量子力学力学量随时间的演化与对称性课件.ppt
第四章 力学量随时间的演化与对称性,力学量随时间的演化,1,守恒量有两个特点：(1) 在任何态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)下A的概率分布不随时间改变。, =0,力学量 为守恒量！,第四章 力学量随时间的演化与对称性 力学量随时间的演化1守恒,能级简并与守恒量的关系,定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，,则：体系能级一般是简并的。,2,能级简并与守恒量的关系定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量F,证明：,3,证明：3,推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本 征态），则 必为F的本征态。,证明：,4,推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级证明：4,即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 它是厄米算符，它的本征值只有 ， 即,四、宇称守恒,宇称算符,态函数的宇称:,5,即空间反演算符，它的作用是把波函数中的四、宇称守,宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。,6,1956年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性有了新的认识。,宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。61956年,判断下列提法的正误94页。,例题1：,例题2：,7,判断下列提法的正误94页。对于自由粒子， ，证明动量 是守恒,教材96页 4.4 。,8,教材96页 4.4 。8,4.4守恒量与对称性,德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称性. 他对上述现象作了如下表述：若某图形通过镜面反射又回到自己，则该图形对该镜面是反射对称或双向对称的.若某一图形围绕轴作任何转动均能回到自身，则该图形具有对轴的转动的对称性.,（一）关于对称性,无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.,9,4.4守恒量与对称性（一）关于对称性无论对艺术还是自然科学,20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系. 爱因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一起来了.,10,20世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系. 爱因斯坦在狭,一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿算符 ，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符 的不变性。,在量子力学中，我们将看到：,能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。,11,守恒量与对称性,一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量子力学中，,即：,12,守恒量与对称性,考虑某种线性变换Q(存在逆变换Q-1, 但和时间无关)，在Q变换下，,体系对变换的不变性体现为,因为 Q-1, 但和时间无关,即：12守恒量与对称性考虑某种线性变换Q(存在逆变换Q-,这就是体系 （Hamilton量）在变换Q下的不变性的数学表达。,注意：,一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，但它可以决定一个守恒量算符。,凡满足该式的变换称为体系的对称性变换,13,守恒量与对称性,这就是体系 （Hamilton量）在变换Q下的不变性的数学表,考虑到概率守恒，要求,则Q应为幺正变换（算符），即,对于连续变换，可考虑无穷小变换，令,即要求,14,守恒量与对称性,考虑到概率守恒，要求则Q应为幺正变换（算符），即对于连续变换,F为厄密算符，称为变换Q的无穷小算符。,由于其厄密性，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测量,将体系在Q变换下的不变性 ,应用到无穷小变换,可导致,F就是体系的一个守恒量,一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应的守恒量,15,守恒量与对称性,F为厄密算符，称为变换Q的无穷小算符。由于其厄密性，可用它来,例1. 空间平移不变性与动量守恒,考虑沿,方向的无穷小平移,，则波函数的变化为,于是平移变换算符为：,其中：,为相应的无穷小算符,16,守恒量与对称性,例1. 空间平移不变性与动量守恒考虑沿 方向的无穷小,对于三维空间的无穷小平移,，则有,其中：,即动量算符。,如果体系对于平移具有不变性，即,则有,根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。,17,守恒量与对称性,对于三维空间的无穷小平移 ，则有其中： 即动量算符,例2.空间旋转不变性与角动量守恒。,则波函数的变化为,于是绕z轴旋转的变换算符为：,其中：,是大家熟知的角动量的z分量算符,18,守恒量与对称性,例2.空间旋转不变性与角动量守恒。则波函数的变化为,于是绕 轴旋转的变换算符为:,现在来考虑三维空间中的绕某方向,（单位矢）的无穷小旋转,则波函数的变化为,19,守恒量与对称性,于是绕 轴旋转的变换算符为:现在来考虑三维空间中的绕某,其中：,是大家熟知的角动量算符。,如果体系具有空间旋转不变性，即,则有,由力学量守恒条件可知：角动量守恒。,20,守恒量与对称性,其中： 是大家熟知的角动量算符。如果体系具有空间旋转不变性，,
