中职数学教学ppt课件：第10章 概率与统计初步.ppt

第十章 概率与统计初步,本章主要学习随机事件的有关概念、概率的定义和计算、常用的几种抽样方法及用样本估计总体等内容.,10.1 计数原理,教学目标（1）准确理解两个原理，弄清它们的区别，培养学生分析问题、理解问题、归纳问题的能力；（2）通过例题让学生理解两个计数原理，并能够将两个技术原理应用到实际问题中去；（3）培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力.,概率的起源,第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作Liber de Ludo Aleae中。书中关于概率的内容是由古尔德从拉丁文翻译出来的。卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如：谁，在什么时候，应该赌博？、为什么亚里斯多德谴责赌博？、那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？等。然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由卡尔达诺提出的问题。卡尔达诺是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。,创设情境兴趣导入,由大连去北京可以乘火车，也可乘汽车，还可以乘飞机,如果一天之内火车有4个班次，汽车有17个班次，飞机有6个,班次，那么，每天由大连去北京有多少种不同的方法？,解决这个问题需要分类进行研究由大连去北京共有三类方案第一类,是乘火车，有4种方法；第二类是乘汽车，有17种方法；第三类是乘飞机，,有6种方法并且，每一种方法都能够完成这件事（从大连到北京）所以,每天从大连到北京的方法共有,创设情境兴趣导入,从唐华、张凤、薛贵3个候选人中，选出2个人分别担,任班长和团支部书记，会有多少种选举结果呢？,动脑思考探索新知,成这件事的方法共有,（种）,上面的计数原理叫做分类计数原理,动脑思考探索新知,一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有,种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成,这件事的方法共有,（种）,上面的计数原理叫做分步计数原理,巩固知识典型例题,例1 三个袋子里分别装有9个红色球2，8个蓝色球和10个,白色球任取出一个球，共有多少种取法？,解 取出一个球，可能是红色球、蓝色球或白色球,由分类计数原理知，不同的取法共有,（种）,巩固知识典型例题,例2旅游中专1304班有男生26人，女生20人，若要选男、,女生各1人作为学生代表参加学校伙食管理委员会，共有多少,种选法？,解这件事可以分成两个步骤完成：,由分步计数原理有,（种）,即共有520种选法,运用知识强化练习,1书架上有7本数学书，6本语文书，4本英语书如果从,书架上任取一本，共有多少种不同取法？,2旅游中专1401班的同学分为三个小组，甲组有10人，乙组,有11人，丙组有9人现要选派1人参加学校的技能竞赛活动，有多少种不,同的方法？,运用知识强化练习,1. 两个袋子中分别装有10个红色球和6个白色球从中,取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？,2. 大连市电话号码为八位数字，问电话86674802 (归属8667支局)所在支局共有多少个电话号码？,运用知识 强化练习,邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒， 共有多少种投法？,解分成三个步骤，每个步骤投一封信，分别均有4种方法,应用分步计数原理，投法共有,（种）,思考:邮政大厅有3个邮筒，现将四封信逐一投入邮筒， 共有多少种投法？,理论升华整体建构,分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能完成这件事（一步不到位）确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成 ,自我反思目标检测,双色球一等奖的概率?(双色球玩法:从33个红球不重复选择6个球,从16个篮球选一个,都选中为一等奖),10.2 概率,教学目标1)能够准确区分三类事件（必然事件、不可能事件、确定性事件）；(2)在具体情境中了解概率的意义；(3)能够熟练地用树形图法或列表法计算某个事件发生的概率；(4)用频率估计概率.,创设情境兴趣导入,观察下列各种现象：,（1）掷一颗骰子，出现的点数是4,（2）掷一枚硬币，正面向上,（3）在一天中的某一时刻，测试某个人的体温为36.8,（4）定点投篮球，第一次就投中篮框,（5）在标准大气压下，将水加热到100时，水沸腾,（6）在标准大气压下，100时，金属铁变为液态,创设情境兴趣导入,在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定,会出现哪种结果的现象叫做随机现象(偶然现象),在一定条件下，必然发生或者必然不发生的现象叫确定性现象.,通常使用试验和观察的方法来研究随机现象，这类试验和观察，事先可以,预测到可能会发生的各种结果，但是无法预测发生的确切结果在相同的条件,下，试验和观察可以重复进行我们把这类试验和观察叫做随机试验试验的,结果叫做随机事件，简称事件，常用英文大写字母A、B、C等表示,在描述一个事件的时候，采用加花括号的方式如抛掷一枚硬币，出现正,创设情境兴趣导入,任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数事件A点数是1 ，,由于“点数不超过2”包括“点数是1”和“点数是2”两种情况事,件C可以用事件A和事件B来进行描绘即事件C总是伴随着事件A,或事件B的发生而发生,巩固知识典型例题,例设在100件商品中有3件次品,A 随机抽取1件是次品 ；B 随机抽取4件都是,次品 ；C 随机抽取10件有正品指出其中的必然事,件及不可能事件,解由于100件商品中含有3件次品，随机地抽取1件，可能是次品，,也可能是正品；随机地抽取4件，全是次品是不可能的；随机地抽取10,件，其中含有正品是必然的,因此，事件B是不可能事件，事件C是必然事件,动脑思考探索新知,作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不能再分的最简单的随机,事件，叫做基本事件可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件,运用知识强化练习,1掷一颗骰子，观察掷出的点数，指出下列事件中的基本事件和复合事件：,（1）A点数是1 ； （2）B点数是3 ；,（3）C点数是5 ； （4）D点数是奇数 ,2请举出生活中某一个随机试验的基本事件和复合事件,创设情境兴趣导入,反复抛掷一枚硬币，观察并记录抛掷的次数与硬币出现正面向上的次数,动脑思考探索新知,在抛掷一枚硬币的试验中，观察事件A=出现正面发生的,频率，当试验的次数较少时，很难找到什么规律，但是，如果,试验次数增多，情况就不同了前人抛掷硬币试验的一些结果如下表所示：,从表中可以看出，当抛掷次数n很大时，事件A发生的频率总落在0.5附近,这说明事件A发生的频率具有稳定性，常数0.5就是事件A发生的频率的稳定值,可以用它来描述事件A发生的可能性大小，从而认识事件A发生的规律,动脑思考探索新知,一般地，当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率,总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个常数叫做事件A发,生的概率，记作P(A).,由此得到事件的概率具有下列性质：,我们通常是通过频率的计算来估计概率并利用事件A的概率P(A)来描述,试验中事件A发生的可能性,巩固知识典型例题,例2连续抽检了某车间一周内的产品，结果如下表所示（精确到0.001）：,求：（1）星期五该厂生产的产品是次品的频率为多少？,（2） 本周内，该厂生产的产品是次品的概率为多少？,解 （1）记A= 生产的产品是次品 ，则事件A发生的频率为,即星期五该厂生产的产品是次品的频率约为0.091,（2）本周内生产的产品是次品的概率约为0.100,运用知识强化练习,某市工商局要了解经营人员对工商执法人员的满意程度,进行了5次“问卷调查”，结果如下表所示：,（1）计算表中的各个频率；,（2）经营人员对工商局执法人员满意的概率P(A)约是多少？,理论升华整体建构,一般地，当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率,总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个常数叫做事件A发,生的概率，记作P(A).,自我反思目标检测,自我反思目标检测,请举出生活中某一个随机实验的基本事件和复合事件,10.3 直方图与频率分步,教学目标（1）能进行样本的频率分布直方图中的有关计算，进而解决一些简单的实际问题；（2）会用样本的频率分布估计总体分布，理解用样本估计总体的思想,问题2：(2013惠州调研)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40,50)，50,60)，90,100后得到如图所示的频率分布直方图,(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在40,50)与90,100两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率,解：(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02a0.0250.01)1，解得a0.03.(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 110(0.0050.01)0.85.由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544.,(3)成绩在40,50)分数段内的人数为400.052，成绩在90,100分数段内的人数为400.14，则记在40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在90,100分数段内的同学为B1，B2，B3，B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种如果2名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在40,50)分数段内，另一个成绩在90,100分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)共7种取法，所以所求概率为P7/15.,小结：用样本估计总体，列举法求古典概型的概率.,变式练习2.为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，并将本次竞赛的成绩(得分均为整数，满分100分)整理，制成下表：,(1)作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；(2)若从成绩在40,50)中选一名学生，从成绩在90,100中选2名学生，共3名学生召开座谈会，求40,50)组中学生A1和90,100组中学生B1同时被选中的概率,解：(1)由题意可知，各组频率分别为 0.04,0.06,0.28,0.30,0.24,0.08，所以图中各组的纵坐标分别为：0.004,0.006,0.028,0.030,0.024,0.008，则被抽查学生成绩的频率分布直方图如图所示：,(2)记40,50)组中的学生为A1，A2，90,100组中的学生为B1，B2，B3，B4，A1和B1同时被选中记为事件M.由题意可得，全部的基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，A1B2B3，A1B2B4，A1B3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4，共12个，事件M包含的基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，共3个，所以学生A1和B1同时被选中的概率P(M)3/121/4.,小结：作频率分布直方图的步骤：(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图,反思小结：1. 频率分布直方图中(1) 各小长方形的面积之和为1.(2) 纵轴表示频率/组距,故每组样本的频率为组距频率/组距，即矩形的面积 (3) 每组样本的频数=频率总体数 2.利用样本的频率分布估计总体分布. 列举法求古典概型的概率. 3.作频率分布直方图的步骤：(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图,10.4 总体、样本与抽样的方法,教学目标（1）理解总体、样本和随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法；(2)通过本次课的学习培养学生的逻辑思维能力;（3）培养学生从具体到抽象的思维方法，形成正确的认知观.,引入,下列调查，采用的是普查还是抽查？为什么？ 为了防治H1N1流感的蔓延，学生每天晨检2.了解中央电视台春节文艺晚会的收视率3. 测试灯泡的寿命.,新授,情境一：某校高中学生有900人，校医务室想对全校高中学生的身高情况做一次调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象你能帮医务室设计一个抽取方案吗？,总体：我们一般把所考察对象的某一数值指标的 全体作为总体个体：构成总体的每一个元素作为个体样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫样本 样本容量：样本中所包含的个体数量叫样本容量,说出这次调查中的总体、个体、样本和样本容量分别是什么,新授,情境二：在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次民意测验，调查兰顿和罗斯福谁将当选下一届总统为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表（注意在1936年电话和汽车只有少数富人拥有），通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜,实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜其数据如下：,为什么实际选举结果与预测相反？,新授,问题：如何抽样才能正确估计总体？, 抽样时要保证每一个个体都可能被抽到；,满足这样条件的抽样就是随机抽样, 每一个个体被抽到的机会是均等的.,新授,情境三：一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球作为样本问题1：每次抽取时各小球被抽到的可能性是否相等？,一般地，从元素个数为 N 的总体中不放回地抽取容量为 n 的样本 (n N) ，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样这样抽取的样本，叫做简单随机样本,问题2：第一次抽取，第二次抽取，第三次抽取时每个小球被抽到的可能性各为多少？,方案：将这100支日光灯管编号；把这100个号分别写在相同的100张纸片上；将100张纸片放在一个箱子中搅匀；按要求随机抽取号签，并记录；将编号与号签一致的个体抽出,例：从一个100支日光灯管的总体中，用不放回的方法抽取10支日光灯管构成一个简单随机样本,新授, 抽签法：,编号制签,搅拌均匀,逐个不放回抽取,步骤：,3000支,100支,？,定义：一般地，将总体中的N个个体编号，并把号码分别写在号签上，再将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，不放回的连续抽取 n 次，就得到一个容量为 n 的样本，这样的抽样方法就叫抽签法,（2）随机数表法,制作一个表，其中每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表,新授,例：要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子作为样本进行试验,第一步，先将850颗种子编号，可以编为001,002， ，850,由于需要编号，如果总体中的个体数太多，采用随机表法进行抽样就显得不太方便了,所谓编号，实际上是编数字号码不要编号成：0，1，2，850,第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，例如从第1行第1列的数4开始 .,为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置,新授,第三步，获取样本号码,给出的随机数表中是5个数一组，我们使用各个5位数组的前3位，不大于850且不与前面重复的取出，否则就跳过不取，如此下去直到得出50个三位数,48628 50089 38155 69882 27761 73903 53014 98720 41571 7941353666 08912 48395 32616 34905 63640 57931 72328 49195 1769900620 79613 29901 92364 38659 64526 20236 29793 09063 9939898246 18957 91965 13529 97168 97299 68402 68378 89201 6787101114 19048 00895 91770 95934 31491 72529 39980 45750 1415541410 51595 89983 82330 96809 93877 92818 84875 45938 4849030009 18573 58934 35285 14684 35260 44253 64517 66128 1458564687 84771 97114 93908 65570 33972 15539 31126 56349 8221578379 70304 75649 86829 28720 57275 10695 25678 60880 1560331238 95419 34708 07892 34373 25823 60086 33523 39773 75483,新授,随机数表法抽样的一般步骤：编号；在随机数表上确定起始位置；取数,归纳小结,编号制签；搅拌均匀；逐个不放回抽取,适用于总体个数不多，所抽取的样本个数也不多的情形,编号；在随机数表上确定起始位置；取数,适用于总体个数较多，所抽取的样本个数不多的情形,10.5 用样本估计总体,教学目标(1)通过实例体会分布的意义和作用；(2)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图. 通过实例体会频率分布直方图的特征；(3)会根据具体的样本特征，选择合适的方式来表示样本分布.,引入,例：为了知道一颗钻石的质量，用天平进行了多次测量，从中随机抽取5个结果为(单位：mg)： 201， 203， 201， 205， 204， 如何用这5个测量结果较为准确地估计出这颗钻石的质量？,新授,1用样本平均数估计总体平均数,例1 假设我要去一家公司应聘，了解到这家公司50名员工的月工资资料如下（单位：元）： 800 800 800 800 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 2000 2000 2000 2000 2000 2500 2500 2500问题：计算这50名员工的月平均工资数，并估计这个企业员工的平均工资问题2：再随机抽取50名员工的工资，计算所得的样本平均数与例1中的一定相同吗？,新授,问题1：计算这50名员工的月平均工资数，并估计这个企业员工的平均工资,由此可以估计这家大型企业员工的月平均工资为1320元,问题2：再随机抽取50名员工的工资，计算所得的样本平均数与例1中的一定相同吗？,分析：不一定用样本平均数估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值,小结：平均数描述了数据的平均水平，定量的反映了数据的集中趋势所处的水平，样本平均数是估计总体的一个重要指标,新授,例2 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两个人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,(2)比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛,(1)计算甲、乙两人射击命中环数的平均数,新授,解：计算得,问题1：计算甲、乙两人射击命中环数的平均数,问题2：比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛,分析：两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个人的水平有什么差异吗?,新授,设样本的元素为x1，x2，xn，样本的平均数为,定义：,其中s2表示样本方差，s 表示样本标准差,2用样本标准差估计总体标准差,新授,解：,xi,5,7,7,8,10,11,8,8,8,8,8,8,xi,3,1,1,0,2,3,(xi )2,9,9,1,1,0,4,例3 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差,新授,计算标准差的步骤：S1 算出样本数据的平均数S2 算出每个样本数据与样本平均数的差S3 算出S2中每个数据的平方S4 算出S3中各平方数的平均数，即样本方差S5 计算S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差,小 结,计算例2中两人射击环数的标准差，观察标准差的大小与总体稳定程度的关系,新授,由此看出，甲射击环数的标准差大，离散程度大，成绩不稳定；乙射击环数的标准差小，离散程度较小，成绩比甲稳定一些，可以选择乙参赛,计算得: s甲1.73, s乙1.10.,例2 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两个人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7(2)比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛,新授,例4 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机抽取10只进行寿命测试，得数据如下（单位：）： 1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496使用函数型计算器求样本平均数和样本标准差.,解：,注意：我们可以用算出的样本标准差s78.7309342 来估计这批灯泡寿命的变化幅度的大小但是，如果再抽取10只，算得的标准差一般会不同，即样本标准差具有随机性,新授,例5 求10.3.2节从一批产品中抽取的100个钢管内径尺寸的样本标准差，并估计这批产品的标准差,解：按照下面的算法求样本数据的标准差,用样本标准差可以估计这批产品的总体标准差0.056也就是每件产品对于平均数的平均波动幅度是0.056左右,(1)样本数据的平均值：,(2)100个产品尺寸与平均值差的平方和：,(3)样本标准差：,新授,3平均数与样本标准差和频率分布直方图的关系,平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点.例如：,平均数,标准差描述了一组数据围绕平均数值的波动幅度例如：,平均数,有70%的刚管内径尺寸落在平均值两侧一倍的标准差的区域内,有95%的刚管内径尺寸落在平均值两侧二倍的标准差的区域内,新授,方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离它用来描述样本数据的离散程度在实际应用中，标准差常被理解为稳定性,标准差越大，则a越大，数据的离散程度越大；反之，数据的离散程度越小,归纳小结,样本平均数的计算；用样本平均数估计总体平均数的方法；样本方差和样本标准差的计算；用样本标准差估计总体标准差的方法；样本频率直方图、样本平均数、样本标准差三种方法估计总体的差异,10.6 一元线性回归,教学目标（1）了解样本、样本容量、线性回归的概念；（2）理解变量之间的相关系数的概念、相关系数、一元线性回归直线等概念.,复习,1正方形面积 S 与边长 x 之间的关系：,2人的身高不能确定体重，但平均说来“身高者，体也重”那么身高和体重具有什么关系？,3类似的情况生活中是否还有？(1)商品销售收入与广告支出经费；(2)粮食产量与施肥量,相关关系,新授,相关关系与函数关系的异同点：,通常把研究两个变量间的相关关系叫一元线性回归分析,均是指两个变量的关系,不确定性的随机变量相关关系,确定性的函数关系,新授,例1在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y 与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表：,观察表中数据的变化趋势在直角坐标系内作出图象观察图象中的点有什么特点？,新授,观察表中数据的变化趋势,由表中数据看出，Y有随x增加而增加的趋势，但它们之间的这种关系无法用函数式准确表达，是一种相关关系,例1 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y 与腐蚀时间x之间的一组观察值如下表：,在直角坐标系内作出图象,结论：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图,观察图象中的点有什么特点？,所有散点大致分布在图中画出的一条直线的附近,新授,这样的直线可以画多少条呢？,哪一条最能代表变量x与Y之间的关系呢？,则式叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数,显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与Y之间的关系，这条,新授,新授,用公式来求例1中腐蚀深度 Y 对腐蚀时间x的回归直线方程,回归系数 b0.304 ，它的意义是：腐蚀时间 x 每增加一个单位，深度 Y 平均增加 0.304 个单位,由左表算得，x 的平均数为 ， y 的平均数为 ，代入公式得：b 0.304336 ，a 5.34即所求回归直线方程为：,新授,例2 设对变量 x，Y 有如下观察数据：,使用函数型计算器求Y对x的回归直线方程(结果保留到小数点后三位数字),归纳小结,计算xi与yi的积，求,计算 ；,写出回归方程 ,将结果代入公式求 a；,求回归直线方程的步骤：,计算平均数 与 ；,用 求 b ；,