定积分的几何应用面积ppt课件.ppt

,6.2 定积分的应用,Applications of Definite Integrals,一、平面图形的面积,Areas between Curves,1. 直角坐标情形,面积问题可以不用微元法，用定积分的几何意义即可。,（1）设,由定积分的几何意义：,由 y=f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的曲边梯形的面积 A 等于：,曲线 y=f(x) 下方的面积,面积微元：,（2）设 f(x) 任意,由 y=f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的图形的面积 ：,（3）设,由 y = f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围成的图形的面积 ：,口诀：函数大减小，积分左到右,高等数学学习手册162页，表6.1.1 (有误),函数是否为正，则无关紧要。,往上平移,（4）设 f(x), g(x) 任意,由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围成的图形的面积 ：,（5）设,由定积分的几何意义：,由 x = f(y), x=0, y=c, y=d 所围成的曲边梯形的面积 ：,详细的面积计算公式（直角坐标）见高等数学学习手册162页，表6.1.1,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,例,求由,所围成的平面图形的面积.,解,作图,求交点,with(plots):xzou:=implicitplot(y=0,x=0.3,y=-0.2.0.2):yzou:=implicitplot(x=0,x=-0.2.0.2,y=0.5):quxian:=plot(sin(x),sin(2*x),x=0.Pi,y=-1.1,thickness=4):display(xzou,yzou,quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,例,求由,所围成的平面图形的面积.,解,作图,求交点,顶点：,with(plots):xzou:=implicitplot(y=0,x=0.3,y=-0.2.0.2):yzou:=implicitplot(x=0,x=-0.2.0.2,y=0.3.5):quxian:=implicitplot(y-1)2=1+x,y=x,x=-1.2.3.5,y=-1.3.5,thickness=4):display(xzou,yzou,quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,方法一,很麻烦！,方法二,很简单！,2. 参数方程,设曲线方程由参数方程给出：,x(t) 是 t 的增函数,则由曲线 x = x(t), y = y(t), x轴，x = a, x = b 所围成的图形的面积 ：,见高等数学学习手册163页，6.1.3节,例 3,求椭圆,的面积,解,方法一,由对称性知总面积等于4倍在第一象限部分面积,with(plots):xzou:=implicitplot(y=0,x=-2.2,y=-0.2.0.2):yzou:=implicitplot(x=0,x=-2.0.2,y=-1.2.1.2):quxian:=implicitplot(x2/3+y2=1,x=-2.2,y=-2.2,thickness=4):display(xzou,yzou,quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,方法二,椭圆的参数方程,3. 极坐标方程,设曲线方程由极坐标方程给出：,由围成一个曲边扇形,求曲边扇形的面积 A,作为弥补：见高等数学学习手册355页，附录A.4.4节：极坐标 有极坐标知识和若干常用图形的极坐标方程（或见教材345页）,听说中学已经将极坐标的内容砍掉了？听到这个消息我们大学老师感到很悲哀、很难过、也很无奈。这可是一个严重的错误！必须立即纠正！没有极坐标，我们将失去很多漂亮的 ,曲线,注意：教材用的是,直角坐标与极坐标的关系,直角坐标,极坐标,圆,直角坐标,极坐标,圆,或,直角坐标,极坐标,圆,或,其他用极坐标表示的图形见高等数学学习手册355页，表A.4.4或 教材 345-346页,用微元法导出面积微元 dA,曲边扇形的面积,详细的面积计算公式（极坐标）见高等数学学习手册163页，表6.1.2,例 5,求心形线所围成的图形的面积：,解 作图,with(plots):a:=1.3:plot(a*(1+cos(t),t=0.2*Pi,coords=polar,thickness=5);,