变化率与导数ppt课件.ppt

3.1.1 变化率问题,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,操作验证：,利用函数图象计算：r(0)=_r(1) _r(2) _r(2.5) _r(4) _,所以，随着气球体积逐渐变大，它的_逐渐变小了。,0,0.62,0.78,0.85,1,0.62,0.16,0.14,0.10,平均膨胀率,函数,r(V)=,(0V5 )的图象为:,问题2 高台跳水,= 4.05(m/s),= - 8.2(m/s),探究：,答: (1)不是。先上升，后下降。,(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。,计算运动员在0t 这段时间里的平均速度：v=_，思考下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止 的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？,0m/s,建构数学平均变化率,在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到0.5s内的 平均速度,在例1中：对于函数 当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率,一般地，函数f（x）在区间x1，x2上的 平均变化率,建构数学平均变化率,所以，平均变化率可以表示为：,平均变化率:,式子,令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则,称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.,平均变化率的定义：,1、式子中x 、 y 的值可正、可负，但 的x值不能为0， y 的值可以为0,2、若函数f (x)为常函数时， y =0,理解,3、变式:,观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么?,f (x2)-f (x1),x2-x1,直线AB的斜率,思考,直线AB的斜率,A,B,思考,思考：,函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 =的几何意义是什么？,答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率,例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ；,(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。,(1)解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2,(2)解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2,题型一：求函数的平均变化率,练习,1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x,D,3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.,A,x+2x0,课堂练习：,1、已知自由落体的运动方程为s= gt2，求:(1) 落体在t0到t0+t这段时间内的平均速度；(2) 落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度(g=10m/s2)。,2、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：,（1）1, 3;（2）1, 2;（3）1, 1.1;（4）1, 1.001; （5）1, 1.0001;,一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s),4,3,2.1,2.001,1.999,1.99,1.9,2,（6）0.999, 1;（7）0.99, 1;（8）0.9, 1.,2.0001,练一练,如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？,思考：,一、复习,1.平均变化率:,平均变化率的几何意义:割线的斜率,理解：1，式子中x 、 y的值可正、可负，但的x值不能为0， y的值可以为02，若函数f (x)为常函数时， y =0 3, 变式,求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,问题3 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,探究:,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,如何求瞬时速度呢?,比如，t=2时的瞬时速度是多少？,t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。,我们先考察t=2附近的情况：,在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+t，,当t0 时， 2+t 在2之后。,计算区间2+t ，2和区间2，2 +t 内的平均速度 ，可以得到如下表格：,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势：,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量2. 求平均变化率3. 求值,口诀：一差、二化、三极限,例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.,例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,课堂练习:如果质点A按规律s=2t3则在t=3s时的瞬时速度为A.6 B.18 C.54 D.81,练习2质量为kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，（）求运动开始后s时物体的瞬时速度；（）求运动开始后s时物体的动能。,小结：求函数 y = f (x)的导数的定义方法:,求函数的改变量2. 求平均变化率3. 求值,一差、二化、三极限,例4:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x 选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和,