分层介质中弹性波的传播ppt课件.ppt

第四章分层介质中弹性波的传播,在地震勘探中我们所研究的地球介质，按其物性变化是分层的，具有层状结构。因此，讨论在两种弹性性质不同的介质分界面上波的现象，是十分重要的。 地球表面是一个特殊的分界面、它将无限介质划分为两个半空间。地面以上空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，称为自由表面，其上的应力作用为零。本章中将介绍弹性波在自由表面上的反射、在内部两种不同的弹性介质分界面上的反射和折射以及其它与自由表面和内部分界面相联系的波的现象,41 平面波在自由表面上的反射,一、解题坐标及位函数的选择,研究一个平面波入射到自由表面时的反射问题。如图41 ，取直角坐标系x、y 、z， z0为弹性半无限空间的自由表面，z轴垂直向下，指向介质内部。有一平面波入射到自由表面。设波的射线与y轴垂直 。,这样 波函数将与y轴无关 。包含入射波和反射波射线及界面法线的射线平面与xoz平面重合。,我们知道，位移向量可以分解为梯度场和旋度场两部分。考虑到波函数与 y 轴无关，质点位移分量用位函数表示，式（25）可以写作(x,y,z三个方向的位移)：,(4-1),(2-5),其中位移分量可以分为两组，一是由位移位 和 表示的 、 分量，代表着在xoz平面上质点的振动；另一组是由位移向量位分量 和 表示的位移分量 ，代表着质点在yoz平面上的振动。用 表示 ， 代表在xoz平面传播的纵波，而 代表在xoz 平面传播的横波，它所引起的质点振动发生在垂直平面xoz内。所以称为SV横波。位移分量 是在xoz 平面内传播的横波所引起的在y轴方向上的振动，这种横波称为SH横波。SV和SH两类横波，以其所引起的质点振动方向相区别，称为极化波。,通常,在动力学中分别讨论纵波P和横波SV，以及SH横波。对P和SV波， ， ；对SH波， ， 对前一组波使用标量位函数 和 ， 对后一组波另外引用一个标量位 ，定义如下：,用来表示位移向量位分量 ， 的一个标量函数，可以证明，它将满足横波波动方程：,(4-2),其中 ，为横波传播速度。,(4-3),二、P波和SV波在自由表面上的反射,P和SV波的传播，将引起介质质点在xoz平面的振动。取位移位 和 作为P波和SV波波函数，它们将满足波动方程：,其中 、 分别表示纵波和横波的传播速度。使用分离变量法寻求这两个方程的一般解，形式如下：,其中c是波沿x方向的视速度， 。,(4-4),(4-5),将(4-5)代入式(4-4)中的相应方程，可以得到以z为变量的常微分方程：,它们的解是:,(4-6),(4-7),(4-8),将上式代入式(4-5)将得到 和 的一般解，,其中第一项是沿x的正方向,z负方向传播的简谐波。第二项是沿x正方向,z正方向传播的简谐波。这个简谐波函数可化为其它常见形式。,(4-9),(4-10),分析一下波函数的复合变量。如图42所见， 为入射线。e为出射角，取 为波沿x方向的视速度，KA为波前面，则 为波沿射线的传播速度。在三角形OAK中,将 延长。与OZ相交于B， 为波沿z方向的视速度，,(4-11),(4-12),因此，可有：,其中 为波数； , 为波的入射方向的方向余弦。上式也可以写成：,以式(4-13)或式(4-14)为复合变量的波函数，如图4 -2所见，显然表示的是沿x正方向、z负方向传播的入射波。,(4-13),(4-14),当到自由表面有一个P波和SV波入射时，将产生一个P波和SV波反射波。如图43所示。图中e、f表示P波和SV波到自由表面的出射角，它们的余角id和is，称为波的入射角.由于入射波和反射波,沿分界面ox的视速度相等，即有一个波入射到分界面，就立刻产生反射波，与分界面相联系的各个波的波函数表达式，取其简谐形式解为：,（1）入射P波,（2）入射SV波,（3）反射P波,（4）反射SV波,其中C为各个波沿 方向的视速度。,(4-15),(4-16),(4-17),(4-18),对半空间而言，两个位移位 和 分别为:,其中 ， . 因为其中 、 对各类波是共同参数。通解中包含的未定系数 , , , , 是各个简谐波的振幅,可根据自由表面上的边界条件来确定。,(4-19),(4-20),在自由表面上，从自由空间一侧对半无限弹性介质表面作用力等于零，因而在z0的边界上，正应力 和切应力 应等于零。我们有边界条件：,根据关系式(4-1)以及(1-36)，(1-41 ) ，用位移位 和 表示边界条件(4-21)，(4-22)，经演算可以得到：,（1） （4-21）,（2） （4-22）,（4-23）,（4-24）,讨论P波入射的情况， (画图形)，将 ， 代入边界条件(4-23)、式(4-24)，整理后得到：,使用入射角参数id ，is整理上式，可以得到,其中,求解振幅比 ， 他们称为反射系数,（4-25）,（4-26）,因此，求解方程组(4-26)可以得到：,（4-27）,（4-28）,根据视速度相等,画图说明id 和is 的关系,与自由表明反射系数有关的几个问题,1作为位移振幅比的反射系数,我们已经导出了反射波与入射波的位移位振幅比，这里将计算位移振幅比，以建立两者之间的关系。为此，将入射P波、反射P波和反射SV波位移位 、 、 分别代入式(4-1)，得到各类波相应的位移分量 、 、 ；反射系数等于z0处的反射波与入射波位移的振幅比。位移S根据其分量计算，有关系式如下:,（4-29）,将式(4-15)、式(4-17)、式(4-18)代入式(4-1)，并考虑关系式(4-29)，得到z0处的反射波和入射波振幅比：,因此，位移振幅比等于位移位振幅比乘以相应的波速之比的倒数。,（4-30）,（4-31）,对吗?,2自由表面反射特点,图4-4中以泊松体为例，绘出了自由表面反射系数A2A1，和A4 A1与P波入射角id的关系曲线。,当P波垂直入射到自由表面时，e90。或id= 0。 则有 ， ;表示存在P波反射波，无SV反射波；当P波平行入射到自由面时， e0。或id= 90。 ，同上。,当P波入射角id在090。之间，可以找到使 A2A1为零的两个值，表示以这样的角度入射时，无反射P波存在。对泊松体，两个无反射P波的入射角是60。和77。13，这时介质中存在着转换SV反射波。,3.关于负反射系数的解释,P波入射到自由表面在大多数情况下，反射系数为负。在波垂直入射或平行入射时，反射系数为-1。这时，反射波振幅和入射波振幅符号相反。,也就是说，如果一个入射脉冲头部为极大相位，则经自由表面反射后，其头部应为极小相位。或者说，两个脉冲相位差为180。事实上对时间因子ejwt乘以1，相当于 ，振动相位变化180；反射波与入射波位移方向相反，称为反相位。见右图。,4自由表面反射时各类波的能量关系,根据位移位振幅比可以找出反射波和入射波能量关系。 为此，讨论一个射线束。如图46所示，P波以id角入射到自由表面，产生一个P波反射波，反射角为 id ，以及一个SV波反射波，反射角为is。取一个入射波和反射波射线束，射线束,与自由表面斜交，设其截面为1，则入射波射线束宽,cosid，P波反射波射线束宽为cosid、SV波反射波射线束宽为cosis 。能流密度I(见公式1119)乘以射线束横截面将等于在单位时间内波通过截面积为1的自由表面上的能量。它将等于在同一时间内反射波P和SV波自该段自由表面带走的能量。因此，我们可以列出能量关系：,上式经整理后可以得到：,（4-32）,考虑到关系式，,上式又可改为,根据位移振幅比与位移位振幅比的关系，上式可变换为,利用上面两式，已知P波反射系数就可以计算转换SV波反射系数。或相反，已知PSV转波反射系数可以计算P波反射系数。,(4-33),(4-44),三、SH波在自由表面上的反射,SH波，根据所选坐标系及位函数，此时 研究位函数 ，它满足波动方程(43)。该方程的一般解可以写作：,其中 为波数， 为入射波入射方向的方向余弦。当有一SH波入射到自由表面z0时，则有一个反射SH波产生。如图47所示。,(4-35),写出入射波和反射波的波函数，其形式如下：,1SH入射波：,2SH反射波：,所求解的波函数应满足自由表面上的边界条件。这些条件是作用于自由表面上的应力应等于零。作用于z0面的应力有 ;考虑到SH波的情况，这里只存在：,(4-36),(4-37),(4-38),或者,将式(4-2)代入式(4-39)可得(利用4-3)：,其中考虑到波动方程(43)。这样，在z0时，我们有边界条件：,对整个介质而言， 将式(4-36)、(4-37)代入式(4-41)得：,(4-39),(4-40),(4-41),整理以后可得：,由此可见，SH波在自由表面的反射，其反射系数为1，与入射角无关。且无转换波产生。,4-2 平面波在介质分界面上的反射和透射,设有一个水平面把无限空间分为两部分，各部分介质具有不同的弹性性质，其参数分别为 和 ；在两种介质中，纵波和横波传播速度分别表示为 和 ；今有一纵波P平面波以id角入射到介质分界面。,如图4-8所示，选择直角坐标系，使其y轴与波前面平行，z0平面与介质分界面重合。Z轴垂直向下指向第二介质，入射波P来自z0第一介质，则在第一介质中特产生P1纵波反射波,S1横波SV反射波.,在第二介质中将产生P2纵波透射波、S2横波SV透射波。在这种情况下我们讨论纵波的传播问题，波函数与y轴无关。,一、波函数表达式,为说明解题方法的多样性，我们以位移函数：来求解平面波反射和透射问题。,取一平面简谐波其时间因子为,对于纵波来说，位移方向与波的传播方向一致，对横波来说，位移方向与波的传播方向垂直。设IP为入射波入射方向单位向量，则入射波位移函数表达式为：,(4-43),据惠更斯原理，当P波入射到分界面时，分界面上的每一点都可以看成是二次子波点震源，产生向上半空间z0传播的振动为反射波，而产生向下半空间z0传播的振动为透射波。与入射波一样，反射波和透射波也都将是平面简谐波。如前所述，这类波有四个，即反射波P1和S1，透射波P2和S2。,如图49所示，在分界面z0上确定两个入射点。O和O1，入射波波前面 到达O1 点比到达O点时间要晚一个t；在t 时间间隔内，波前向前传播了一个距离 。若取tT 为一周期，则,为纵波在第一介质中的波长。另一方面，因为 为一个波长,所以O和O1点为两个相同相位点, 也是一个波长。,这不是沿波的传播方向的波长，在这里是沿分界面方向的波长，称之为视波长 。它与波长 的关系是：,由分界面反射的纵波P1，在tT 的时间间隔内，传播距离为 ；透射纵波P2在第二介质中在这个时间间隔内传播的距离是 ，它等于第二介质中纵波的波长 ；对转换波S1、S2也不难作出类似的讨论。如图4-9上的透射横波S2，在tT 时间间隔内传播的距离是 ，是横波在第二介质中的波长。同理，第一介质中横波波长为 ，所有的波沿分界面方向的视波长都等于 ，因而可有关系式：,(4-44),其中id为P波入射角，id、is 为P波、SV波反射角，td、ts为P波、SV波透射波折射角。关系式(4-45)包括了反射定律和折射定律，通常称为斯奈尔定律。考虑到 ，而周期T 对各个波都是相同的。所以斯奈尔定律又经常写成如下形式：,由上两式可以看出，对同类型的反射波，其反射角等于入射角，比如idid ;对转换型反射波和同类型、转换型透射波，其反射角或折射角与入射角正弦之比等于各个波波速之比。,(4-45),(4-46),关系式(4-46)中各项是各个波沿分界面的视速度。因此，斯奈尔定律也可解释为入射波、反射波和透射波沿分界面视速度相等的原理。一个平面波入射到分界面上，各入射点处的入射角是恒定的，由(446)式可知，由此波的反射角和折射角也都一样，这些波的等相位面也是平面的，即都是平面波。 根据以上讨论，反射波和透射波位移函数表达式可以写作： (1)纵波反射波P1：,(2)横波反射波S1 :,(3)纵波透射波：,(4)横波透射波：,其中 为决定于反射波和透射波位移方向的单位向量，而 为反射波和透射波振幅。,(4-47),入射波振幅AP、入射角id以及第一、第二介质中的纵波和横波传播速度vp1、vs1、vp2、vs2是给定值，则借助于关系式(4-46)可以确定反射角和折射角id、 is 、td 、ts 。为了确定方程(4-47)中各个波的位移函数。 要求确定四个振幅系数Ap1、As1、Bp2、Bs2。为此将使用分界面z0的连续边界条件。,二、边界条件,根据分界面连续条件式(227)、式(228)，并考虑到我们所讨论的二维问题，即位移y分量v=0，波函数与y轴无关， 在z=0上应该满足条件： (1)位移连续条件： , (2)应力连续条件： , 根据均匀各向同性完全弹性介质中的虎克定律式(1-74)、式( 1-75)以及关系式(1-36)、式(1-41)，应力连续边界条件可以变为：,(4-48),其中使用了关系： , 为便于将位移函数式(4-43)、式(4-47)代入边界条件方程，定义各个波对应的位移向量如图4-10所示。,(4-49),第一、二介质中的位移分量用带下标的u、w表示，其表达式为：,其中S表示位移向量的大小。将式(4-50)代入式(4-48)、式(4-49),并考虑到在z0， ；公共因子 可以消去，可以得到如下的方程组：,(4-50),其中,波的传播速度与介质密度乘积称为波阻抗。求解方程组(4-51)，通常确定反射波和透射波振幅与入射波振幅之比。,(4-51),佐普里兹（Zoppritz）方程,对反射波有：,对透射波有：,R 称为反射系数，T 称为透射系数；其下标表示波的类型。反射或透射波与入射波同属一个类型，称为同类型波；否则，称为转换波。,(4-52),(4-53),式(4-52)、式(4-53 )中对反射系数和透射系数的定义采用的是两种波的位移振幅比。要转换为位移位振幅比根据关系式(4-30)、式(4-31)中对透射波、转换型反射波要乘以透射波或反射波与入射波的速度比。 将分界面两侧介质的弹性常数和密度的实际数据代入方程组(4-51 ) ，求解反射系数R和透射系数T，表明它们与入射角和介质弹性和密度参数之间存在复杂的依赖关系。 为了分析反射系数、透射系数与入射角和介质参数的关系，通常根据计算结果，绘制反射系数和透射系数曲线图。,图4-11给出了一个入射波由声阻抗大的介质入射到声阻抗小的介质时，其分界面的反射系数和透射系数曲线。,其中,如图4-11中所见，当P波入射角不大时id20-30。反射系数和透射系数变化不大。当入射角较大时，转换波反射系,数和透射系数为极大值、其振幅最大。当入射波垂直或平行入射到分界面时，无波的转换现象发生。,三、全反射现象,根据斯奈尔定律，当vp2vp1时，透射角td总大于入射角id。在id角到某一定值时，透射角td90。，这时的入射角称为临界角，用ip表示：,透射波沿分界面滑行。当第二介质中的横波速度Vs2大于第一介质中的纵波速度Vp1时，对纵波入射波也可以找到另一个临界角is ,此时转换型PS透射波沿分界面滑行。透射波沿界面滑行，这种现象称为全反射。,(4-54),(4-55),当波的入射角超过临界角时，idiP或idis，则 或 显然透射角的正弦将大于1。这种情况只有当td或ts角为一复数时，才有可能。设 ,若 则根据公式(2-89)，可有(根据式2-88):,这时,纵波透射波波函数为:,(4-56),(4-57),其中,公式(4-57)表示的是一个沿x正方向以vP2/chtd” 为速度传播的平面不均匀波，其振幅沿z方向以kshtd”为系数呈指数规律衰减。也就是说，当波的入射角大于临界角时，入射波在第二介质中将引起沿x方向传播的平面不均匀波，认为此时没有波进入第二介质是不准确的。当idis时，转换型P-S透射波也成为平面不均匀波，其性质与P-P透射波相似。,通过计算可以表明，当纵波入射角idiP或idis时，透射系数T和反射系数R将变成复数。 任何一个复数都可以用它的模量和幅角表示。,在这种情况下，可以将透射系数和反射系数表示为：,其中 和 为幅角，是一实数。显然，用复数透射系数或反射系数乘以入射波函数，将使之发生相位畸变。这时，反射波脉冲或透射波脉冲相对入射波脉冲发生了波形改变。,(4-58),四、垂直入射情况讨论,当纵波沿分界面法线方向入射时id0。只产生纵波反射波和透射波，无波的转换现象发生。这时，波的传播问题变为求解一维波动方程。形式如同式(2-57)。对本节所选坐标系，可有：,为求解反射系数Rpp和透射系数Tpp，使用垂直应力 和垂直位移 连续条件。在边界条件方程组中，将id0。代入其中第二、三式,可以得到对一维情况下式(4-59)的边界条件方程组:,(4-59),相对反射系数及Rpp和透射系数Tpp，求解方程组(4-60)，可以得到：,由上两式可知，在波沿法线方向入射到分界面时,将产生反射波和透射波。为了形成反射波，分界面两侧介质波阻抗必须存在着差异。这样的分界面称为反射界面，反射界面也是波阻抗差异分界面。,(4-60),(4-61),(4-62),根据波阻抗差异大小，可以区分强反射界面和弱反射界面。波阻抗差异大，反射系数大，界面反射波强；相反，波阻抗差异小，反射系数小,界面反射波弱。 当波在波阻抗大的分界面 反射时，反射系数为正，这意味着反射波相位与入射波相位相同。例如，在某一瞬间，入射波的压缩带入射到分界面，所发生的反射波也是压缩带；若到达分界面的入射波为疏松带,则在此一瞬间产生的反射波也是疏松带。,相反，当波入射到波阻抗小的分界面时，反射系数为负值。这时反射波相对入射波有180度相位差，称为半波消失现象。在这种情况下，入射波中的压缩带将引起反射波中的疏松带，或入射波中的疏松带将引起反射被中的压缩带。在有的书中把法向入射时的反射系数写作：,与公式(461)相比，其差别在于(463)式推导中考虑了波在反射时其传播方向变化了180。 根据公式(463)，在波的法向入射时，在分界面另一侧产生的透射波，总是与入射波同相位。,(4-63),公式(461)、式(462)是对法向入射情况，id0。,推导的。但实际工作中经常用来分析入射角id不大时的反射和透射间题。如前面已经指出的，在 id 或20。30。时，大多数情况下，反射系数和透射系数随入射角变化不大。,五、平面SH波在两个介质分界面上的反射和透射,如图4-12所示，设有一平面SH波入射到两个介质分界面z0上，产生一个在第一介质z0中传播的反射波和一个在第二介质z0中传播的透射波。xoz平面为射线平面，z轴垂直向下指向第一介质。研究SH波的位函数,图中 为入射波、 为反射波、 为透射波； 为入射角， 为反射角、 为透射角。,根据分界面上各波视速度相等的原理，沿x方向波的视速度为：,我们有,取记号,表示第一或第二介质中横波波数。根据波的方程(4-3)的通解形式，写出各个波的表达式：,(4-64),为确定未知的振幅系数B1、B2、B3，利用z0上的分界面连续条件。这些条件是： (1)位移连续条件：,用 表示位移分量v，可有：将波动方程(4-3)代入，位移连续条件变为：,(4-65),(4-66),(2)应力连续条件：根据关系式(4-40)，上式可以写作： 将 代入边界条件方程(4-67)、(4-68)可以得到：,(4-67),(4-68),(4-49),解此方程组可以得到平面SH波反射系数和透射系数：,对位移位的反射系数和透射系数方程(4-70)、式(4-71)与对位移振幅比的反射系数v1/v2及透射系数v3/v1的关系是：反射系数其数值不变，对透射系数应乘以两介质中波速比倒数的平方。也就是：,(4-70),(4-71),(4-72),整理(4-70)、 (4-71) 、 (4-72) 得：,当SH波垂直入射时， 反射系数和透射系数为：,讨论全反射的情况。当 时，存在一个临界角 当 时、 在这种情况下，,(4-73),其中,将 代入上式，可以得到：,(4-74),当入射角 时，将产生一个不均匀的平面波在第二介质中传播。透射波 沿 方向传播，其振幅在z方向上随|z|增大而呈指数规律衰减。,计算反射系数：,令,分别为实数,则反射系数可表示为：,其中 SH波全反射时，反射系数为一复数，其模量为1，幅角为 ，且与入射角无关。 使用类似的运算，可以计算出SH波大于临界角入射时的透射系数。,(4-75),令 则上式变为：,将透射系数用复指数形式表示，可有：,透射系数的模量为：,幅角为：,根据式(470)，当,(4-76),(4-77),(4-78),(4-79),波全部透射到第二介质中去，在第一介质中无反射波产生。将关系式(4-79)代入式(4-71)，计算这时的透射系数：,而位移振幅比为：,由所讨论的SH波性质及其传播规律看，都比P和SV波简单。地震横波勘探实际工作也表明，SH波记录比较清晰，信噪比高。因此，SH波在地震横波勘探中首先得到应用。,(4-80),(4-81),43 层状介质中的波,在地震波传播的过程中，经常遇到介质的弹性分界面。波场在每个分界面上都要满足边界条件。地球介质一般由多个平行层构成，称为层状介质。在分析层状介质中的波场时，区分厚层和薄层。厚层指的是其厚度远大于一个波长的均匀层；薄层指的是其厚度与波长同属于一个数量级，或小于波长的均匀层。有时在两个半无限均匀介质中间夹有一系列薄层，构成薄层反射层系统。在本章，讨论在多个分界面的层状介质中波的传播。,一、厚层 在厚层情况下，波场可以看成是在各厚层分界面上产生的反射和透射波之和。各个波都满足波动方程。在某一时刻前，当入射波尚没到达厚层分界面时，波如同在均匀介质中一样地传播。当入射波波前到达厚层顶面，从这一时刻开始，产生两个新反射波和两个新透射波。每个波在单独入射到下一个分界面时，又将产生四个新波，依此类推。在每一厚层中的波场可能是无限多数目的单波之和。对任一固定瞬时，单波数目是有限的，但随时间增加，这个数目增加很快。若只考虑震源开始作用后不大的时间段内波的产生和传播，则存在于层状介质中单波的总数是不大的。,值得指出的是，在厚层中由于相邻分界面的时间间隔远大于单波延续时间，是不会形成各个单波相干涉的条件的。在波场记录上，总的波场表现为各个单波按不同时间顺序依次出现的特点。 厚层介质中的波可以用射线图表示其传播路径、类型和特点。在射线与分界面的两个交点之间的射线，称为射线段。滑行波的射线段是沿分界面方向的。在射线图上，每一射线段都用P或S表示沿该射线段传播的波的类型。,在由震源到观测点的传播过程中，在分界面上经受两次以上反射的波称为多次波。以区别于由震源出发，只在其中一个分界面上反射后而到达观测点的单次反射波。多次波的一个特点是同时可以有几个波到达观测点。这几个波经过厚层介质沿不同路程传播，但在每一层中有同样数目的射线段。所有这些波，在观测面上具有相同的波前面。并且可以看成是一个总合的多次反射波。构成总合多次反射波的每个单独的多次波可以具有不同的射线段。,二、薄层 薄层的反射和透射是由在薄层中经受不同次数的反射后所形成的单波叠加而成。每个单波之间的时差及其干涉条件取决于薄层厚度、薄层中波的传播速度及入射波的入射角。反射和透射波波形和频率成分决定于入射波波形和频谱。与两个不同介质分界面不同，薄层对在其中形成的反射波或透射波来说是一个线性滤波器。可用反射频率特性 或透射频率特性 来描述，下标qr为入射波或为薄层形成的新波的类型。这意味着，薄层反射或透射系数都是一个复数，其模量是频率的周期函数，极值对应着波在干涉中的同相叠加或反相叠加。,在一定的条件下，薄层中的波被限制在层内，不易传播到薄层以外，在薄层中形成了波导。有两种边界条件可以产生这种情况，其一是薄层分界面上波阻抗差异大，反射系数接近于1。其二是在高速介质中央有一个低速薄层，当波在两层内到其顶、底两个分界面的入射角大于临界角时，产生全反射现象。全反射导致波的能量主要部分被限制于薄层内。在低速薄层中形成的特殊波动现象，称为槽波。槽波勘探经常应用于煤田地质中，用以探测薄煤层中的断层。,三、平面波在层状介质中的反射和透射 在两个半无限弹性介质中间有一个夹层。该夹层由多个水平层次构成。设有一个平面波自上部介质入射到夹层顶面，则产生一个夹层反射波在上部介质中传播，同时波亦将透过夹层，产生一个在下部介质中传播的透射波。计算夹层反射系数和透射系数。 为简单起见，选择坐标系使其y轴平行于波前面，此时，xoz面为射线平面，z轴垂直夹层，指向第一介质。问题变化为二维问题。取位移位函数 和 ，研究P波和SV波的传播。,如图413所示，夹层由n-1个水平层构成，层序编号为2、3n，上部介质为n+1层，下部介质为1层。各层中纵波和横波波速分别用带下标的 表示，下标为层序号。取x坐标轴与第n层底界面相重合。有一个P、SV波系统自n+1层方向入射到夹层顶面，记纵波入射波为Pe，横波入射波为Se 。,此时，在n+1层中有一纵波反射波Pr，横波反射波Sr；在1层中有纵波透射被Pt和横波透射波St。设纵波和横波到各层入射角为 我们分别写出在上部介质、中间夹层和下部介质中各个波的位函数表达式。 1、上部介质n+1层中各个波位函数表达式，入射纵波为：,取记号,其中,则上式可以写作：,入射横波：,同理可以写出纵波反射波和横波反射波的表达式：,在n+1层介质中总的位移位为：,(4-82),(4-83),(4-85),(4-84),(4-86),(4-87),其中：,c为波沿分界面方向的视速度，根据斯奈尔定律，对分界面上的各个波都是相等的。,(4-88),(4-91),(4-90),(4-89),2、夹层中任意层n中各波位函数表达式如图（413）所示，取ox轴与n层底界重合。层中有来自n+1层的透射波，并入射到n层底面。透射角为 和 ,由于是平行层，与到该层底面的入射角相等。另一方面,引入参数 。 根据斯奈尔定律，它将与n1层中定义的 参数相等。所以 ,c为波沿分界面的视速度。对平行层而言，这个视速度对各个分界面是共同的。此外，为定义波的位函数表达式，还需要参数d和s，这是各个层所特有的参数。,对第n层，有：,这样，在n层中纵波和横波位函数分别为：,(4-92),(4-93),(4-94),(4-95),3、下部介质1层中透射波位函数表达式。 对纵波透射波和横波透射波分别有：,其中,各个层中的波函数在夹层各分界面上应满足分界面连续条件式(2-27)、式(2-28)，并根据边界条件方程来确定反射系数和透射系数。,(4-96),(4-97),为求解多分界面问题，要求使用每个分界面上的边界条件，我们试图建立一个递推公式来表示各个分界面上的位移u、w和应力 。,已知,设n层厚度为h。计算n层中的位移分量和应力分量。取其zh的值，为第n层顶面上的位移和应力分量值，记为 。将式(4-94)、(4-95)代入(4-98)式，可以得到：,(4-98),将 展开，令p=dh，Qsh 可得：,代入(4-99)式，得到：,(4-99),(4-100),同理可得：,将以上结果写成矩阵形式：,(4-101),(4-102),(4-103),(4-104),其中(Bij)表示一个44方阵，具体形式为：,其中,(4-106),另一方面，我们取位移和应力分量在z0处的值，可得n层底面上的位移分量和应力分量。根据分界面位移与应力连续条件，它应与(n1)层顶面的相应值相等，记为 。当z0时，P0，Q0，由矩阵(4-105)可以得到：,(4-106),(n-1)层顶面上的位移与应力分量值可表示为：,由上述公式可以建立起（n）层与（n-1）层顶面得位移分量和应力分量之间的关系。为此，求解方程组（4107）可有：,(4-107),(4-108),其中（bij）表示 的逆矩阵：,(4-109),将（4108）代入（4104）可得:,(4-110),取记号(aij)表示矩阵乘积(Bij)(bij)，同样为44阶方阵，各元素为：,(4-111),其中 分别表示波在层中的入射角，所以有 , 。其它参数，如 为纵波和横波速度。 为介质密度， 为频率， , 。在式(4-110)中建立了(n)层和(n-1)层顶面位移分量和应力分量之间的关系，计算(aij)矩阵元素，在公式(4111)中将使用(n)层的参数数值。为此，在式(4-110)中系数矩阵用上角码(n)表示，可有：,(4-112),我们得到了夹层各分界面上的位移分量和应力分量的递推公式。满足关系式(4112)等价于满足夹层各分界面上的位移与应力连续条件。 为了确定夹层顶面反射波和透过夹层在夹层底面以下传播的透射波振幅系数，根据公式(4-112)建立(n)层顶面和(1)层顶面上的位移分量和应力分量的关系：,(4-113),将式(4-86)、式(4-87)及式(4-96)、式(4-97)代入式(4-113)，得到四个代数方程，求解后可以获得夹层的反射系数次R透射系数T。如果我们讨论纵波入射情况，则式(4-87)中的 ，我们将有：,在一般情况下，它们是入射角、介质参数、夹层中各平行层厚度以及入射波频率的复杂函数。,(4-114),为了展示上述层状介质中弹性波传播的动力学理论的应用，讨论一个简单例子。设两个半无限介质中间有一个厚度为h的固体夹层，试计算该夹层反射系数,和透射系数。 如图411，在1和3中有一薄层。有一纵波自介质3方向垂直入射到该层顶面，将产生一个在介质3中传播的反射波Pr和在介质1中传播的透射波Pt。,根据图4-14中标出的坐标系，各波函数表达式为：,对第3介质有位函数：,对第1介质有位函数：,(4-115),(4-116),(4-117),它们应满足的边界条件，根据式（4113），为：,其中考虑了在垂直入射的情况下， 。将式(4-116)、式(4-117)代入式(4-118)式，在z=0上有:,在z=h上可有:,(4-118),边界条件方程组为：,方程组(4-119)的解就是所求的反射系数和透射系数，它们是:,(4-119),(4-120),(4-121),其中Tpp透射系数取透射波与入射波的位移振幅比。将薄层介质2参数及入射角数据， 代入式(4-111)，可有：,(4-122),将式(4-122)代入式(4-120)，式(4-121)，可得：,当h0时,可以得到纵波垂直入射一个分界面时的反射系数和透射系数：,其结果与公式(4-61)、式(4-62)重合。,(4-123),(4-124),(4-125),4-4 层状介质中的面波 弹性动力学中区分体波和面波。体波是在震源周围空间传播的、在空间任意一点上观测的弹性波。面波是由于介质分界面的存在而产生的、在分界面附近传播并观测的一种弹性波。面波在地震勘探中经常作为一种体波的干扰存在。经常观测到的面波有： 与弹性半空间自由表面相联系的瑞雷面波； 与弹性半空间自由表面上的一个低速薄层相联系的拉夫面波； 与介质内部分界面相联系的斯通利波。,面波干扰严重,随机干扰,面波压制前 (b) 面波压制后 (c)滤除的面波,一、瑞雷面波,设下半空间为弹性介质，其弹性参数为， 密度为 。取直角坐标原点位于弹性半空间自由表面上，且ox轴与该自由面重合，z轴垂直向下，指向介质内部。讨论一个简谐振动，其波函数空间分布与坐标y无关，这是一个平面问题。设介质中无体波传播。要证明，沿自由表面在x方向以VR为速度传播着一种面波，其本身可以看成是两种不均匀的平面波的叠加，即纵波和横波不均匀平面波的叠加。这里提到的波的传播速度VR不是体波传播速度VP或VS ，而是波沿x方向传播的速度。,要建立纵波和横波方程式其解的表达式为：,(2-90),(212),(213),选择波函数的振幅系数，以使这些波沿自由表面的传播速度相等，并确定这个速度值为VR。如同其它边值问题一样，待求系数将根据波函数在自由表面上满足的边界条件解出。 我们寻求方程式(2-12)，式(2-13)的如下形式解：,其中 为平面问题中SV波的位移位函数，VR为纵波和横波不均匀平面波的传播速度。r和s为大于零的常数，表示波的振幅沿z方向衰减的规律。,(4-126),将式(4-126)代入方程式(2-12)和式(2-13)，经过一些变换可以得到：,此处， 为纵波传播速度， 为横波传播速度。,为了确定面波的速度VR，使用自由表面的应力边界条件方程式：,(4-127),用位移位表示之，可有：,(4-128),(4-129),式(4-129)为一线性齐次方程组，若相对a，b有非零解，则系数矩阵的行列式D应等于零：,使用记号：,则式(4130)可改写为：,将式(4-132)取平方，可得相对k的方程式：,(4-130),(4-132),(4-131),(4-133),求解方程式(4133)可以确定参数k，然后已知横波速度 可求瑞雷面波传播速度VR。显然，VR是纵波和横波速度 的函数。可以表明，方程式(4133)在0k1区间具有实根。因此，所讨论的瑞雷波是存在的。计算表明，瑞雷波传播速度 并且在方程式(4133)中无频率参数，速度VR与频率无关，以面波形式传播的振动在传播过程中不受频散畸变。,对泊松体，,代入(4132)，可得：,这个方程有三个实根， ；可用条件式(4-127)检验所得根的合理性。要求s和r均为实数(波才能沿z方向衰减)，否则所得的波将不具备所预期的性质，就不是瑞雷面波了。因此 为合理根， 。,(4-134),我们可以利用质点位移与位移位的关系式：得到由位函数 和 计算瑞雷面波的位移分量u和w，即,(4-135),在对上式作简化之前，我们注意到，根据式(4-129)、(4-131)可得:,(4-136),取 为瑞雷面波的波长，(4-127)式可改写为：,(4-137),将式(4-136)、式(4-137)代入式(4-135)，得到如下的位移分量表达式：,(4-138),将前式中的复指数项用 表示，取其实数项，可有位移分量最终表达式为：,(4-139),标准椭圆方程,瑞雷面波传播时介质质点在垂直平面内振动。沿x和z方向位移相位相差90。，其振幅也不相同。质点在振动过程中沿椭圆轨道旋转。椭圆的主轴是垂直的。在上部，质点沿与波的传播方向相反的方向沿椭圆旋转，约在 的深度上，质点运动轨迹退化为一条线，之后又变为旋转方向相反的椭圆。质点振动振幅随深度呈指数规律衰减。决定衰减速度的系数r和s与波长成反比。因此，瑞雷面波波长越长，它向介质深部穿透越深。,对泊松体，在z0处，瑞雷面波位移分量表达式为：,与它对应的震源位移函数为 。上式描述的质点运动轨迹是一个椭圆，其垂直轴与水平轴之比约为32，质点沿椭圆轨迹旋转方向为逆时针方向，与波的传播方向相反如图415所示.,(4-140),旋转角位移 定义为：,随时间t增加， 角逐渐增加。瑞雷面波速度作为泊松比的函数示于图416。,(4-141),瑞雷面波是一种低速、低频波，其频谱不包含尖锐极值，其频带是宽的，波前形状为圆柱面。对实际介质，在地表附近，特别是地震勘探中的降速带底面附近，介质弹性常数变化急剧，瑞雷速度随波长而改变，具有频散性质、波形也是随着传播距离而变化。 层状介质中的瑞雷波？,实际质点运动轨迹,层状介质中的瑞雷波,(4-126),(4-113),折射波,二、拉夫面波 天然地震观测中有时观测到一种SH型面波，质点振动平面平行于地表面，产生于地表面上覆盖着的低速薄层底面，沿分界面方向传播，其振幅在垂直方向上随z呈指数规律衰减。这种面波称为拉夫面波。地震勘探中使用的震源一般不激发明显的拉夫面波，这种面波对地震勘探是不重要的。但在进行SH横波勘探时，讨论拉夫面波是有意义的。 该面波可以应用在煤矿开采坑道中的煤层勘探，叫槽波勘探。,如图418所示，设弹性半空间z0表面上覆盖着一个有限厚度的弹性层，其厚度为h。弹性半交间表面为z0平面，而弹性层表面zh为自由表面。覆盖层和半无限空间的弹性参数及横波速度分别用 表示。讨论沿x方向传播的SH波。,在SH波传播的情况下，如前面所指的，对所选坐标系，只存在着位移vv(x，z，t)。下面将分别写出在弹性半空间和覆盖层中波函数表达式：,(1)在弹性半空间，z0，