可分离变量的微分方程ppt课件.ppt

第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程及其解法,二、典型例题,一、可分离变量的微分方程及其解法,1、 可分离变量的微分方程,转化,2、分离变量方程的解法:,设函数 g(y) 和函数 f (x) 是连续的,则,(1) 分离变量,将方程整理为,(2) 两边积分,说明：在微分方程这一章，不定积分表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数用一个C表示.,二、典型例题,解:,当y0时，分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),另外， y = 0也是方程的解，,所以，原方程的通解为,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,练习 求下列方程的通解 :,提示:,分离变量,方程变形为,提示:,例4.,子的含量 M 成正比,求,在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意, 有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,作 业,P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6 ; 7,