二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件.ppt

2022/11/17,1,二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,2022/11/17,2,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二阶常系数非齐次线性方程,2022/11/17,3,设非齐方程特解为,代入原方程,一、 型,2022/11/17,4,2.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = Pn(x),其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式.,当原方程 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；,当 q = 0，但 p 0 时，,k 取 1；,当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.,因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设 式的特解为,其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式，,2022/11/17,5,例 5求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解.,解因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 .,所以设特解为,2022/11/17,6,比较两端 x 同次幂的系数，有,解得,A = 1，B = 4，C = 6.,故所求特解为,2022/11/17,7,例 6求方程 y + y = x3 x + 1 的一个特解.,解因为自由项 f (x) = x3 x + 1 是一个 x 的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.,所以设方程的特解为,2022/11/17,8,比较两端 x 同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2022/11/17,9,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,2022/11/17,10,特别地,2022/11/17,11,2022/11/17,12,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例2,2022/11/17,13,解,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,例3 写出微分方程,的待定特解的形式.,2022/11/17,14,利用欧拉公式,2022/11/17,15,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,2022/11/17,16,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例4,2022/11/17,17,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例5,2022/11/17,18,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,2022/11/17,19,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例6,2022/11/17,20,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,