第2讲灰色系统ppt课件.ppt

2012数学建模培训,第2讲 灰色系统,“灰色系统理论与应用”学习内容,1. 灰色系统中的“灰色”是指什么意思？2. 灰色系统理论与概率统计、模糊数学这两种研究不确定现象的方法最主要的区别是什么？3. 为什么要用序列算子生成灰色序列，常用的序列算子有哪些？4. 在实际中如何判断是否要对原始数据进行缓冲以及缓冲的程度？,5. 为何在用 GM 模型进行预测前通常要对原始数据进行累加？6. 灰色关联分析可用于何种问题，它的基本思想是什么？7. 灰色关联分析与主成分分析法、因子分析法、层次分析法、模糊评价法等的关系及优缺点。8. 灰色关联分析前为何要对原始数据规范化，4种规范化方式的适用范围是什么？,9. 灰色关联度定义及分析方法中存在的问题。10. 两种灰色关联分析类型程序间的差别。11. 如何理解GM(1,1)模型的基本形式和白化形式？12. 灰色预测模型的优缺点及适用范围。13. 灰色预测与其它预测方法的组合问题。14. 灰色关联分析和灰色预测模型程序的 编制与使用。,灰色系统理论与应用主要包括下列内容： (1) 灰色系统的概念与基本原理； (2) 灰色算子和灰色序列的生成数据的预处理； (3) 灰色关联分析； (4) 灰色系统模型GM(1,1)模型； (5) 灰色组合模型灰色人工神经网络模型。,灰色关联分析与层次分析法、模糊综合评判法、数据包络分析法、神经网络评价法、主成分分析法、因子分析法、理想解法等是数学建模中常用的综合评价与决策方法。 灰色系统模型主要指 GM(1,1) 模型，它与微分和差分方程模型、拟合方法、回归分析方法、时间序列、马氏链、神经网络等是数学建模中常用的预测方法。,本讲首先介绍灰色系统的概念与基本原理以及数据预处理的常用方法，然后重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型 GM(1,1)模型，最后介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型在数学建模中的应用。,一、灰色系统的概念与基本原理,灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授于1982年创立的一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。 概率统计研究的是“随机不确定”现象,着重于考察随机不确定现象的历史规律。其出发点是大样本，并要求对象服从某种,典型分布。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题,其研究对象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。例如，“年轻人”，“有钱”。 灰色系统理论着重研究“小样本, 贫信息”认知不确定问题，其研究对象具有“外延明确、内涵不明确”的特点。 例如，“ 8万到10万之间” 就是一个灰概念，其外延明确，但内涵不清楚。,1. 灰色系统的基本概念,灰色系统中“灰色”的基本含义是指信息不完全，包括元素信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全。,2. 灰色系统的基本原理,目前, 灰色系统的理论体系尚不完善。通常，灰色系统必须满足下列基本原理： (1) 差异信息原理所有信息皆有差异； (2) 解的不唯一原理信息不完全、不确定情况下的解是不唯一的； (3) 最少信息原理充分利用已有的最小信息；,(4) 认知根据原理信息是认知的根据； (5) 新信息优先原理新信息对认知的作用优于老信息； (6) 灰性不灭原理信息不完全 (灰)是绝对的。,灰色系统是极少数由中国学者创立的理论之一，其基本概念与基本理论相当不完备，国内外许多学者对灰色系统理论也有许多争论和不同看法。 本讲不过多探讨灰色系统的概念和理论，而只是将其视为一种实用的建模工具,会恰当地用其解决建模问题即可。,二、序列算子和灰色序列的生成,灰色系统中原始数据中的信息是不完全的。灰色系统往往通过对原始数据的挖掘和整理来降低信息的不确定性，这一数据预处理过程称为灰色序列的生成，生成灰色序列的方法称为序列算子。 生成灰色序列的常用算子有：缓冲算子、均值算子和累加算子等。,1. 缓冲算子,有时，问题中的原始数据受到某种冲击干扰而失真，数据已不能正确反映系统的真实变化规律。此时，要设法排除数据所受到的干扰，还数据以本来面目，从而提高预测的精度。 灰色系统中通常用缓冲算子来减缓或加快原始数据的增长 (衰减)速度，分别称之为弱化算子或强化算子。,(1) 设原始数据序列X=(x(1),x(2),x(n)令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d) 其中则无论X为单增、单减或振荡序列时，D皆为弱化算子，称为平均弱化缓冲算子。,(2) 设原始数据序列X=(x(1),x(2),x(n)令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d) 其中则X为单增(减)序列时，D皆为强化算子。,弱 (强)化算子有多种形式，只要满足一定的条件即可，上述只是常用的一种定义形式。 类似可定义二阶弱(强)化算子。 对原始数据是否进行缓冲及缓冲程度取决于对原始数据是否受到干扰及干扰程度的主观判断。,例1 某县乡镇企业19831986年产值为 X=(10155, 12588, 23480, 35388)，平均年增长率高达51.6%。 经分析讨论发现，增长速度高的主要原因是基数低，而基数低的原因则是过去没有用足、用好有利于乡镇企业发展的政策。要弱化序列增长速度，就需要将政策因素附加到过去的年份中，为此进行二阶弱化得XD2=(27260, 29547, 32411, 35388)。,对数据XD2利用GM(1,1)模型可预测出该县乡镇企业 19862000年间产值平均增长率为9.4%，这与该县乡镇企业发展实际基本吻合。,例2 某市19961999年农林牧渔总产值为 X=(91.99, 94.24, 96.96, 98.92)，平均年增长率仅为2.4%。 从2000年开始，该市调整了农村产业结构，使这种增长缓慢的状况得到改善。为了对经济的发展作科学合理的预测，必须对增长缓慢的数据加以处理，使其符合今后的发展趋势，在此基础上进行合理的预测。,对原始数据进行二阶强化得XD2=(73.98,81.50,91.33,98.92)。 对数据 XD2 利用GM (1,1)模型可预测出该市20002005年农林牧渔总产值平均增长率为 10.1 %，这与该市农业发展实际基本吻合。 此数据与书上计算结果不同。,2. 累加和累减算子,累加是使灰色系统变白的一种方法，在灰色系统理论中占有极其重要的地位。累加可使表面凌乱的原始数据中蕴含的规律充分显现再来。 例如，若按日计算家庭的支出，可能没什么明显规律；若按月计算，支出的规律就可能体现出来，它大体与月收入成某种对应关系。,(1) 设原始数据序列X=(x(1),x(2),x(n)令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d) 其中则D称为一次累加生成算子, 记为1-AGO。,(2) 设原始数据序列X=(x(1),x(2),x(n)令XD=(x(1)d,x(2)d,x(n)d) 其中则D称为一次累减生成算子。 类似可定义二阶累加(减)算子。,(3)一般的非负准光滑序列经过累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律，称之为灰指数律。 原始序列越光滑，生成后的指数规律也越明显。 因此，灰色系统预测的常用方法是：首先对原始序列进行累加，然后用GM(1, 1)模型对生成序列进行建模预测。,三、灰色关联分析,引例1 某地区1997-2002年农业总产值X0，种植业总产值X1，畜牧业总产值X2和林果业总产值X3的统计数据如下： X0=18, 20, 22, 35, 41, 46 X1=8, 11, 12, 17, 24, 29 X2=4, 3, 5, 6, 11, 7 X3=6, 6, 5, 12, 6, 10分析农业与种植畜牧林果业产值的关系。,从图中可以很明显地看出，农业总产值曲线与种植业产值曲线最相似。刘思峰书也认为该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。 但软件和自编程序计算结果为：种植畜牧林果业产值与总产值的关联度分别为0.6713, 0.7007,0.6908，农业总产值与畜牧业产值关联度最大。,引例2 中国2001-2005年GDP及第1,2,3产业产值如下，分析GDP 与第1,2,3产业产值的关系。 X0=109.7, 120.3, 135.8, 159.9, 183.1 X1=15.5, 16.2, 17.1, 21.0, 23.1 X2=49.5, 53.9, 62.4, 73.9, 87.0 X3=44.6, 50.2, 56.3, 65.0, 73.0,从图中可以很明显地看出，GDP曲线与第2产业曲线最相似。 但刘思峰书和程序计算结果是：GDP与各产业的关联度分别为0.5679, 0.7811, 0.8460，GDP与第3产业关联度最大。 而软件的计算结果又是：GDP与各产业的关联度分别为0.8066, 0.9643, 0.8527， GDP与第2产业关联度最大。 重金悬赏解惑！,引例3 供应商选择决策。 某企业需要在 6 个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴，各待选供应商有关数据见下表：,在实际中，存在着大量诸如引例的系统综合评价与决策问题。这些系统受多种因素的影响，有些是主要因素，有些是次要因素；有些是积极因素，有些是消极因素。系统的综合评价与决策就是要根据给定的各因素指标和科学合理的评判方法对系统做出综合评价与决策。,综合评价与决策的方法多达数十种，其中数学建模中常用的有主成分分析法、因子分析法、层次分析法、模糊综合评价法和灰色关联分析法等。 主成分分析法和因子分析法都是用较少的变量解释大部分问题，即降维。这两种方法往往要求样本数据量较大，且服从某种典型的概率分布。,层次分析法是一种简便、实用的多准则决策方法。但层次分析法在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大,而且判断过程比较粗糙，不适用于精度较高的决策问题。 灰色关联分析法是根据各因素之间发展趋势的相似程度 (几何相似度) 即 “ 灰色关联度”, 作为衡量因素间关联程度的一种方法 。,灰色关联分析法可对样本数据量较小的系统进行综合分析，且计算量很小。但这种方法中的某些参数如指标权重和分辨系数需要人为指定。 必要时，可将上述几种综合评价与决策方法结合起来使用。比如，可先用层次分析法确定指标权重，然后再用灰色关联分析法，可取得精度较高的结果。,1. 数据的规范化,设评价对象有m个，评价指标有n个，特征序列x0=x0(k)|k=1,2,n，相关因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n, i=1,2, m。 特征序列也称参考序列，可以理解为评价标准。在引例2中为GDP，在引例3中可理解为各项指标都占优的一个虚拟供应商。因素序列也称比较序列，可理解为评价对象。在引例2中为第1, 2, 3产业，在引,例3中为各供应商。 由于特征序列和因素序列中的数据可能量级相差较大，单位也不一致，所以要对其适当的规范化处理，使之成为量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。 特征序列和因素序列中的数据规范化通常有下列四种方式：,设Xi=xi(1), xi(2), xi(n)为数据序列, XiD=xi(1)d, xi(2)d, xi(n)d，其中,则XiD分别称为初值像、均值像、区间值像，对应的算子D分别称为初值化算子、均值化算子、区间值化算子。其中，第1种初值化算子主要用于引例2中Xi (i=2,3,n)与X1比较，第3, 4种区间化算子主要用于Xi (i=1,2,n)间的相互比较，第4种区间化算子的用途是将负相关关系转化为正相关关系。,2. 灰色关联度,设特征序列x0=x0(k)|k=1,2,n，相关因素序列xi=xi(k)|k=1,2,n, i=1,2, m。对 ，令则 分别称为k点的灰色关联系数和xi,与x0的灰色关联度， 称为分辨系数， 称为第k个评价指标对应的权重。 (1) 上述是根据灰色关联公理给出的一种灰色关联度定义； (2) 分辨系数越大(小)，分辨率越大(小)，通常取分辨系数为0.5； (3) 通常取权重均为 1/n，更合理的方法是通过层次分析法确定每个评价指标不同的权重。,3. 灰色关联分析步骤,(1) 确定比较对象(评价对象)和参考数列(评价标准)； (2) 确定各指标值对应的权重； (3) 计算灰色关联系数； (4) 计算灰色关联度； (5) 评价分析。根据灰色关联度的大小评价各对象，关联度越大，评价越好。,取等值权、区间值化算子和分辨系数为0.5时，可求得引例2中第1,2,3产业与 GDP的关联度分别为0.5679, 0.7811, 0.8460，即第3 产业与GDP的关联度最大。 上述结果为自编程序计算结果，与书上结果基本一致。但软件计算的结果为0.8066, 0.9643, 0.8527，第2产业的关联度最大。 刘思峰的书、软件、文章中多处出现数据有误的问题。,引例3中各供应商与特征序列(虚拟最优供应商)的灰色关联度分别为0.4630, 0.5560, 0.6491, 0.6527, 0.4936, 0.6130。从而, 企业决策者应优先考虑从第4个供应商处采购。 其实，因为产品质量等 8 项指标在决策人心中的权重不一定相等，所以引例 3 用层次分析法进行综合评价可能更为合理。,四、灰色预测模型,灰色预测的核心内容是灰色模型，主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列，即先对原始数据做累加(或其他方法生成) 得到近似的指数规律再用微分方程建模的方法。 灰色预测的优点是需要的数据少(4个即可)、精度较高、计算简单、易于检验，缺点是只适合指数增长的中短期预测。,1. GM(1,1)模型,GM(1,1) 表示1阶微分方程且含1个变量的灰色模型。 设系统某行为特征序列的观察值为X(0)=x(0)(1), x(0)(2), , x(0)(n)，其一次累加生成序列(1-AGO)为X(1)=x(1)(1), x(1)(2), , x(1)(n)，其中， 。,根据累加生成算子的性质，X(1) 近似服从指数增长规律。 X(1)的紧邻均值生成序列为Z(1)=z(1)(2), z(1)(3), , z(1)(n)，其中， 。 根据差分方程的特性，建立灰差分方程x(0)(k)+a z(1)(k)=b, k=2,3,n称之为GM(1,1)模型的基本形式，- a 称为发,展系数，b称为灰作用量。 GM (1,1) 模型的基本形式有多种，上述仅为其中常用的一种形式。 上述差分方程可变换为 方程(1)表明x(1)(k)为k的指数函数。,将离散的差分方程(2)近似为连续的微分方程： 称之为GM(1,1)模型的白化形式或影子方程。 记,则GM(1,1)模型的基本形式可写为Y=Bu，这是一个超定方程，其在最小二乘意义下的解为u=(BTB)-1BTY。 求出a, b值后，代入白化方程，可得解称为时间响应函数，从而时间响应序列为,还原值为 最后可以利用残差(相对误差)对预测值进行检验。若 ，通常认为达到了较高的要求。,2. GM(1,1)模型的讨论,从 GM(1,1) 的建模预测过程可以很清楚地看出，GM(1, 1) 其实就是基于累加生成序列和最小二乘估计的指数拟合模型。 GM(1,1) 建模机理和预测的稳定性一直是众多学者探讨的问题之一，但尚未取得大家公认的科学合理的解释。目前达成共识的是：GM (1,1) 可以用于指数规律较强的单调序列的中短期预测；即使用于纯,指数增长序列的长期预测也可能存在较大误差；预测精度与发展系数-a有关。 发展系数-a 反映了 及 的发展态势。理论已证明， 时，GM(1,1) 模型有意义，且 较小时预测精度较高，而随着 的增大，预测误差会随之变大。 通常，GM(1,1)模型在 a 0.5时已不适宜做预测。,对非单调序列如振荡序列或有饱和的 S 形序列可用GM(2,1)、DGM、Verhulst等模型, 也可采用其它方法如神经网络等。,五、灰色关联与灰色预测程序与实例,我们编制了灰色关联分析和灰色模型GM(1,1)预测通用Matlab程序GIA和GM，可方便地进行不同类型的灰色关联分析和灰色预测，并绘制预测数据图、进行误差检验、计算平均增长率。,六、上机练习,1. 2011年度东山矿务局5个矿井生产经营数据如表1，试对各矿井经济效益进行综合评价。 2. 某企业需要在6个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴, 各待选供应商有关数据见表2。,表1,表2,3. 某地区平均降雨量数据(单位：mm)序列为X=(x(1),x(2),x(17)=(390.6,412.0, 320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0, 300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,587.6, 318.5)，其中x(1),x(2),x(17)分别为1971, 1972,1987年的数据，取=320 mm为下限异常值(旱灾)，试作旱灾预测。,4. 干热风若发生在5月29日以前, 则对小麦是一种自然灾害。该地区历年干热风发生的日期如下，试作灾害预测。,