《分部积分法2》PPT课件.ppt

1,4.5 分部积分法,分部积分公式,例 题,小结 思考题 作业,integration by parts,第4章 定积分与不定积分,2,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,?,?,?,特点,被积函数是两个不同函数的乘积.,具有连续导数.,两边求不定积分,一、分部积分公式,3,恰当选取u和dv是一个关键,v要易求;,分部积分公式,选取u和dv的一般原则是:,(1),(2),4,例,解,显然,法一,法二,二、例 题,选择不当, 积分更难进行.,5,例 求,解,(再次使用分部积分法),6,7,例 求,解,?,8,例 求,解,化简型,9,利用,可把,的积分,化为,10,例 求,解,注意循环形式,应用分部积分法时,可不明显地写出如何选取u、dv, 而直接套用公式. (对较简单的情况),11,12,例 求,解,循环型,13,使用分部积分法的关键是正确地选取,(因为“幂三指”好积,把被积函数视为两个函数的乘积, 按,“反对幂三指”的顺序,前者为,后者为,常用的方法:,它自己简单.),小结,“反对”的导数比,14,考研数学三, 6分,解,令,则有,于是,练习,在积分过程中常常兼用各种积分法.,15,曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!,例,16,dv,u,利用分部积分法可以得到一些递推公式:,例 试证递推公式,证,由分部积分法得,17,由此推出,18,利用这个递推公式及公式,递推型,如,递推型,递推公式, 虽然积分没有具体求出来, 但每用一次公式n就降低一次至两次, 连续应用.,就可以求出每个积分In .,19,定积分的分部积分公式,设u(x), v(x)在区间a, b上有连续的导数,则,由不定积分的分部积分法,及N-L公式.,对于定积分, 有类似的分部积分公式.,20,例,解,原式=,?,21,解,考研数学(二), 填空题, 4分,原式=,练习,或先不定积分的分部积分再定积分.,22,例,解,考研数学(一)计算5分,原式=,23,解,考研数学(一)填空4分,原式=,练习,分部积分,24,例,解,无法直接求出f (x),因为,没有初等原函数,分析,被积函数中含有“积分上限的函数”,所以用分部积分法做.,选择积分上限的函数为u.,25,今后也可将原积分化为二重积分计算.,26,例 证明定积分公式,证,设,n为正偶数,n为大于1的正奇数,J.Wallis公式,27,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,因为,28,所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,29,例,n为正偶数,n为大于1的正奇数,上公式在计算其它积分时可以直接引用.,30,例,解,用公式,n为正偶数,31,考研数学(一)计算11分,如图, 曲线C的方程为 y = f (x), 点(3, 2)是它的,一个拐点, 直线 l1与l2分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2),处的切线, 其交点为(2, 4). 设函数f (x)具有三阶连续,导数, 计算定积分,练习,解,2分,4分,6分,分部积分,32,考研数学(一)计算11分,如图, 曲线C的方程为 y = f (x), 点(3, 2)是它的,一个拐点, 直线 l1与l2分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2),处的切线, 其交点为(2, 4). 设函数f (x)具有三阶连续,导数, 计算定积分,练习,6分,8分,11分,33,练习,解,用定积分的分部积分公式,34,解,则,是奇函数,是偶函数,练习,n为正偶数,由于被积函数以,为周期,35,分部积分公式,1. 原则:,2. 经验:,3. 题目类型 :,化简型;,循环型;,递推型.,三、小结,v要易求;,易求.,“反对幂三指”的顺序,前为u,后为dv.,定积分的分部积分公式,36,两边同时对x求导,得,分部积分,解,思考题1,已知f (x)的一个原函数为,因为,所以,37,思考题2,解,38,作业,习题4.5(122页),