奥数最大公约数与最小公倍数ppt课件.ppt

最大公约数和最小公倍数,一、基本概念和技能,1、公约数与最大公约数；2、公倍数与最小公倍数；3、 互质数；4、求最大公约数与最小公倍数的方法：（1）列举法：（2）分解质因数法；（3）短除法。,1、公约数与最大公约数的概念,看下面的两行数： 12 的约数有：1、2、3、4、6、12； 18 的约数有：1、2、3、6、9、18；定义： 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做最大公约数。 如12和18 的公约数有1、2、3、6. 其中6 是12和18的最大公约数，记作 （12，18）=6,2、公倍数与最小公倍数的概念,我们看下面的两行数3的倍数：3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 。5的倍数：5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 。像15、30、45 。这样，它们是3和5公有的倍数，叫做3和5 的公倍数；其中最小的一个是15，15就叫做3 和5的最小公倍数。 记作： 3，5 15,最大公约数与最小公倍数的比较,公约数是几个数公有的约数，个数是有限的，最大公约数是其中最大的那个。公倍数是几个数公有的倍数，个数有无限多个，最小公倍数是其中最小的那个。,3、互质数,如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。即：如果（a，b）1，那么a，b两数就是互质数，例如：2和3、4和9，6和25 等,4，怎样求两个数的最大公约数,（1）、列举法：（2）、分解质因数法：（3）、短除法：,18的约数：,30的约数：,公约数：,1、2、3、6,最大公约数:6,1 2 3 6 9 18,1 2 3 5 6 10 15 30,（1）列举法,例如，求18和30的最大公约数。,例如，求18和30的最大公约数。,18,2,9,3,3,18= 2 3 3,30,2,15,3,5,30= 2 3 5,公有的质因数的积就是最大公约数,（2）分解质因数法,（18，30）236,例如：求18和30的最大公约数。,18 30,2,9,3,3,18和30的最大公约数:,2 3 =6,15,5,也可以写成 （18，30）2 3 =6,（3）短除法,5、怎样求最小公倍数,1、列举法2、分解因数法3、短除法,（1）、列举法,3的倍数：3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 。5的倍数：5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55.。公倍数；15、30、45、。其中最小的一个是15，15就叫做3 和5的最小公倍数。 记作： 3，5 15,例如，求18和30的最小公倍数,18,2,9,3,3,18= 2 3 3,30,2,15,3,5,30= 2 3 5,公倍数的质因数包含两个数所有的质因数,（2）分解质因数法,18、30 233590,例如：求18和48的最小公倍数,18 30,2,9,3,3,18和48的最小公倍数：,2335 =90,15,5,也可以写成 18，302 3 35 =90,（3）短除法,二、简单应用（1）求整除中几个数的共同的除数最大公约数,例1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析：因为要求的数去除30、60、75、都能整除，所以要求的数是30、60、75的公约数，而其中最大的就是最大公约数。,解,30,60,75,6,12,15,2,4,5,5,3,（30，60，75）5315,答：这个数最大是15。,用短除法求最大公约数,（2）整除中几个数共同的被除数最小公倍数,例2、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析：这个数能被3、4、5整除，说明它是3、4、5的公倍数，解： 3，4，5 60答：这个数最小是60 。,例3、有三段铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要将它们截成长度相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：要截成相等的小段，每段长度应当是120、180、300的公约数；最长，长度应当是120、180、300的最大公约数,应用举例（3）不同长度的拆分,解,120,180,300,4,6,10,2,3,5,30,2,（120，180，300）30260,答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。,所以，每小段最长是60厘米。,12060180603006023510 （段）,（4）合理设置工序的工位,例4、加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析：要使生产均衡，各道工序生产出的零件应当一样多，且正好是3、10和5的公倍数。,解：要使生产均衡，各道工序生产出的零件应当一样多，并且是3、10和5的公倍数。,3,10,5,3,2,1,5,3，10，5532130,各道工序均应加工30个零件。,答：三道工序至少分别需要10个、3个、6个工人。,30310 30103 3056。,例5、一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了65瓶；已知，平均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？分析：由题意知参加会餐的人数应当是2、3、4的公倍数。试一下看看,解： 2，3，4 12 参加会餐的人数应当是12 的倍数，又每12人用 122123124 64313 （个饮料瓶） 65135 参加会餐的人数是12560 （人）答：参加会餐的人数是60人。,思路回眸（一）,在解决有关最大公约数或最小公倍数问题时，关键是分析题意，弄清是求最大公约数或最小公倍数。在把几个数进行拆分的时候，常常当需要求几个数共同的约数，可以利用短除法求几个数的最大公约数。一般情况下，当求的数相对于已知条件处于被除数位置时，求的是最小公倍数；拼或同时的时候，求公倍数,三、最大公约数与最小公倍数的关系,例9、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个数是多少？分析：假期里我们已经学过：最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 即：（a，b） a，b ab 利用这个关系可以迅速地解答此类问题。如果不理解这个关系式，我们看下面的分析,解：设所求的数是x，则有,X 28,y 7,X与28的最小公倍数是252,4,4y7252,y252479,x4y4936,答：这个数是36。,我们来看最大公约数与最小公倍数的关系,x284y474252,而x4y， 2847,在上面的题目中，（x，28）4 x，28 4y7252,即：（a，b） a，b ab,四、求两个较大数最大公约数的方法辗转相除法,例6、一张长方形纸片，长2703厘米，宽1113厘米。要把它剪成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大，问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析：小正方形的边长应该是2703和1113的最大公约数,怎样求2703和1113的最大公约数？试验？短除？ 我们可以这样想：剪成的正方形的边长既然是1113的约数，那么剪好的正方形一定能铺满以1113为边的大正方形，于是,2703 厘米,1113厘米,477厘米,477厘米,159,477,477,辗转相除法,27031113 2 477 （第一步：大数除以小数）1113477 2 159（第二步：小数除以第一步的余数）477159=3 （第三步：第一步的余数除以第二步的余数）这里2703159= 17 1113159 =7 (7,17) 1 （除到整除时，最后一步的除数就是最大公约数） 这种求最大公约数的方法 辗转相除法,例7、求4811和1981的最大公约数和最小公倍数,解： 48111981 2 849 1981849 2 283 849283=3 (4811,1981) 283 根据最大公约数与最小公倍数的关系可以求出 4811,1981 48111981 283=33677,应用举例阅读例10,小结,1、最大公约数和最小公倍数的概念2、最大公约数和最小公倍数的关系3、怎样求最大公约数和最小公倍数4、应用题型（1）最大公约数的应用（2）求最小公倍数的应用（3）最大公约数与最小公倍数关系的应用（4）辗转相除法的应用,（1）最大公约数的应用,当所求的数对于条件中的几个数处于除数的位置时，求的是最大公约数,（2）最小公倍数的应用,当所求的数对于条件中的几个数处于被除数的位置时，求的是最小公倍数。,（3）最大公约数与最小公倍数关系的应用,最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 即：（a，b） a，b ab 在这个关系式中，知道其中任何三个，就可以求第四个。,（4）辗转相除法的应用,27031113 2 477 （第一步：大数除以小数）1113477 2 159（第二步：小数除以第一步的余数）477159=3 （第三步：第一步的余数除以第二步的余数）这里2703159= 17 1113159 =7 (7,17) 1 （除到整除时，最后一步的除数就是最大公约数） 这种求最大公约数的方法 辗转相除法,作业,第一次：课本 第24页第2、6题 第二次：课本第4题,课本习题答案,1、乙数是甲数的三倍，甲数与乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？解：因为乙数是甲数的3倍，所以他们的最小公倍数就是乙数，因此甲数是18，乙数是54。,一块长方形地块，长120米，宽60米，要在它的周围和四角种树，每两棵之间的距离相等，每相邻两棵之间的距离最远是多少米？最少要种多少棵？解：由每两棵树之间的距离相等可知：它是120和60的公约数，因为（120，60）60，所以两棵树之间的距离最远是60米，最少要种6棵树。,3、已知两个自然数的积是5766，他们的最大公约数是31，求这两个数。解：设这两个数是A、B则A31a、B31b且（a，b）131a31b5766 ab6 a1、b6或a2、b3这两个数是31、186或者62、93,A B,a b,31,4解：再次见面所需的时间是6、8、12的公倍数，6，8，12 24 12425答：下次见面的时间是10月25日。,5、将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的棱长是多少分米？体积是多少立方分米？一共可以锯成多少块？解：小立方体的棱长应当是25，20，15 的最大公约数，因为（25，20，15）5555125（255）（205）（155）54360 （块）答：每个正方体的棱长是5分米，体积是125立方分米，一共可以锯成60块。,6、解由题意知，一个地雷的重量应当是201，183及（201183）18的公约数因为（201，183，18）3答 ：,