评析】通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,具有发现的功能;,类比推理的一般步骤：, 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,B,【评析】根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象. 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.,在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，类比上述性质，相应地:在等比数列bn中，若b9=1，则有等式 成立.,b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*)(由题设可知，如果am=0，则有a1+a2+an=a1+a2+a2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，如果m+n=p+q，其中m，n,p,q是自然数，对于等差数列，则有am+an=ap+aq，而对于等比数列，则有bmbn=bpbq，所以可以得到结论，若bm=1，则有等式b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，在本题中m=9.),归纳推理：,类比推理：,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,观察、比较,联想、类推,猜测新的结论,简言之：,简言之：,合情推理,归纳推理和类比推理的共同点,从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理,注：,演绎推理是由一般到特殊的推理；,“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断,演绎推理,三段论的基本格式,演绎推理（练习）,在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.,考点 演绎推理,【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中 线性质作为大前提.,【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形 大前提在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提所以ABD是直角三角形 结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线 小前提所以DM= AB. 同理EM= AB.所以DM=EM.,【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.,直接证明,分析法 解题方向比较明确， 利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述。,通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程,分析法综合法,概念,直接证明,综合法和分析法的推证过程如下：,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,综合法,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。,(顺推证法、由因导果法),一.综合法,【评析】（1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法. （2）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性.,在锐角三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,对应演练,证明:锐角三角形ABC中，A+B ,A -B.0 -BA .又在（0, ）内正弦函数是单调递增函数,sinAsin（ -B）=cosB.即sinAcosB. 同理，sinBcosC, sinCcosA. 由+得sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。,Q P1,P1 P2,P2 P3,得到一个明显成立的条件,分析法,(逆推证法、执果索因法),用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：,【分析法】,要证 只需证 只需证 显然成立所以 结论成立,格 式,【证明】要证 只要证 a0,故只要证,考点 分析法证明,已知a0,求证:,【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.,从而只要证只要证 即 ,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.,即,【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.,反证法 证明过程,否定结论推出矛盾肯定结论，即分三个步骤：反设归谬存真,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件否定结论,导 致逻辑矛盾,反设 不成立,结论成立,【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.,考点 反证法证明,若x,y都是正实数，且x+y2,求证： 或 中至少有一个成立.,【证明】假设 或 都不成立,则有 和 同时成立. 因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 两式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2. 这与已知条件x+y2矛盾. 因此 和 中至少有一个成立.,【评析】（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器. （2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误.,