弹性力学简明教程第四版第三章ppt课件.ppt

第三章,平面问题的直角坐标解答,3.1 逆解法和半逆解法 多项式解答,在常体力情况下，按应力求解平面问题，可归纳为求解一个应力函数，它必须满足1.在区域内的相容方程2.在边界上的应力边界条件(假设全部为应力边界条件)3.在多连体中，还须满足位移单值条件。,(在s上),求出应力函数 后，便可求出应力分量.,然后再求应变分量和位移分量。,由于相容方程 是四阶偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解问题。只能采取逆解法和半逆解法。,(1)先设定满足 的应力函数；,(2)根据 求出应力分量；,(3)在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力，即,反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题。（可解决的正是上述面力对应的问题）,一.逆解法,下面用逆解法求解几个简单问题的解答。假定体力可忽略不计( fx = fy = 0 )，应力函数取为多项式。,1.取应力函数为一次式 = a + bx + cy,应力函数 满足相容方程,由 得应力分量,不论弹性体为何形状，也不论坐标轴如何选择，由应力边界条件 总是得出,一次式 = a + bx + cy对应无体力，无面力，无应力的状态。把应力函数加上一个线性函数，不影响应力。,2.取应力函数为二次式 = ax2 + bxy + cy2,应力函数 满足相容方程,现分别考察每一项所能解决的问题。,对应 = ax2，应力分量是,如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 2a, xy=yx = 0, 由应力边界条件可知，左右两边没有面力，上下两边有均布面力2a。,可见，应力函数 = ax2 能解决矩形板在 y 方向受均布力的问题。,如图矩形板和坐标轴，当板内应力为x = 0, y = 0, xy=yx =b, 由应力边界条件可知，左右上下两边分别有与面相切的面力 b。,可见，应力函数 = bxy 能解决矩形板受均布剪力的问题。,对应 = bxy，应力分量是,对应 = cy2，应力分量是,应力函数 = cy2 能解决矩形板在 x方向受均布 力的问题。, = ax2 + bxy + cy2 表示常量的正应力和切应力。,4.如果取应力函数为四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件。,应力函数 满足相容方程,对应 = ay3，应力分量是,对于图示矩形板和坐标轴当 时， 上下两边没有面力；左右两边没有 y 方向面力，只有按直线变化的的水平面力，而每一边的水平面力合成为一个力偶。,可见，应力函数 = ay3 能解决矩形梁纯弯曲问题。,3.取应力函数为三次式 = ay3,逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相容方程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题。这种方法可以积累弹性力学的基本解答。,二. 半逆解法,半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具体步骤如下：,1. 根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全部应力分量的函数形式；,2. 根据 由应力推出应力函数 的形式；,3.将 代入相容方程，求出 的具体表达式；,4. 将 代入 求出对应的应力分量。,5. 将应力代入边界条件,在s上,考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须满足位移单值条。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。,思考题：逆解法与半逆解法有何区别？,3.2 矩形梁的纯弯曲,（d）,满足。 （c）,的边界条件无法精确满足。,式（d）的第一式是自然满足的,当 时，即使 在边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。,结论,如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足，则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量，主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。,3-3 位移分量的求出,矩形梁纯弯曲时的应力分量：,如何求位移分量？,平面应力问题物理方程：,平面问题几何方程：,移项得：,积分,积分,代入位移函数得：,纯弯曲问题的讨论：,铅直线段的转角：,同一横截面上的各铅直线段的转角相同,说明横截面保持平面。,纯弯曲问题的讨论：,梁的各纵向纤维曲率：,由小变形假设知：,如果梁是简支梁，则在铰支座O处没有水平位移和铅直位移，在连杆支座A处没有铅直位移，因此约束条件是,M o x A M y,代入,得,和材料力学中的结果相同 。,梁轴的挠度方程是,M o x M y 如果梁是悬臂梁，左端自由右端固定，则在梁的右端。对于y的任何值，都要求 在多项式解答中，这个条件无法满足，工程实际上，也没有完全固定的约束条件。,现在，和材料力学中一样，假定右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动。这样，约束条件是 代入式中，得出下列三个方程来决定,求解之后，得,代入式中，得出该悬臂梁的位移分量,梁轴的挠度方程是 也和材料力学的解答相同。 对于平面应变情况下的梁，需在以上形变公式和位移公式中，把 换为 ，把 换为 。例如，梁的纵向纤维的曲率公式,应该变换为,此问题用半逆解法，步骤如下：,1. 假设应力分量的函数形式,由材料力学知：弯应力x 主要是由弯矩 M 引起的，切应力xy 主要是由剪力Fs引起的，挤压应力y 主要是由直接载荷 q 引起的。,因q不随x变，因而可以假设y不随 x 变，也就是假设 y 只是 y 的函数：y = f (y),3.4 简支梁受均布载荷,3. 由相容方程求解应力函数,将 y = f (y) 代入,对 x 积分，得,其中 f (y), f1(y), f2(y) 都是待定的 y 的函数。,2. 推求应力函数的形式,将 代入 得,有,这是 x 的二次方程，但相容方程要求它有无数多的根(全梁的 x 都应该满足它), 可见它的系数和自由项都必须等于零，即,前两个方程要求,这里 f1(y) 的常数项被略去，这是因为这一项在 的表达式中成为 x 的一次项，不影响应力分量。,第三个方程要求,即,其中的一次项和常数项都被略去，因为它们不影响应力分量。,得应力函数,4. 由应力函数求应力分量,将 代入,将,代入,注意到yz面是梁和载荷的对称面, 所以, 应力分布应对称于yz面。这样, x, y应该是 x 的偶函数, 而 xy 应该是 x 的奇函数。,E = F = G = 0,于是，有,5. 考察边界条件（确定待定系数),通常梁的跨度远大于梁的深度，梁的上下两个边界是主要边界。在主要边界上应力边界条件必须完全满足；次要边界上如果边界条件不能完全满足，可引用圣维南原理用三个积分条件来代替。,先来考虑上下两个主要边界条件：,将y, xy代入主要边界条件，得,联立求解，得,将上述结果代入右边三式，得,现在考虑左右两边的次要边界条件；,由于问题的对称性，只需考虑其中一边，如右边。边界条件：当 x=l 时，h/2 y h/2, x=0,这是不可能满足的，除非 q=H=K=0,应用圣维南原理，用三个积分条件代替边界条件。,将右边sx, txy 代入上式,由前两式得：,第三式自然满足。,代入并整理，得,各应力沿y方向分布,6. 比较弹性力学和材料力学关于简支梁受均布载荷的解答,取梁宽 d=1 时，I = h3/12, S = h2/8 y2/2,代入右式：,长度远大于深度( lh )的长梁，应力各项的数量级：,挤压应力y 的第一项与 q 同阶大小,为更次要应力。材料力学中不考虑。,弯应力x 的第一 项与 同阶大小,为主要应力。与材料力学解答相同。第二项是材料力学没有的，是修正项，但只是 q 级。,切应力xy 与 同阶大小, 为次要应力。与材料力学解答完全相同。,因此, 对于长梁( 长度 ：深度 4 ), 材料力学的解答虽是近似的, 但已足够精确, 符合工程上的要求。,7. 弹性力学和材料力学解法上的区别,弹性力学的解法：严格满足区域内的平衡微分方程，几何方程和物体方程，以及边界上的全部边界条件(小边界上尽管应用了圣维南原理，应力边界条件是近似满足的，但只影响小边界附近的局部区域)。,由此可见，弹性力学与材料力学解答的区别，只反映在最小的q量级上，而 , ,量级的值完全相同。,材料力学的解方法: 在许多方面都作了近似处理，只能得到近似解答。,例如，在几何条件中，材料力学引用了平面截面假设，由此导出位移，形变和应力沿横向均为线性分布；在平衡条件中，材料力学考虑的是有限大部分的物体( h dx b)的平衡条件，而不是微分体的平衡条件；材料力学中忽略了sy 的影响，并且在主要边界上没有严格考虑边界条件。这些都使得材料力学的解答成为近似解答。,一般地说，材料料力学的解法只适用于解决杆状结构的问题，对于非杆状结构的问题只能用弹性力学的解法来求解。,设有楔形体, 左面铅直, 右边与铅直方向成角, 下端无限长, 受到重力和液体压力, 楔形体密度为1,液体密度为2 , 试求应力分量。,解：采用半逆解法,1.应用量纲分析方法假设应力分量的函数形式,(1)在楔形体的任意一点，每个应力分量都由两部分组成：一部分由重力引起，与1g 成正比，第二部分由液体压力引起，与2g成正比。,3.5 楔形体受重力和液体压力,因应力与1g 和2g 成正比，而应力量纲（L-1MT-2) 只比1g和2g量纲(L-2MT-2)高一次幂的长度量纲，因此，应力只能是1g和2g与x,y 的一次式相乘, A1gx,B2gx, C1gy, D2gy的组合,A,B,C,D 是量刚一的量，只与 有关，应力只能是x,y的纯一次式。,(2)由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次, 应是x,y的纯三次式。因此，假设,2.此应力函数 自然满足相容方程,3.将此应力函数 代入,fx = 0, fy = 1g,(1) x=0 时，应力边界条件：,4.考察边界条件,将右式代入边界条件，得：,解出 d ,c, 得,代入右式，得,(2)右面是斜边界，它的边界线方程是,斜面上无面力,右面斜边界应力边界条件：,将右式代入边界条件，得：,由图可见,将上式代入式(a), 解得,将上式代入右式，得李维解答：,各应力分量沿 x 轴的变化:,各应力分量沿 x 轴的变化:,x沿 x 轴没有变化, 此结果不能由材料力学公式求得。,y沿 x 轴按直线变化, 在左面和右面它分别是：,与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同。,xy沿 x 轴也按直线变化, 在左面和右面它分别是：,与等截面梁的切应力变化规律不同。,以上所得解答，一向被当作是三角形重力坝中应力的基本解答，但必须注意以下三点： （1）严格来说，这不是一个平面问题，但如果此坝分缝，可看成平面应力问题。 （2）这里假定楔形体在下端是无限长，可以自由地变形。 （3）坝顶总有一定的宽度，而不会是一个顶尖。 重力坝的精确应力分析目前大都采用有限元法。,Thanks,