一元函数积分学及其应用ppt课件.ppt

一元函数积分学及其应用,第 三 章,主讲 武忠祥,西安交大经典考题（爱情）,第一节 不定积分,第二节 定 积 分,第三节 定积分应用,第四节 反常积分,第五节 几类简单的微分方程,第一节 不定积分,1两个概念: 1）原函数：,2）不定积分：,2基本积分公式：,3三种主要积分法,1）第一类换元法（凑微分法）,若,2）第二类换元法：,3）分部积分法,“适用两类不同函数相乘”,【例1】,【解】,例 题 选 讲,【例2 】,【解1】 令,则,【解2】,【例3】 设,为,的原函数，且当,时，,已知,求,【解1】 由,【解2】,1. 定义：,2.可积性：,1）必要条件：,有界；,2）充分条件：,连续或仅有有限个第一类间断点；,3.计算：,1),2）换元法,3）分部积分法,4）利用奇偶性，周期性,5）利用公式,第二节 定 积 分,4 变上限积分：,上连续，则,在,上可导且,变上限求导的三个类型：,5。性质：,1) 不等式：,(1) 若,则,（2) 若,在,上连续，则,（3),2) 中值定理：,（1） 若,在,上连续，则,（2） 若,在,上连续，,不变号，则,【例 1】,【例2】,【例3】,例 题 选 讲,一、定积分计算,【例4 】,【解 】,【例5】设,计算,【解1】,【解2】,【例6】 计算定积分,【解】 令,则,原式,【例7】 已知,连续，,的值.,【解】 令,得,从而有,令,得：,【例1】求极限,【解】 原式=,二、与定积分有关的综合题,【解】 令,则,则 原式=,【例2】 求极限,原式,【例3】 求极限,【解】,【例4】 求极限,【解】 原式,【例5】设函数,连续，且,求极限,【解】,原式=,【例6】 设,连续,令,1) 试证曲线,在,上是凹的.,2) 当,为何值时,取得最小值.,3) 若,的最小值可表示为,试求,【解】1),2) 令,得,又,在,取最小值.,3),又,则,从而,【例7 】设,在,上连续,且,求证:,使,【证】 只要证明,令,则,由罗尔定理知,使,即,【例8】 (2012,1,14) 设,在,上可导,且满足,证明：存在,使,【证】令,使,【例9】设,在,上连续，在,内可导，且,试证存在两个不同的点,使得,【例10】设函数,在,上有连续一阶导数，且,试证至少存在一点,使,【证1】由拉格朗日中值定理得,又,在,上连续，则必有其最大值,和最小值,则,【证2】令,则,由积分中值定理得，,使得,由罗尔定理得，,使得,【例11】 (2009,1,19) 设,试证存在,使,【证1】由Taylor定理得,由,得,【例12】设,在,上具有二阶连续导数，且,证明：,【证明】,【例13】设,在,上可导,且,求证:,【证】 令,令,【例14】 设,在,上有连续导数,且,求证:,【证】,一。几何应用;,1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）,2体积：,1）已知横截面面积的体积,2）旋转体的体积,二物理应用,1.压力；,3.引力。,2.变力做功；,第三节 定积分应用,【例1】 过原点作曲线,的切线,及,轴围成平面域为,1）求,的面积,2）求,分别绕,【解】 1) 设过原点的切线为,则,由此得,2）,该切线与曲线,旋转一周所得旋转体体积,轴和,【例2】一容器的内侧是由曲线,绕,曲面,其容积为,其中盛满水,器的顶部抽出,至少需做多少功?,【解】 设容器深度为,当,时，,当,时，,（长度单位：,重力加速度为,水的密度,）,轴旋转而成的,若将容器中的水从容,第四节 反常积分,1无限区间,3）若,和,都收敛，则称,收敛。,常用结论：,2.无界函数,设,为,的无界点，,常用结论：,【例1 】计算,【解】 原式,例 题 选 讲,一、反常积分计算,【例2】 求证:,并求其值.,【解】,原式,【例1】 判定反常积分,的敛散性.,二、反常积分敛散性判定,1一阶方程,1）可分离变量,2）齐次,3）线性,通解：,2. 可降阶方程:,2),1),3),第五节 几类简单的微分方程,4) Bernoulli,【例1】 求解下列一阶微分方程,5) 求方程,满足条件,的特解.,的通解为,4）方程,解 应填,例 题 选 讲,【例2】设,连续,且满足,求,【解】,从而有,【例3】设,在,上有定义，,对任意的,求,【解】,【例4】 设对任意,曲线,上点,处的切线在,轴上的截距等于,求,【解】,令,得，,【例5】设,二阶可导,且,.过,上任意点,作该曲线的切线及,上述二直线与,轴所围三角形面积记为,区间,上以,为曲边的曲边梯形面积记为,且,轴的垂线,求,【解】 设切线方程为,则它与,轴交点为,