定积分的换元积分法和分部积分法ppt课件.ppt

第6章 定 积 分,6.1 定积分概念与性质,6.2 微积分基本公式,6.3 定积分的换元积分法和分部积分法,6.4 定积分的应用,6.5 反常积分初步,目 录,6.3 定积分的换元积分法和分部积分法,一、定积分的换元积分法,.,由牛顿莱布尼茨公式知道，计算定积分,的方法是求它的一个原函数.,定理1 设函数,在区间,上连续，函数,满足条件：,(1) 当,（或,）时，,且,(2),在,(或,)上具有连续导数，则有,（6-4）,.,公式(6-4)叫做定积分换元公式,应用换元公式时有两点值得注意：,(2) 求出,的原函数,.,.,的上、下限分别代入,中，然后相减就行了,例1 计算,解 设,则,且当,时，,当,时，,于是,量,.,.,例2 计算,解 设,则,当,时，,当,时，,于是,.,.,例3 计算,解 设,，则,；且当,时，,当,时，,于是,在例3中，如果不明显地写出新变量,，直接用凑微分,法求解，那末定积分的上、下限就不要变更,练习：P195页：题1（3）（4）,.,.,例4 设函数,在区间,上连续，试证：,(1),(2) 当,为奇函数时，,(3) 当,为偶函数时，,证 (1) 由于,在,中，设,，则,.,.,故,(2) 当,是奇函数时，,，因此,(3) 当,是偶函数时，,，因此,利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算,.,.,例5 求下列定积分,解 由于被积函数为非奇非偶函数，由例8(1)知,例6 试证：,( 为非负整数),证设,，则,；当,时，,.,于是有：,例7 设函数,求,解 设,，则当,时，,时，,当,于是,.,.,练习：P196页. 题3（1）（2）,.,6.3.2 定 积 分 的 分 部 积 分 法,利用不定积分的分部积分公式及牛顿莱布尼茨公式，,即可得出定积分的分部积分公式设函数,在区间,上具有连续导数，按不定积分的分部积分法，,有,从而得,(6-5),这就是定积分的分部积分公式,.,例8 计算,解,例9 计算,解 先用换元法令,，则,.,.,当,时，,；当,时，,于是,再用分部积分法，因为,因此,.,.,例10 计算,解,例11 计算,( 为正整数),解,.,.,由此得到递推公式：,而,故当,为偶数时：,.,.,当,为大于 1 的正奇数时:,由例6知,与,有相同的结果.例如:,定积分积分方法总结,作业：习题6-3 题1 (2)(6),题2（1）（2）题3(3)(4),