第2章单因素优选法ppt课件.ppt

1,掌握单因素试验设计的常用方法,2单因素优选法-本章主要内容,2,2单因素优选法优选法概念,优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。 假定f(x)是定义在区间a，b上的函数，但f(x)的表达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点x0的数值f(x0)。应用单因素优选法，就是用尽量少的试验次数来确定f(x)的最佳点。,3,2单因素优选法2.1 均分法,它是在试验范围a, b内，根据精度要求和实际情况，均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相互比较，以求得最优点的方法。 作法：如试验范围Lba，试验点间隔为N，则试验点n为(包含两个端点)：,4,2单因素优选法2.1 均分法,例2-1 对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范围为420转/分720转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳的砂轮转速值。,N = 30 转/分,n = + 1 = +1 = 11,b - a,N,720 - 420,30,试验转速：,420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720,5,2单因素优选法2.1 均分法,使用范围：这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查”，常常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决于试验点数目的多少。,6,2单因素优选法2.2 平分法(对分法),平分法：适用于试验范围(a,b)内，目标函数为单调（连续或间断）的情况下，求最优点的方法。,7,2单因素优选法2.2 平分法(对分法),每次选取因素所在试验范围（a, b）的中点处C做试验。,计算公式：,每试验一次，试验范围缩小一半，重复做下去，直到找出满意的试验点为止。,根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些），就把此试验点（中点）以下的一半范围划去；如下次试验在低处（取值小些），就把此试验点（中点）以上的一半范围划去。,8,2单因素优选法2.2 平分法(对分法),例2-2 乳化油加碱量的优选。高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1，需加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化，所以加碱量优选范围为14.4。解：过程见书P37。,9,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法),本方法是在试验范围a, b内，首先安排两个试验点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所在的一段范围，再在余下的范围内寻找好点，去掉不好的点，如此继续地作下去，直到找到最优点为止。,10,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法),0.618法要求试验结果目标函数f(x)是单峰函数，即在试验范围内只有一个最优点 d，其效果f(d)最好，比 d 大或小的点都差，且距最优点 d 越远的试验效果越差。,11,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-由来,1 设x1 和x2 是因素范围a,b内的任意两个试点，C点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，把效果较差的点称为差点。则：最优点与好点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分成的两部分中好点所在的那部分称为存优范围。即可以去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。 如何安排两个试验点？ 合理地缩小存优范围,12,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-由来,2 安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的中点对称-对称原则。 则无论哪点差，划去的长度都一样。3 最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的比例数（“成比例地舍去”原则）。,13,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-由来,两个试验点位置的确定：设第一次舍去的长度为 x ，则：,14,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-由来,它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍去的比例数。对这个等式进行变形可得,整理可得 x0.382(ba) 0.618或(10.618)0.382这正是黄金分割常数。,15,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-做法,第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上，第二个试验点x2取成x1的对称点，则：x1(大小)0.618小(ba)0.618a x2(大小)第一点(即前一点)(ba)x1第三个试验点的安排有三种情形：,16,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-做法,(1) x1是好点 ，则划去（a,x2），保留（x2,b）。x1的对称点x3，在x3安排第三次试验。x3大小前一点 bx2x1,17,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-做法,(2) x2是好点 ，则划去（x1,b），保留（a,x1）。第三个试验点x3应是好点x2的对称点。 x3大小前一点 x1ax2,18,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-做法,(3) 如果f(x1)和f(x2)一样，则应该具体分析，看最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉（a,x2）和（x1,b），仅留中点的(x2,x1)，把x2看成新a，x1看成新b，然后在范围（x2,x1）内0.382、0.618处重新安排两次试验试验。,19,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-做法,无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可以比较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在留下的范围中再找好点的对称点，安排新的试验。这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比较好的试验结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不大时也可终止试验。,20,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-例,例2-3 炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加入范围是10002000克，求最佳加入量。第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验x1 (大小)0.618小 a(ba)0.6181000(20001000)0.6181618克第二步 第（2）个试验点由公式（2-4）计算x2大小第一点2000100016181382克,21,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-例,x11618克x21382克第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉1000,1382那一段范围。留下1382,2000，则：x3大小第一点1382200016181764克第四步 比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，如此反复，直到得到较好的试验结果为止。,22,2单因素优选法2.3 黄金分割法(0.618法)-例,可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可。,23,2单因素优选法2.4 分数法,适用范围：试验要求预先给出试验总数(或者知道试验范围和精确度，这时试验总数就可以算出来)。在这种情况下，用分数法比0.618法方便，且同样适合单峰函数的方法。 裴波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,用F0、F1、F2、依次表示上述数串，它们满足递推关系：FnFn-1Fn-2 (n2),24,2单因素优选法2.4.1 分数法,1 所有可能的试验总数正好是某个Fn-1：第一步：前两个试验点放在试验范围的Fn-1、Fn-2的位置上，也就是先在第Fn-1、Fn-2点上做试验。 比较这两个试验的结果，如果第Fn-1点好，划去第Fn-2点以下的试验范围；如果第Fn-2点好，划去Fn-1点以上的试验范围。,25,2单因素优选法2.4.1 分数法,1 所有可能的试验总数正好是某个Fn-1：第二步：在留下的试验范围中，还剩下Fn-11个试验点，重新编号，其中第Fn-2和Fn-3个分点，有一个是刚好留下的好点，另一个是下一步要做的新试验点，两点比较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试验范围就只有Fn-21试验点。 以后：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试验范围内没有应该做的好点为止。,26,2单因素优选法2.4 .1 分数法-例2-4,例2-4 卡那霉素生物测定培养温度试验。 卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为371，培养时间在16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为2950，精确度要求1，中间试验点共有20个，用分数法安排试验。解：由题意可知，试验总次数为20次， 正好等于F71。试验过程如书P43图2-8所示,27,卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为371，培养时间在16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为2950，精确度要求1，中间试验点共有20个，用分数法安排试验。,28,2单因素优选法2.4 .1 分数法-例2-4,(1) 第个试验点选在13个分点42；第个试验点在第8个分点37。发现点好，划去8分点以下的，再重新编号；(2) 和比较，好，划去8分点以上的，再重新编号；(3) 和比较，好，划去3分点以下的，再重新编号；(4) 和比较，好，划去2分点以下的，再重新编号；(5) 和比较，好，试验结束，定下431，只需810h。说明：F721，因而最多只需做716次试验。,29,2单因素优选法2.4.2 分数法,2 所有可能的试验总数大于某个Fn-1而小于Fn+1-1：只在要试验范围之外虚设几个试验点，凑成Fn+11个试验，就化成2.4.1节的情形。对于虚设点，并不真正做试验，直接判断其结果比其他点都坏，试验往下进行，很明显，这种虚设点，并不增加实际试验次数。,30,2单因素优选法2.4.2 分数法-例2-5,例2-5 假设某混凝沉淀试验，所用的混凝剂为某阳离子型聚合物与硫酸铝，硫酸铝的投入量恒定为10mg/L，而某阳离子聚合物的可能投加量分别为0.10、0.15、0.20、0.25、0.30mg/L，试利用分数法来安排试验，确定最佳阳离子型聚合物的投加量。,31,2单因素优选法2.4.2 分数法-例2-5,解：根据题意可知，可能的试验总次数为5次。由裴波那契数列可知， F51817 F41514故F414 5 F517(1)首先需要增加两个虚设点，使其可能的试验总次数为7次，虚设点可以安排在试验范围的一端或两端。假设安排在两端，即一端一个虚设点，如图2-9所示。,32,2单因素优选法2.4.2 分数法-例2-5,33,(2)第个试验点选在第5个分点0.25mg/L；第个试验点在第3个分点0.15mg/L。假设点好，划去3分点以下的，再重新编号；(3)和比较，假设好，划去2分点以下的，再重新编号；(4)此时第个试验点为虚设点，直接认定它的效果比差，即好。试验结束，定下该阳离子型聚合物的最佳投加量为0.30mg/L。,34,2单因素优选法2.4 分数法-例,分数法与0.618法的区别只是用Fn-1和Fn-2代替0.618和0.382来确定试验点，以后的步骤相同。一旦用Fn-1确定了第一个试验点，则以后根据公式(2-4)确定其余的试验点，也会得出完全一样的试验序列来。,下一点(大小)第一点(前一点),35,2单因素优选法习题1,1. 已知某合成试验的反应温度范围为340-420，通过单因素优选法得到：温度为400时，产品的合成率最高。如果使用的是0.618法，问优选过程是如何进行的，共需做多少次试验。假设在试验范围的合成率是温度的单峰函数。,36,2单因素优选法习题1解答,反应温度范围为340-420，通过单因素优选法得到：温度为400时，产品的合成率最高。 x1 (大小)0.618小 a(ba)0.618 (420340)0.618 340389.44第二步 第（2）个试验点由公式（2-4）计算x2大小第一点420340389.44370.56 X1点好 x3大小前一点420370.56389.44401.12克 如此继续，何时试验结束？试验精度？,37,2单因素优选法2.5 抛物线法,不管是0.618法，还是分数法，都只是比较两个试验结果的好坏，而不考虑试验的实际值，即目标函数值。抛物线法是根据已得的三个试验数据，找到这三点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次试验的根据。,38,2单因素优选法2.5 抛物线法-具体作法,(1) 在三个试验点：x1、x2、x3，且x1x2x3，分别得试验值y1、y2、y3，根据拉格朗日插值法可以得到一个二次函数。 (2) 设上述二次函数在x4取得最大值，这时：,39,2单因素优选法2.5 抛物线法-作法,(3) 在xx4处做试验，得试验结果y4。如果假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由x4给出的，除x4之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近x4的左右两点，将这三点记为x1，x2，x3，此处x1x2x3，若在x1，x2，x3处的函数值分别为y1，y2，y3，则根据这三点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函数的极大点(或它的充分邻近的一个点)被找到为止。,40,2单因素优选法2.5 抛物线法-方法,某离心泵效率与流量之间关系曲线的试验中，已经测得三组数据如下表所示，求流量为多大时，效率最高？看抛物线法做的过程：,41,三个试验点得到一条抛物线,42,该抛物线有一极值点，可根据抛物线方程求出该极值点X座标：X4，该流量处对应效率可能是最大的。,43,在X4对应流量处安排试验，测定其效率。假定测得效率值为78%，即X4流量对应效率最大，则下一步试验？,44,X4对应流量最大，因而取较靠近X4的左右两点，再做抛物线，即以三点(20，75)(24,78)(32,70)做抛物线。求得一极值点。 何时试验结束？,45,2单因素优选法2.5 抛物线法-优点,粗略地说，如果穷举法（在每个试验点上都做试验）需要做n次试验，对于同样的效果，黄金分割法只要数量级lgn次就可以达到，抛物线法，效果更好些，只要数量级lglgn次。原因就在于黄金分割法没有较多地利用函数的性质，做了两次试验，比一比大小，就把它舍掉了，抛物线法则对试验结果进行了数量方面的分析。,46,2单因素优选法2.5 抛物线法-适用范围,抛物线法常常用在0.618法或分数法取得一些数据的情况，这时能收到更好的效果。此外，建议做完了0.618法或分数法的试验后，用最后三个数据按抛物线法求出x4，并计算这个抛物线在点xx4处的数值，预先估计一下在点x4处的试验结果，然后将这个数值与已经试得的最佳值作比较，以此作为是否在点x4处再做一次试验的依据。,47,2单因素优选法习题1,2. 某厂在制作某种饮料时，需要加入白砂糖，为了工人操作和投料的方便，白砂糖的加入以桶为单位，经初步摸索，加入量在3-8桶范围中优选。由于桶数只宜取整数，采用分数法进行单因素优选，优选结果为6桶，试问优选过程是如何进行的。假设在试验范围内试验指标是白砂糖桶数的单峰函数。,48,2单因素优选法习题2,3. 某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，做了初步的试验，结果如下表所示。试利用抛物线法确定下一个试验点。,49,2单因素优选法分批试验法,在生产和科学实验中，为加速试验的进行，常常采用一批同时做几个试验的方法，即分批试验法。若可同时做多个试验，则一次做一个好，还是一次同时做几个好？一个试验后试验范围缩小多少？时间？成本？以下介绍的几种方法同样适用于单峰函数,50,2单因素优选法2.6.1 预给要求法,预给要求法是分批试验的一种方法。如能预先确定总的可能的试验个数(换句话说，知道了试验范围和要求的精密度)，或事先限定试验的批数和每批的个数，就可以采用这种方法。,51,2单因素优选法2.6.1 预给要求法每批做偶数个试验,若只做一批试验，每批两个试验，把试验范围平分3等份，在每个分点上做试验，如下所示： 若做两批试验，每批两个试验，把试验范围分为7等份，在第3、4两点做第一批试验。如第4点好，再做5、6两点；如第3点好，则做1、2两点。,52,2单因素优选法 2.6.1 预给要求法每批做偶数个试验,若做三批试验，每批两个试验，把试验范围分为15等份，在第7、8两点做第一批试验。如第7点好，则把第8点以上的范围划去；如第8点好，则把7点以下的划去，在余下的部分做第二批试验，如下所示： 依此可以推出做更多批数试验的情形来。,53,2单因素优选法 2.6.1 预给要求法每批做偶数个试验,每批做4个、6个或更多个试验的情形原理相同。容易推出，若每批做2k个试验，共作 n 批，则应将试验范围等分 份。第一批试验点是： , , , ， , 。试验结果的精确度是 ，Lba，是试验的长度。,54,2.6.1 预给要求法每批做偶数个试验,画出k=2时，即每批做4个试验时的做法：做1批，即n=1。则将试验范围划分的份数为：做2批，则划分份数为：,55,2单因素优选法2.6.1 预给要求法-例,例2-7 弹片老化处理。某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一，由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题，他们对温度进行优选，试验范围220320，每批做两个试验，只做了三批共6个试验，终于找到最适宜的温度280，解决了生产难点。 ：8点好。：11点好。：10点好，选择10点处的温度。(9-11点范围),56,2单因素优选法2.6.1 预给要求法-例,例2-7 弹片老化处理。某热工仪表厂用青铜制成的弹片是新型动圈仪表的关键零件之一，由于老化处理问题未解决，有时停工待料。为了解决这一问题，他们对温度进行优选，试验范围220320，每批做两个试验，只做了三批共6个试验，终于找到最适宜的温度280，解决了生产难点。 此题与分数法比较：做6次试验，则在分数法中6=7-1，而F7=21，所以可分21等份，最终试验精度分数法要高些。,57,2单因素优选法2.6.2 预给要求法每批奇数个试验,每批做3个试验时，做n批。则分成的等份数为： 按四舍五入处理。如：(1) 只做1批试验，把试验范围平分4等份，在1、2、3处做试验。(2) 只做2批试验，把试验范围平分10等份。在4、5、9处做第一批试验，无论哪点好，下一批只做靠近好点的3个试验。(3) 只做3批试验，把试验范围平分28等份，在10、14、24三点作第一批试验，结果用(2)方法分析。,58,2单因素优选法2.6.2 均分分批试验法,假设每批数目都相同且每批做偶数（2k）个试验第一步把试验范围划成2k1等份，这就有了2k个分点，在各个分点上做第一批试验，比较结果，留下与好点相邻的两段，作为新试验范围。第二批试验，在第一批试验的好点两侧各等距离放上k个点，以后各批都是第二批试验的重复。,59,2单因素优选法2.6.2 均分分批试验法,现以每批四个试验即k2为例，第一批试验的安排是：下图表明了n=2的情形设2/5是好点，第二批是：以后是重复第二批的做法。,60,2单因素优选法2.6.3 比例分割分批试验法,假设每一批做2k+1个试验。第一步：把试验范围划分为2k+2段，相邻两段长度为a和b(ab)，这里有两种排法，一种自左至右先排短段，后排长段；另一种是先长后短。在(2k+1)个分点上做第一批试验，比较结果，在好试验点左右留下一长一短(也有两种情况，长在左短在右，或是短在左长在右)两段，试验范围变成a+b。第二步：把a分成2k+2段，相邻两段为a1、b1(a1b1)，且a1=b，即第一步中短的一段在第二步变成长段。这样不断地做下去，就能找到最佳点。,61,2单因素优选法 2.6.3 比例分割分批试验法,下图表示了k=2的情形，即每批做2k+1=5个试验。,62,2单因素优选法 2.6.3 比例分割分批试验法,这里长短段的比例不是任意的，它与每批试验次数有关。可以证明(见书P49)：把k值代入就能算出两段的比例。,63,2单因素优选法 2.6.3 比例分割分批试验法,当试验范围为（0,1）时，则 例如，当k1时，即每批做3个试验 若试验范围为（0,1），则a0.366，b0.134，于是第一批试验点为0.134、0.500、0.634或0.366、0.500、0.866；第二批试验点由a1b0.134，b10.1340.3660.049推出。,