《力学》第十章振动和波动ppt课件.ppt

振动和波动,第1部分 振动学基础,第2部分 波动学基础, 简谐振动的描述 简谐振动的动力学特征 简谐振动的合成 阻尼振动 受迫振动 共振,第1部分 振动学基础,1 简谐振动的描述,1简谐振动的定义,1.1 机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动。,广义振动：一个物理量随时间t 作周期性变化,1.2 简谐振动,则物体的运动为简谐振动。,物体运动时，离开平衡位置的位移（角位移）随时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：,2描述简谐振动的特征物理量,2.1 周期和频率,2.3 位相与初相,t 时刻的位相: t+,初相: ,2.2 振幅,A,3简谐振动的表示,1）振动表达式：,2）振动曲线：,3）旋转矢量表示：,振幅：旋转矢量的模A圆频率：旋转矢量的角速度位相：旋转矢量与Ox轴的夹角t+,4简谐振动的速度和加速度,练习 质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期为 2 s 。当 t = 0时, 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动。求：1. 振动表达式。2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度。3. 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,解,1. 设位移表达式为,已知 A = 0.12 m , T = 2 s,初始条件,t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0,m,振动表达式为,由初始条件用解析法求初相 ,由 v0 0 决定取舍,m,由初始条件用旋转矢量法求初相 ,当 t = 0 时, 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动,A,A/2,2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度,3. 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,x = - 6 cm,向 x 轴负方向运动,第一次回到平衡位置,所需要的时间,练习 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 = A/2 处，向 x 轴负方向运动时，另一个质点 2 在 x2 = 0 处，向x 轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。,解,质点 1 的振动超前质点 2 的振动,2 简谐振动的动力学特征,1简谐振动的动力学特征,结论：简谐振动的动力学特征,判别简谐振动的依据,1、运动表达式为 ，其中 A 、 和 是常数。,2、作用力的形式为 ，k 为常系数。,3、动力学方程可写成 ， 为常系数，其平方根即为角频率。,弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动,在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动,2.几种常见的简谐振动,2.1 弹簧振子,周期和频率：由振动系统的固有性质决定,振幅和初相：由初始条件决定,2.2 单摆,s,小幅振动，,例2 如图所示，已知弹簧的劲度系数为k，物体的质量为m，滑轮的半径为R，转动惯量为J。开始时托住物体m，使得系统保持静止，绳子刚好拉直而弹簧无形变，t=0时放开m。设绳子与滑轮间无相对滑动。(1) 证明放开后m作简谐振动；(2) 求振动周期；(3) 写出m的振动表达式。,解：,练习 质量为 m 的比重计，放在密度为 的液体中。已知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。,解,取平衡位置为坐标原点,平衡点,V 为平衡时比重计的排水体积,3.简谐振动的能量,结论：谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总能：,保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。,例题 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？,解,当 时，动能和势能各占总能量的一半。,例题 证明复摆的小幅振动是简谐振动，并求其振动周期。,解,用能量分析法 取O 点为零势能点,J,很小,其振动是简谐振动,3 简谐振动的合成,1.同频率同方向的简谐振动的合成,代数方法：,旋转矢量合成方法：,2）,结论：,1）同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动同频率的简谐振动。,链接,2.同方向不同频率的简谐振动的合成,结论：,3相互垂直的同频率的简谐振动的合成,椭圆轨道,链接,4.相互垂直的同频率的简谐振动的合成,链接,例4-3 已知两个简谐振动的表达式分别为,（1）求合振动的表达式；（2）若x3=3cos(10t+)，则为何值时，三振动叠加后，合振动的振幅最大？则为何值时，三振动叠加后，合振动的振幅最小？,*4 阻尼振动 受迫振动 共振,1阻尼振动,1.1 阻尼振动：物体在振荡过程中因受阻力的作用而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。,1.2 阻尼振动的定量分析,欠阻尼：,过阻尼：,特点：物体不再作来回振动，而是逐渐靠近并停止在平衡位置。,临界阻尼：,特点：质点不再作来回振动，到达平衡位置刚好停下来。,振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。,2受迫振动,2.1 受迫振动,2.2 受迫振动的定量分析,讨论：,1）稳定时，系统按余弦函数作周期性振动：,2）系统振动的频率等于驱动力的频率。,3）系统振动的振幅：,4）系统振动的初位相：,当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。这种现象称为共振。,3共振,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振, 桥被摧毁, 波的产生和传播 波动表达式 波的能量 波的干涉 驻波 惠更斯原理 波的衍射 波的反射和折射*多普勒效应,第2部分 波动学基础,5 波的产生和传播,1波的产生与传播,1.1 波的产生,产生条件：1）波源；2）媒质。,波传播的只是振动状态，媒质中各质元并未“随波逐流”。,沿着波的传播方向，各质元振动存在位相差。,波动伴随着能量的传播。,真空,波：振动在媒质中的传播，形成波。,1.2 横波与纵波,横波：质元的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质元的振动方向与波的传播方向平行,横波只能在固体中传播，而纵波可以在固体、液体和气体中传播,1.3 平面波与球面波,波前、波面和波射线：媒质中振动相位相同的点所构成的面，称为波面；最前方的波面称为波前（波阵面）；与波面垂直且表明波的传播方向的线称为波射线。,平面波与球面波：波面为平面的波称为平面波；波面为球面的波称为球平面波,2描述波动的特征量,2.1 波速,1.2 波长,在一个全振动周期内振动状态向前传播的距离:,=uT,或定义为:,波传播方向上振动位相差等于2的两质点的距离。,1.3 波的周期与频率,6 波动表达式,1.波动表达式,2平面简谐波的波动表达式,O点的振动表达式：,波动表达式：,3波函数的物理意义,解：,7 波的能量,1波的能量分布,能量密度,波的能量与振动能量,平均能量密度,2波动能量的传播,单位时间里通过某一截面的能量：,2.1 波的传播过程也是波动能量的传播过程。,2.2 能流：,通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流：,2.3 平均能流密度（波的强度）,3.球面波的能量,解:,8 波的干涉 驻波,1波的迭加原理,1）两列波在传播过程中相遇，在相遇区域内每一质元的位移等于各列波单独传播时所引起位移的和。,2）两列波相遇时仍保持各自原有的特性。,各水波独立传播,各种乐器发出的声波独立传播,2波的干涉,2.2 相干波的叠加,频率相同，振动方向相同，位相差恒定。,2.1 相干条件,结论：,特别地,3驻波,沿相反方向传播的两相干简谐波相互叠加的结果:,3.1 驻波的形成：,3.2 驻波的表达式,沿x轴正、负方向传播的简谐波波形重叠时为：t0 此时两列波的波峰为原点O(x0),x轴上各点作简谐振动。,各点振幅随x而变化：,若相邻波节之间为一段，则同一段中各点的振动位相相同，而相邻段振动的位相相反,*3.3 驻波的能量,驻波的动能和势能不断地在波腹和波节之间的小范围内迁移并转换。驻波进行过程中没有能量的定向传播。,各点的动能和势能都随时间作周期性变化，但两者的变化不同步。,例题 一平面简谐波沿 x 轴方向传播，在距反射面 B为 L 处的振动规律为 y = A cos t ，设波速为 u ，反射时无半波损失，求入射波和反射波的波函数。,解,入射波波函数,O,反射波波函数,振动从O 传到 B，再反射到 P ，需时,例 在弦线上有一简谐波，其表达式为：,为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。,解：,反向波,因为x = 0处为波节,9 惠更斯原理 波的衍射,波的反射和折射,1.惠更斯原理,波阵面（波前）上的每一点都可视为发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面（波前）。,2波的衍射,2.1 波的衍射现象：波在传播过程中遇障碍物时，能改变其传播方向而绕过障碍物的现象。,2.2 波的衍射现象的解释,2.3 产生波的衍射的条件：小孔或障碍物的尺寸不比波长大得多。,水波通过窄缝时的衍射,3波的反射与折射,3.1 波的反射与折射现象,波传播到两种媒质的界面时，一列波被分成两部分，一部分反射回来，形成反射波，另一部分进入另一种媒质，形成折射波，这种现象称为波的反射与折射现象。,3.2 反射定律与折射定律,反射定律：,折射定律：,3.3 半波损失,解：,10 多普勒效应,1.多普勒效应,当波源或接收器相对于媒质运动时，接收器所接收到的波的频率（单位时间内所接收到的波数）与波源的振动频率（单位时间内波源所发出的波数）不同。,2.接收频率与波源及观察者相对媒质运动速度的关系,2.1 波源与接收器相对于媒质均为静止,接收器向着波源运动：,接收器背离波源运动：,综合：,波源向着接收器运动：,波源背离接收器运动：,综合：,水波的多普勒效应（波源向左运动）,超声多普勒效应测血流速,3.冲击波,超音速的子弹在空气中形成的激波,例4-8 一警报器发射频率为1000Hz的声波，远离观察者向固定的目的物运动，其速度为10m/s，试问：（1）观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少?（2）观察者听到从目的物反射回来的声音颠率为多少?（3）听到的拍频是多少? (空气中的声速为330ms)。,解：,