多边形的内角和与外角和(第课时)课件.pptx
八年级数学下 新课标北师,第六章 平行四边形,多边形的内角和与外角和（第1课时）,八年级数学下 新课标北师第六章 平行四边形,学 习 新 知,问题思考,3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗?与同伴交流.,1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定,上一节又研究了三角形的中位线定理,现在请同学们回忆一下,三角形的内角和是多少度?,2.四边形的内角和呢?四边形的内角和是怎么得到的?,学 习 新 知问题思考3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,多边形的内角和,1.三角形的内角和是多少度?你是怎么得出的?,用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数,再求和.拼角:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起,可组成一个平角.,2.四边形的内角和是多少?你又是怎样得出的?,度量; 拼角;将四边形转化成三角形求内角和.,3.在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法,你认为哪种方法好?请讲述你的理由.,度量法:不精确;拼角法:操作不方便;当多边形边数n较大时,度量法、拼角法都不可取.第三种方法:精确、省事且有理论根据.,多边形的内角和1.三角形的内角和是多少度?你是怎么得出的?,4.根据四边形的内角和的求法,你能否求出五边形的内角和呢?,方法1:如图(1)所示,连接AD,AC,五边形的内角和为:3180=540.,方法2:如图(2)所示,连接AC,则五边形的内角和为:360+180=540.,4.根据四边形的内角和的求法,你能否求出五边形的内角和呢?方,方法3:如图(3)所示,在AB上任取一点F,连接FC,FD,FE,则五边形的内角和为:4180-180=540.,方法4:如图(4)所示,在五边形内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:5180-360=540.,D,方法3:如图(3)所示,在AB上任取一点F,连接FC,FD,方法5:如图(5)所示,在AB上任取一点F,连接FD,则五边形的内角和为:2360-180=540.,方法6:如图(6)所示,在五边形外任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:4180-180=540.,方法5:如图(5)所示,在AB上任取一点F,连接FD,则五边,5.小组合作,完成下面的表格.,0,1,2,3,n-3,1,2,3,4,n-2,180,360,540,720,(n-2) 180,6.从表格中你发现了什么规律?,n边形的内角和等于(n-2)180.,5.小组合作,完成下面的表格.n边形 图形,正多边形,(1)想一想:观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点?,正多边形的定义:在平面内,每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形.,(2)议一议:一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗?一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗?,(3)练一练:正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度?正n边形的内角是多少度?一个正多边形的一个内角是150,求它的边数.,正多边形(1)想一想:观察图中的多边形,它们的边、角有什么特,正三角形的内角为 =60.正四边形(正方形)的内角为 =90.正五边形的内角为 =108.正六边形的内角为 =120.正八边形的内角为 =135., =150 ,解得n=12,所以这个多边形的边数为12.,正n边形的内角是 .,正三角形的内角为,(4)议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.,剪的位置不同,剩下的多边形的形状也不同,多边形的内角和也不同,需分类讨论.纸片剩下5个角时,得到的五边形的内角和为(5-2)180=540.纸片剩下4个角时,得到的四边形的内角和为(4-2)180=360.纸片剩下3个角时,得到的三角形的内角和为180.,(4)议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角,(教材例1)如图所示,在四边形ABCD中,A+C=180.B与D有怎样的关系?,解析本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题.,解:A+B+C+D=(4-2)180=360,B+D=360-(A+C)=360-180=180.这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.,(教材例1)如图所示,在四边形ABCD中,A+C=180,知识拓展多边形内角和定理的补充证法:,证法一:在多边形外取一点P,与多边形各顶点相连接,这样点P与各顶点构成n个三角形.选择适当的P点,使得其中仅有两个三角形在多边形外部,如图(1)所示.则n边形的内角和等于用n个三角形内角和(n180)减去PA4A5,PA4A3两个三角形内角之和(360),结果是(n-2)180.,知识拓展多边形内角和定理的补充证法:证法一:在多边形外,证法二:如果没有两条边相互平行,则过A3,A4,A5,An分别作A1A2的平行线,如图(2)所示.则可得到(n-3)对同旁内角,如图中A1与1,A2与2,3与4等;还有两对内错角,如图所示的6与5,7与8.因此,n边形的内角和等于(n-3)对同旁内角加上一个平角,即(n-2)180.,如果有两条边相互平行,不妨设AmAm+1A2A3,以A6A7A2A3为例画图,则过除A2,A3,A6,A7外的各顶点分别作A2A3的平行线,如图(3)所示.则图中共有(n-2)对同旁内角,如A2与1,2与A3,5与6等.也可得到n边形的内角和为(n-2)180.,证法二:如果没有两条边相互平行,则过A3,A4,A5,A,检测反馈,1.一个多边形的内角和是720,这个多边形的边数是()A.4B.5C.6D.7,解析:(n-2)180=720,解得n=6.故选C.,C,2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和()A.增加180B.增加360C.减少360D.不变,解析:(n-2+1)180-(n-2)180=180.故选A.,A,3.一个多边形的内角和为1440,则它是边形.,解析:(n-2)180=1440,解得n=10.故填十.,十,检测反馈1.一个多边形的内角和是720,这个多边形的边数是,解:设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,5x.五边形的内角和为(5-2)180=540,13x+11x+9x+7x+5x=540.解得x=12.最大角为13x=156,最小角为5x=60.,4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是1311975,求这五个内角中的最大角和最小角.,解析:设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,5x,再根据五边形的内角和为(5-2)180=540列方程求解.,解:设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,
