反馈神经网络课件.ppt

第五章 反馈神经网络,5 反馈神经网络,Hopfield网络分为离散型和连续型两种网络模型，分别记作DHNN (Discrete Hopfield Neural Network) 和CHNN (Continues Hopfield Neural Network)，本章重点讨论前一种类型。,根据神经网络运行过程中的信息流向，可分为前馈式和反馈式两种基本类型。前馈网络的输出仅由当前输入和权矩阵决定，而与网络先前的输出状态无关。,美国加州理工学院物理学家J.J.Hopfield教授于1982年提出一种单层反馈神经网络，后来人们将这种反馈网络称作Hopfield 网。,5.1.1 网络的结构与工作方式,离散型反馈网络的拓扑结构,5.1离散型Hopfield神经网络,(1)网络的状态 DHNN网中的每个神经元都有相同的功能，其输出称为状态，用 xj 表示。,j=1,2,n,所有神经元状态的集合就构成反馈网络的状态X=x1,x2,xnT,反馈网络的输入就是网络的状态初始值，表示为X(0)=x1(0),x2(0),xn(0)T,反馈网络在外界输入激发下，从初始状态进入动态演变过程，变化规律为,j=1,2,n (5.1),DHNN网的转移函数常采用符号函数,式中净输入为,j=1,2,n (5.2),对于DHNN网，一般有wii=0 ，wij=wji。,反馈网络稳定时每个神经元的状态都不再改变，此时的稳定状态就是网络的输出，表示为,(2)网络的异步工作方式,(5.3),(3)网络的同步工作方式 网络的同步工作方式是一种并行方式，所有神经元同时调整状态，即,j=1,2,n (5.4),网络运行时每次只有一个神经元进行状态的调整计算，其它神经元的状态均保持不变，即,5.1.2.1 网络的稳定性,DHNN网实质上是一个离散的非线性动力学系统。网络从初态X(0)开始，若能经有限次递归后，其状态不再发生变化，即X(t+1)X(t)，则称该网络是稳定的。,如果网络是稳定的，它可以从任一初态收敛到一个稳态：,5.1.2 网络的稳定性与吸引子,若网络是不稳定的，由于DHNN网每个节点的状态只有1和-1两种情况，网络不可能出现无限发散的情况，而只可能出现限幅的自持振荡，这种网络称为有限环网络。,如果网络状态的轨迹在某个确定的范围内变迁，但既不重复也不停止，状态变化为无穷多个，轨迹也不发散到无穷远，这种现象称为浑沌。,网络达到稳定时的状态X，称为网络的 吸引子。,如果把吸引子视为问题的解，从初态朝吸引子演变的过程便是求解计算的过程。,若把需记忆的样本信息存储于网络不同的吸引子，当输入含有部分记忆信息的样本时，网络的演变过程便是从部分信息寻找全部信息，即联想回忆的过程。,定义5.1 若网络的状态X 满足X=f(WX-T) 则称X为网络的吸引子。,5.1.2.2 吸引子与能量函数,定理5.1 对于DHNN 网，若按异步方式调整网络状态，且连接权矩阵W 为对称阵，则对于任意初态，网络都最终收敛到一个吸引子。,定理5.1证明：,定义网络的能量函数为：,(5.5),令网络的能量改变量为E，状态改变量为X，有,(5.6),(5.7),5.1.2.2 吸引子与能量函数,将式(5.4)、(5.6)代入(5.5)，则网络能量可进一步展开为,(5.8),将 代入上式 ，并考虑到W为对称矩阵，有,(5.9),上式中可能出现的情况：,情况a ：xj(t)=-1, xj(t+1)=1, 由式(5.7)得xj(t)=2, 由式(5.1)知，netj(t)0，代入式(5.9)，得E(t)0。,情况b ：xj(t)=1, xj(t+1)=-1, 所以xj(t)=-2, 由式(5.1)知，netj(t)0，代入式(5.9)，得E(t)0。,情况c ：xj(t)=xj(t+1), 所以xj(t)=0, 代入式(5.9)，从而有E(t)=0。,由此可知在任何情况下均有E(t)0 。,由于网络中各节点的状态只能取1 或 1 ，能量函数E(t) 作为网络状态的函数是有下界的，因此网络能量函数最终将收敛于一个常数，此时E(t)=0 。综上所述，当网络工作方式和权矩阵均满足定理5.1的条件时，网络最终将收敛到一个吸引子。,综上所述，当网络工作方式和权矩阵均满足定理5.1的条件时，网络最终将收敛到一个吸引子。,定理5.2 对于DHNN网，若按同步方式调整状态，且连接权矩阵W为非负定对称阵，则对于任意初态，网络都最终收敛到一个吸引子。,证明：由式(5.8)得,前已证明，对于任何神经元 j ，有,因此上式第一项不大于0，只要W为非负定阵，第二项也不大于0，于是有E(t)0 ，也就是说E(t)最终将收敛到一个常数值，对应的稳定状态是网络的一个吸引子。,以上分析表明，在网络从初态向稳态演变的过程中，网络的能量始终向减小的方向演变，当能量最终稳定于一个常数时，该常数对应于网络能量的极小状态，称该极小状态为网络的能量井，能量井对应于网络的吸引子。,5.1.2.2 吸引子与能量函数,性质1 ：若X 是网络的一个吸引子，且阈值T=0，在sgn(0)处，xj(t+1)=xj(t)，则 X 也一定是该网络的吸引子。,证明：X 是吸引子，即X= f (WX)，从而有 f W(X)=f WX=f WX= X X 也是该网络的吸引子。,5.1.2.3 吸引子的性质,性质2：若Xa是网络的一个吸引子，则与Xa的海明距离dH(Xa，Xb)=1的Xb一定不是吸引子。,证明：不妨设x1ax1b，xjaxjb，j=2,3,n。 w11=0，由吸引子定义，有,由假设条件知，x1ax1b，故,-X 也是该网络的吸引子。,能使网络稳定在同一吸引子的所有初态的集合，称为该吸引子的吸引域。,定义5.2 若Xa是吸引子，对于异步方式，若存在一个调整次序，使网络可以从状态X 演变到Xa ，则称 X 弱吸引到Xa；若对于任意调整次序，网络都可以从状态X 演变到Xa，则称X强吸引到Xa。,定义5.3 若对某些X，有X弱吸引到吸引子Xa，则称这些X的集合为Xa的弱吸引域；若对某些X，有X强吸引到吸引子Xa，则称这些X的集合为Xa的强吸引域。,5.1.2.4 吸引子的吸引域,例5.1 设有3节点DHNN网，用无向图表示如下，权值与阈值均已标在图中，试计算网络演变过程的状态。,x1 -0.1 -0.5 0.2 x2 0.0 0.0 x3 0.6,解：设各节点状态取值为1 或0 ，3 节点DHNN 网络应有23=8种状态。不妨将X=(x1,x2,x3 )T=(0,0,0)T 作为网络初态，按123的次序更新状态。,第1步：更新x1 ，x1=sgn(-0.5)0+0.20(-0.1) =sgn(0.1)=1其它节点状态不变，网络状态由(0,0,0)T变成(1,0,0)T。如果先更新 x2 或 x3，网络状态将仍为(0,0,0)T，因此初态保持不变的概率为2/3，而变为(1,0,0)T的概率为1/3。,x1 -0.1 -0.5 0.2 x2 0.0 0.0 x3 0.6,第2步：此时网络状态为(1,0,0)T，更新x2后，得 x2=sgn(-0.5)1+0.600=sgn(-0.5)=0其它节点状态不变，网络状态仍为(1,0,0)T。如果本步先更新 x1 或 x3，网络相应状态将为(1,0,0)T和(1,0,1)T，因此本状态保持不变的概率为2/3，而变为(1,0,0)T 的概率为1/3。,第3步：此时网络状态为(1,0,0)T，更新x3得 x3=sgn0.21+0.600=sgn(0.2)=1,同理可算出其它状态之间的演变历程和状态转移概率。,DHNN网络状态演变示意图,为了使所设计的权值满足要求，权值矩阵应符合以下要求：,为保证异步方式工作时网络收敛，W应为对称阵；为保证同步方式工作时网络收敛，W应为非负定对称阵；保证给定样本是网络的吸引子，并且要有一定的吸引域。,5.1.3.2外积和法,设给定P个模式样本Xp，p=1,2,P，x-1,1n，并设样本两两正交，且nP，则权值矩阵为记忆样本的外积和,(5.16),5.1.3 网络的权值设计,若取wjj=0，上式应写为,(5.17),式中I为单位矩阵。上式写成分量元素形式，有,(5.18),下面检验所给样本能否称为吸引子。,因为P个样本Xp，p=1,2,P，x-1,1n是两两正交的，有,因为nP，所以有,可见给定样本Xp，p=1,2,P是吸引子。,