导数的概念23教材ppt课件.ppt

第一节 导数的概念,一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义五、可导与连续的关系六、小结,一、引例,1.自由落体运动的瞬时速度问题,取极限得,如图,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的定义,定义,其它形式,即,关于导数的说明：,步骤:,例1,解,例2,解,更一般地,例如,例3,解,例4,解,例5,解,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,例6,解,三、导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,例7,解,根据导数的几何意义知, 所求切线的斜率为,所求切线方程为,法线方程为,四、函数可导性与连续性的关系,另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。,0,例如,第二节 和、差、积、商的求导法则,一、和、差、积、商的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式,一、和、差、积、商的求导法则,定理,证(3),证(1)、(2)略.,例1,解,例2,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,解,同理可得,第二节 反函数、复合函数的导数,一、反函数的导数二、复合函数的求导法则,一、反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,证,于是有,例7,解,同理可得,例8,解,特别地,二、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),证,推广,例9,解,例10,解,例11,解,例12,解,例13,解,四、基本求导法则与导数公式,第三节 高阶导数,一、高阶导数的定义二、高阶导数求导举例三、高阶导数的运算法则:,一、高阶导数的定义,引例 变速直线运动的加速度.,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数求法举例,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,同理可得,莱布尼兹公式,三、高阶导数的运算法则:,例6,解,第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,例3,解,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,一般地,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,三、由参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,例6,解,所求切线方程为,第五节 函数的微分,一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结,一、微分的定义,实例:正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.,定义,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,二、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),Q,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,3. 复合函数的微分法则,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,四、微分形式的不变性,例5,解,例4,解,五、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值,例6,解,1.函数的近似计算,例7,解,常用近似公式,证明,例8,解,2. 误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,定义：,在实际工作中,绝对误差与相对误差通常无法求得，怎么办？,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.,例9,解,例7,解,例8,解,