微分方程ppt(罗兆富等编)第九章 非线性偏微分方程的Adomian分解法课件.ppt
第九章 非线性偏微分方程,Adomian分解法,的,第一节 非线性项的Adomian多项式分解,第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程,第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程,第四节 非线性常微分方程的Adomian分解法,(9.1.01),而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.,第一节 非线性项的Adomian多项式分解,在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的未知函数u分裂成一个无穷级数,然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性项的存在, 我们得不到un递推公式.,例如方程,中的项sinu, 6u2ux都是非线性项.,(9.1.02),下面, 我们将犹如sinu, 6u2ux 这样的非线性项抽象地记为F(u), Adomian分解法的处理办法是将F(u)线性化, 具体作法是将F(u)分裂成一个无穷级数,其中每一个An称为Adomian多项式,(9.1.03),由下式确定,其中ui来自于(9.1.01).,(9.1.03),一般表达式(9.1.03)可简化如下:,.,(9.1.04),例1. 计算F(u)=u2的Adomian多项式.,解:,例2. 计算F(u)=ux3的Adomian多项式.,解:,例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.,解:,由例1, G(u)=u2 的,的Adomian多项式已求出, 只须对其乘以,再关于x求一阶导数就得到F(u)=uux的Adomian多项式:,例4. 计算F(u)=sinu的Adomian多项式.,解:,例5. 计算F(u)=sinhu的Adomian多项式.,解:,例6. 计算F(u)=eu的Adomian多项式.,解:,本节结束！,(9.1.01),而得到其解, 其中级数的通项un由递推方式确定, 只是在非线性项中用Adomian多项式的展开式代替即可.,具体而言之, 我们考虑算子形式的非线性微分方程,(9.2.01),第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程,与线性偏微分方程的情形一样, 非线性偏微分方程的Adomian分解法也是将方程中的未知函数u分裂成一个无穷级数,其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子, Ly 是一个关于y的最高阶微分算子,R是关于其它变量的线性偏微分算子, F(u)是非线性项, g是自由项 .,学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始都可得到解,并且这样得到的解都是等价的并且都收敛于精确解.,然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖于下列两个基点：,(1)能使计算量达最小;,(2)具有使解级数具有加速收敛的附加条件.,我们将逆算子Lx-1作用于(9.2.02)的两端并利用已给初边值条件, 得到,假设Lxu 满足上述两个条件, 则由(9.2.01), 得,(9.2.02),(9.2.03),其中,(9.2.01),(9.2.04),(9.2.03),(9.2.04),Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是,(9.2.05),也就是,.,将这些求出的un代入(9.1.01)就得到方程(9.2.01)的级数形式的解.,学者们的研究表明, 如果方程(9.2.01)存在精确解, 则所得到的级数解将快速收敛到精确解. 但在具体问题中, 如果级数的和函数不容易求出, 则可取适当选取项数从而得到高精度的数值解.,例1. 求解非齐次对流问题,其中u=u(x, t).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lt是可逆的,将其逆算子,于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,作用,从而得到递推公式,.,由第一节的例3, 记,.,计算得到,.,所以方程的精确解为,则,例2. 求解非齐次偏微分方程,其中u=u(x, y).,解:,将方程写成算子形式,其中,并且,从而得到递推公式,.,.,从而得到,.,.,.,所以方程的级数形式的解为,例3. 求解非线性偏微分方程,其中u=u(x, y).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lxx是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,从而得到递推公式,.,由第一节的例1, 有,.,.,计算得到,.,所以方程的精确解为,本节结束！,第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程,克莱因-戈登方程(Klein-Gordon equation)是量子场论中的最基本方程, 常用于描述色散波现象. 克莱因-戈尔登方程是由瑞典物理学家奥斯卡克莱因和德国人沃尔特戈登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的.,一、克莱因-戈登方程,1. 线性克莱因-戈登方程,线性克莱因-戈登方程的标准形式是,(9.3.01),其中a是常数, h是自由项. 当a=0时, (9.3.01)成为非齐次波动方程.,线性克莱因-戈登方程是量子力学中最重要的方程,由相对论能量公式导出.,例1. 求解线性克莱因-戈登方程的初值问题,其中u=u(x, t).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Ltt是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,从而得到递推公式,计算得到,.,.,所以方程的精确解为,2. 非线性克莱因-戈登方程,非线性克莱因-戈登方程的标准形式是,(9.3.02),其中a是常数, h是自由项, F是u的非线性函数.,例2. 求解非线性偏微分方程,其中u=u(x, t).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Ltt是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,从而得到递推公式,.,由第一节的例1, 有,.,计算得到,噪声?,所以方程的精确解为,3. 正弦-戈登方程,正弦-戈登方程(sine-Gordon equation)的标准形式是,(9.3.03),其中c,是常数. 正弦-戈登方程源自微分几何, 后来发现它出现在许多物理现象中. 例如, 电磁流的传播和液体运动的稳定性等.,例3. 求解正弦-戈登方程的初值问题,其中u=u(x, t).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Ltt是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,从而得到递推公式,.,由第一节的例4, 有,.,计算得到,.,所以方程的级数解为,二、伯格斯方程,伯格斯方程(Burgers equation)的标准形式是,(9.3.04),其中是表示运动粘度的常数. 当粘度时, 方程称为无粘度伯格斯方程. 无粘度伯格斯方程描述空气动力学.,例4. 求解伯格斯方程,其中u=u(x, t).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lt是可逆的,将其逆算子,于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,作用,从而得到递推公式,.,由第一节的例3, 有,.,计算得到,.,所以方程的级数解为,三、电报方程,电报方程(telegraph equation)的标准形式是,其中u =u(x, t)是电阻, a, b和c分别是与电缆的电感应、电容和电导率相关的常数. 电报方程描述的是电缆中电信号的传播.,(9.3.05),若a=0, c=0, 我们得到标准热传导方程,三、电报方程,电报方程(telegraph equation)的标准形式是,(9.3.05),其中u =u(x, t)是电阻, a, b和c分别是与电缆的电感应、电容和电导率相关的常数. 电报方程描述的是电缆中电信号的传播.,(9.3.06),当b=0, c=0, 我们得到标准波动导方程,(9.3.07),(书上有误!),例5. 求解电报方程,其中u=u(x, t).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lxx是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,从而得到递推公式,.,计算得到,.,所以方程的级数解为,四、KDV方程,KDV方程(Korteweg-deVries equation)的标准形式是,(9.3.08),KdV方程是1895年由荷兰数学家科特韦格(Korteweg)和德弗里斯(de Vries)在研究浅水槽中小振幅长波运动时共同发现的一种单向运动浅水波偏微分方程(也有人称之为科特韦格-德弗里斯方程, 但一般都习惯直接叫KdV方程).,其中a是常数.,例6. 求解伯格斯方程,其中u=u(x, t).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lt是可逆的,将其逆算子,于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,作用,从而得到递推公式,.,由第一节的例3, 有,.,计算得到,.,所以方程的级数解为,本节结束！,我们考虑算子形式的非线性常微分方程,(9.4.01),我们在前面已经看到, Adomian分解法在求解偏微分方程时显示出巨大的威力, 不仅如此, Adomian分解法对求解非线性常微分程同样也是十分有效的.,第四节 非线性常微分方程的Adomian分解法,其中Lx是一个关于自变量x的最高阶微分算子, R是其它线性微分算子, F(y)是非线性项, g是自由项.,由(9.4.01), 得,(9.4.02),(9.4.02),我们将逆算子Lx-1作用于(9.4.02)的两端并利用已给初边值条件, 得到,(9.4.03),其中,我们将逆算子Lx-1作用于(9.4.02)的两端并利用已给初边值条件, 得到,(9.4.03),(9.4.04),Adomian分解法指出, 通项yn的递推公式是,也就是,.,也就是,.,将这些求出的yn(x)代入,就得到方程(9.4.01)的级数形式的解.,与偏微分方程的情形一样, 如果方程(9.4.01)存在精确解, 则所得到的级数解将快速收敛到精确解. 但在具体问题中, 如果级数的和函数不容易求出, 则可取适当选取项数而得到高精度的数值解.,例1. 求解非线性常微分方程的初值问题,其中y=y(x).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lxx是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,从而得到递推公式,.,类似于第一节的例1, 有,.,计算得到,所以方程的精确解为,例2. 求解非线性常微分方程的初值问题,其中y=y(x).,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lxx是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,从而得到递推公式,.,类似于第一节的例1, 有,.,.,计算得到,计算得到,噪声?,所以方程的解为,本节结束！,
