专题七二次函数特殊四边形的存在性问题ppt课件.ppt

专题七 二次函数综合题,类型三特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2),【方法指导】平行四边形的判定,矩形、菱形的判定方法参照中平行四边形的判定,典例精讲,例已知抛物线yax2bxc经过点A (1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点(1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴；,例题图,【思维教练】要求抛物线的解析式，需将A，B，C三点坐标代入yax2bxc中，解方程组即可；把抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标和对称轴,解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入yax2bxc中，得 ，解得 ，抛物线的解析式为yx24x3.把yx24x3化成顶点式为y(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x2；,(2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由；,例题图,【思维教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CDAB，再设法证明ABCD即可,解：四边形ABDC是平行四边形理由如下：D点在抛物线的对称轴上，CDx轴，D点的横坐标为2，即CD2，A (1，0)，B(3，0)，AB2，ABCD，又CDAB，四边形ABDC是平行四边形；,(3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点H的坐标；,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H，由于OC的长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等，据此可求出点H的坐标,解：存在，如解图，设直线BC的解析式为ykxb(k0)，将点B(3，0)，C(0，3)代入可得： ，解得 ，直线BC的解析式为yx3.点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成的四边形是以OC为边的平行四边形，GHx轴，GHOC，设G点坐标为(n，n3)，H点坐标为(n，n24n3)，,例题解图,GHOC3，GH|n24n3(n3)|n23n|3，当n23n3时，解得n ；当n23n3时，方程无解；当n 时，n24n3 ；当n 时，n24n3 .综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为( ， )或( ， ) ；,例题解图,(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论：当AB为边时，则MNAB，且MNAB，据此可求出点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从而确定点N的坐标,解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边)，如解图，()当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m24m3)，则点M的坐标为(m2，m5)，四边形ABNM是平行四边形，m24m3m5，解得m ，当m 时，m24m3 ；当m 时，m24m3 .点N的坐标为( ， )或( ， ) ；,例题解图,()当点M在点N的右边时，设点N的坐标为(m，m24m3)，则点M的坐标为(m2，m1)，四边形ABMN是平行四边形，m24m3m1，解得m1或2，当m1时，点N与点A重合，故舍去；当m2时，m24m31，点N的坐标为(2，1)；,当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图，AB与MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJNJBJMJ，设M(m，m3)，N(n，n24n3)，则有 2，m3n24n30，整理，得n23n20，解得n11(舍去)，n22，N点坐标为(2，1)综上所述，点N的坐标为( ， ) ， ( ， ) ，(2，1)；,例题解图,(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点，点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如果存在，请求出点P的坐标；,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点P，由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定，则CK为菱形的边，故利用KPCK上下平移直线BC，与抛物线对称轴的交点即为所求点P.,解：存在理由如下：K点的坐标为(2，1)，CK ，假如存在这样的点P，使得四边形CKPQ为菱形，则KPCK2 ，如解图，当点P在点K的下方时，点P1的坐标为(2，12 )，当点P在点K的上方时，点P2的坐标为(2，12 )点P的坐标为(2，12 )或(2，12 )；,例题解图,(6)若点R是抛物线对称轴上一点，点S是平面直角坐标系内任一点，是否存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形？若存在，求出点R、S的坐标,例题图,【思维教练】先假设存在满足条件的点R、S，要使四边形BCRS为矩形，则点R在直线BC上方，且BCR90，可通过寻找相似三角形利用相似求出点R，再根据矩形性质求出点S.,解：存在，如解图，要使四边形BCRS为矩形，抛物线对称轴交x轴于点T，则BCR90，CRKTBK， ，由(5)知，K(2，1)，CK2 ，T(2，0)，TK1，BK ，RK 4，R(2，5)，CBRS，CBRS，根据点平移及矩形性质可得S(5，2)故存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形，且点R、S的坐标分别为R(2，5)，S(5，2),例题解图,针对演练,解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc，将对称轴和A、B两点的坐标代入抛物线解析式，得 ，解得 ，抛物线的解析式为y x2 x4，配方，得y (x )2 ，顶点坐标为( ， )； (2)设E点坐标为(x， x2 x4)，S2 OAyE6( x2 x4)，即S4x228x24；,(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即4x228x2424，化简，得x27x120，解得x3或4，当x3时，EOEA，则平行四边形OEAF为菱形；当x4时，EOEA，则平行四边形OEAF不为菱形平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形,解：(1)C1与C2关于y轴对称，C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，a1，n3，C1的对称轴为x1，C2的对称轴为x1，m2，C1：yx22x3，C2：yx22x3；(2)令C2中y0，则x22x30，解得x13，x21，点A在点B左侧，A(3，0)，B(1，0)；(3)存在如解图，设P(a，b)，,第2题解图,四边形ABPQ是平行四边形，PQAB4，Q(a4，b)或(a4，b)当Q(a4，b)时，得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34435，P1(2，5)，Q1(2，5)；当Q(a4，b)时，得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2，ba22a34433.P2(2，3)，Q2(2，3)综上所述,所求点的坐标为P1(2，5),Q1(2，5)或P2(2，3)，Q2(2，3),类型四相似三角形的存在性问题(铜仁2018.25(3)【方法指导】ABC与DEF相似，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了,另外，如果不满足以上两种情况，但可以确定已知三角形的形状(特征)时，先确定动态三角形中固定的因素，看是否与已知三角形中有相等的角，若存在，根据分类讨论列比例关系式求解；已知条件中有一条对应边，只需要讨论另外两条边的对应关系，列比例关系式求解；若可得相似三角形的某个对应角的度数时，分类讨论另外两个角的对应情况，列比例关系式求解,典例精讲,例如图，抛物线图象交x轴于A、B两点，且点A位于x轴的正半轴，点B位于x轴的负半轴，且OA ，OB3 .抛物线交y轴于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；,例题图,【思维教练】要求抛物线的解析式，已知OA，OB 的长度，可知点A、B的坐标，再结合点C的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式,解：OA ，点A在x轴的正半轴，A( ，0)，OB3 ，点B在x轴的负半轴，B(3 ，0)，设抛物线的解析式为：yax2bxc，将点A( ，0)，B(3 ，0)，C(0，3)代入，得 ，解得 ，即此抛物线的解析式为y x2 x3；,(2)连接AC、BC，则在坐标轴上是否存在一点D，使得ABCACD(点D不与点B重合)，若存在，请求出点D坐标；,例题图,【思维教练】要在坐标轴上找一点D，使得ABCACD，由(1)知A、B、C三点坐标，可判断出ABC为直角三角形，则可知ACD必是直角三角形且点D对应直角顶点，根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标,解：存在，如解图，tanOCA ，OCA30，tanBCO ，BCO60，ACB90，ABC为直角三角形，ABCACD，且点D在坐标轴上，由题易知，AB4 ，AC2 ，BC6， ，即 ，CD3，C(0，3)，D(0，0)；,例题解图,(3)设抛物线的对称轴分别交抛物线，x轴于点E，F，在x轴上是否存在一点G(不与点F重合)，使得AEF与AEG相似，若存在，请求出点G坐标；,【思维教练】要使AEF与AEG相似，因为AEF为直角三角形，需考虑AEG中哪个角为直角的情况：当点G在x轴上时，分AEFAGE和AEFAEG两种情况,例题图,解：存在，AEF是直角三角形，且AEF与AEG相似，AEG也是直角三角形，点G在x轴上，分两种情况讨论：当AGEAEF时，由(1)知A( ，0)，E( ，4)，EF4，AF2 ，根据勾股定理，得AE2 ， ，AE2AGAF，解得AG ，OGAGOA ，即G( ，0)；当AEFAEG时，点F与点G重合，综上所述，G点坐标为( ，0) ；,(4)直线AC与抛物线的对称轴交于M点，在y轴上是否存在一点N，使得AOC与MNC相似，若存在，请求出点N坐标；,例题图,【思维教练】要使AOC与MNC相似，因为ACOMCN，则需考虑AOC90这个直角与哪个角对应，从而分以下两种情况讨论：AOCMNC，AOCNMC，根据对应边成比例计算出点N的坐标,解：存在，设直线AC的解析式为ykxb，将A( ，0)，C(0，3)代入，直线AC的解析式为y x3，易知AC2 ，又抛物线对称轴为x ，将x 代入y x3中，得y6，M( ，6)，又C(0，3)，MC .分以下两种情况讨论：,()如解图，过点M作MNy轴于点N，此时AOCMNC，则此时，点N与点M纵坐标相等，N(0，6)；,例题解图,()如解图，过点M作MNAC 于点M，此时AOCNMC， ，即 ，NC4，则ONOCNC7，N(0，7)综上所述：满足要求的点N的坐标为(0，6)或(0，7)；,例题解图,(5)在抛物线上是否存在点P，使AOC与ACP相似若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由,例题图,【思维教练】要使AOC与ACP相似，因为AOC是直角三角形，而ACP中三个内角均可能为直角，故需分三种情况讨论，在每种情况之下，求出对应点，再看求出的点是否满足三角形相似的条件,解：存在，AOC是直角三角形，AOC与ACP相似，ACP也是直角三角形，分以下三种情况讨论：()如解图，当点P与点B重合，即ACP90时，AOCACB，CAOBAC，AOCACB，此时，点P的坐标为(3 ，0)；,例题解图,()如解图，当CAP90时，AC2AP2CP2，设点P坐标为(x， x2 x3)，A( ，0)，C(0，3)，AC2( )23212，AP2(x )2( x2 x3)2，CP2x2(3 x2 x3)2，即12(x )2( x2 x3)2x2(3 x2 x3)2，解得x 或4 .当x 时y0，点P与点A重合，故舍去，P(4 ，5)；,例题解图,AP . ， 2， ， ， ， .AOC与ACP不相似，P(4 ，5)(舍去)；()如解图，当CPA90时，以AC为直径作圆，此圆过点O、A、C，不与抛物线有其他交点，则不存在符合要求的点P.综上所述：满足条件的点P的坐标为(3 ，0),例题解图,针对演练,1. (2018乌鲁木齐)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2bxc经过点A(2，0)，B(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PDBC，垂足为点D.是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；当PDC与COA相似时，求点P的坐标,第1题图,解：(1)将A(2，0)，B(8，0)代入y x2bxc得，抛物线解析式为：y x2 x4；,在RtPDE中，PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE，当线段PE最长时，PD的长度最大设P(t， t2 t4)，点E在直线BC上，且点E，G的横坐标与点P的横坐标相等，E(t， t4)，G(t，0)，即PG t2 t4，EG t4，PEPGEG t22t (t4)24(0t8)，当t4时，PE有最大值4，此时点P坐标为(4，6)，即当P点坐标为(4，6)时，PD的长度最大，最大值为 PE 4,由A(2，0)，B(8，0)，C(0，4)，易知AB2BC2AC2，则ACB90，OCBOCA90，OCBOBC90，OCAOBC，AOCCOB90，COABOC.当RtPDC与RtCOA相似时，就有RtPDC与RtBOC相似，相似三角形对应角相等，PCDCBO，或PCDBCO，,()若PCDCBO(RtPDCRtCOBRtAOC)，此时有CPOB，C(0，4)，P点的纵坐标为4， x2 x44，解得x16，或x20(舍)，即RtPDCRtCOB时，P(6，4)；,()若PCDBCO(RtPDCRtBOCRtCOA)，如解图，过点P作x轴的垂线，垂足为点G，与直线BC交于点F，PFOC，PFCBCO，PCDPFC，PFPC，,设P(n， n2 n4)，由题意可得n0，同，可知PF n22n，如解图，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，在RtPNC中，PC2PN2NC2n2( n2 n4)42 n4 n3 n2，PFPC，PF2PC2，即( n22n)2 n4 n3 n2，解得n3或n0(舍去)，即RtPDCRtBOC时，P(3， )；当PDC与COA相似时，点P的坐标为(6，4)或(3， ),第1题解图,2. (2018常德)如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)，A(8，4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x3.(1)求该二次函数的解析式；(2)若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；(3)P是x轴上的点，过P作PQx轴，与抛物线交于Q，过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标,第2题图,解：(1)设二次函数的解析式为ya(x3)2h(a0)，将O(0，0)、A(8，4)代入解析式，得 二次函数的解析式为y (x3)2 ，即y x2 x；,(2)O、B两点关于x3对称，B(6，0)，设点M的坐标为(m，0)(0m6)，设直线AB的解析式为yk1xb1，直线AB的解析式为y2x12，易得直线OA的解析式为y x，MNAB，设MN的解析式为y2xb2，,把M(m，0)代入得b22m，直线MN的解析式y2x2m，SANMSAOMSNOM，SAOM m4，SNOM m m，SANM m22m(0m6)，当m 3时，SANM有最大值为SANM 32233；当ANM面积最大时，点M的坐标为(3，0)；,(3)设P(t，0)，则Q(t， t2 t)，OP|t|，PQ| t2 t|，A(8，4)，ACx轴，OC8，AC4，OPQOCA90，以O、P、Q为顶点的三角形与以O、C、A为顶点的三角形相似有如下两种情况：,当OPQOCA时，解得t18，t24，t30(舍去)；当OPQACO时，解得t114，t22，t30(舍去)，综上所述，P点的坐标为(2，0)或(4，0)或(8，0)或(14，0),类型五全等三角形的存在性问题(铜仁2017.25(2)【方法指导】全等的两个三角形，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了,典例精讲,例(2017铜仁25(1)(2)如图，抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(0，2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三点不在同一直线上)(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；,例题图,【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达式，通过解方程组，可得到b，c的值,解：将点A(1，0)，B(0，2)代入yx2bxc中，得 ，解得 ，二次函数表达式为yx2x2；,(2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得MP1P2与MCB全等，并求出P1、P2的坐标,【思维教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线的对称性，分两种情况：分别作B、C点关于对称轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；作BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点,例题图,解：令yx2x20，得x11，x22，所以点C的坐标为(2，0)易得抛物线对称轴为x ，如解图，取点C关于对称轴l的对称点A，点B关于对称轴l的对称点为B(1，2)，则当点P1，P2与A，B重合时，有MP1P2与MBC全等，此时，P1(1，0)，P2(1，2),例题解图,过点M作MP1BC，交抛物线于点P1，如解图，若MP1CCBM，则MP1CB.四边形MBCP1为平行四边形，xMxBxP1xC； xMxBxC 02 .将x 代入yx2x2中，得y ，P1( ， )，此时P2与C点重合，P1 ( ， ) ，P2(2，0)综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(1，0)，P2(1，2)；P1 ( ， ) ，P2(2，0),例题解图,针对演练,1. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxc与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)直线yxn与抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE4EC.求n的值；连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF与CGD是否全等？请说明理由,第1题图,解：(1)抛物线y x2bxc与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，将A(1，0)，B(2，0)代入抛物线解析式可得 ，解得 ，该抛物线的解析式为y x2 x3；,(2) 如解图，过点E作EEx轴于点E，EEOC， ，BE4CE，BE4OE，设点E的坐标为(x，y)，OEx，BE4x.点B坐标为(2，0)，OB2，x4x2，x ，抛物线y x2 x3与y轴交于点C，当x0时，y3，C(0，3),第1题解图,设直线BC的解析式为ykxb1，B(2，0)，C(0，3)，将B、C两点代入解析式，得 ，解得k ，直线BC的解析式为y x3.当x 时，代入直线BC的解析式，得y ，E( ， )点E在直线yxn上， n ，n2；,全等；理由如下：直线EF的解析式为yx2，当y0时，x2，F(2，0)，OF2.A(1，0)，OA1，AF1，抛物线与直线yx2相交于点D，联立方程，得 ，解得 或 .点D在第四象限，点D的坐标为(1，3),点C的坐标为(0，3)，CDx轴，CD1，AFGCDG，FAGDCG，CDAF1，AGFCGD(ASA),2. 如图，一次函数y x2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y x2bxc经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒(1)求此抛物线的表达式；(2)求当APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；(3)点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，APQ的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得APTAPO？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由,第2题图,解：(1)把x0代入y x2中，得y2.把y0代入y x2中，得x2 .A(2 ，0)，B(0，2)，把A(2 ，0)，B(0，2)分别代入y x2bxc中，得b ，c2，抛物线的表达式为y x2 x2；,(2)OA2 ，OB2，由勾股定理，得AB 4，BAO30.运动t秒后，AQt，BP2t.由APQ为等腰三角形，有QAQP，APAQ，PAPQ三种情况，,当QPQA时，如解图，过点Q作QDAB于点D，则D为AP的中点在RtADQ中，QD AQ t，ADPD AQ t，AP t，BPAPAB，2t t4.解得t84 ；,第2题解图,当APAQ时，()若点P在x轴上方的直线AB上，APt，BP2t，BPAPAB，t2t4，解得t .()若点P在x轴下方的直线AB上，APBPABAQ，2t4t，解得t4；,当PAPQ时，如解图，过点P作PEAO于点E.则AE AQ t，在RtPEA中，PE AE t.AP2PE t.BPAPAB，2t t4.解得t .综上所述，当APQ为等腰三角形时，t的值为84 或 或4或 ；,第2题解图,(3)如解图，过点P作PFAO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT.PF为APQ底边AQ上的高AP42t，BAO30，PF AP2t.SAPQ AQPF t(2t) (t1)2 .当t1时，APQ的面积最大此时点P为AB的中点，且P( ，1)连接OP，则OPAPBP，点P( ，1)，点T的横坐标为 ，,第2题解图,将x 代入抛物线的解析式，得y3.TPOP2.在RtTFA中，由勾股定理可知：TA2 ，AOTA.APTAPO.存在点T，使APTAPO，点T的坐标为( ，3),类型六切线问题(遵义2015.27(3)；铜仁2015.23(3)【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：已知直线与圆相切的相关计算；已知直线与圆相切，求直线解析式对这两种问题，一般解题方法如下：已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对称轴与圆的位置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可确定；若已知圆与直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方程求出点坐标，得到直线解析式,典例精讲,例如图，抛物线与x轴交于点A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)(1)求抛物线的解析式；【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式，将C(0，2)代入即可得解,例题图,解：抛物线过点A(4，0)，B(2，0)，设抛物线解析式为：ya(x4)(x2)，把C(0，2)代入，得2a4(2)，即a ，所求抛物线的解析式为y (x4)(x2) x2 x2；,(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D三点为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积； 【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示出ACD的面积，且由题意知yD0，将ACD拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角形求解,例题图,解：依题意可设D(x， x2 x2)(4x0)，如解图，连接AC，过点D作DFx轴交AC于点F，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，将点A(4，0)，C(0，2)代入，得 ，解得 ，直线AC的解析式为y x2，F(x， x2)，,SADCSADFSCDF (xDxA)(yDyF) (xCxD)(yDyF) (xCxA)(yDyF) 4( x2 x2 x2) x22x (x2)22， 0，4x0，当x2时，SADC有最大值，最大值为2，此时D(2，2)；,例题解图,(3)以AB为直径作M，直线l经过点E(1，5)，并且与M相切，求直线l的解析式【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标，设切点为F，由题可得圆心点M坐标、半径长，点M与E为平行于y轴的直线上的两点，有切点，故构造直角三角形是解题切入点，由于过圆外一点存在两条圆的切线，故此题有两种情况,例题图,解：如解图，以AB为直径作M，且由解图易知，存在两条过点E且与M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，MQ，AB6，以AB为直径的M的半径为3，即M(1，0)，设切点Q坐标为(m，n)，且m0，MQEQ，ME5，MQ3，由勾股定理得EQ 4， ，解得 或 (舍去)，点Q( ， )，同理可得点P( ， )，,例题解图,设直线l1和直线l2的解析式分别为y1k1xb1，y2k2xb2，则 ，解得 ； ，解得 .直线l1、l2的解析式分别是y1 x ，y2 x .直线l的解析式是y x 或y x .,针对演练,1. 如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE .(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是ACD的外接圆的切线,第1题图,(1)解：抛物线的解析式为yax2bx3，对称轴为直线x1，x 1，即b2a，点A(3，0)在抛物线上，9a3b30，联立得 ，解得 ，抛物线的解析式为yx22x3.当x1时，y1234，顶点D的坐标为(1，4)；,(2)证明：点C是抛物线yx22x3与y轴的交点，点C的坐标为(0，3)，AC3 ，CD ，AD2 ，AC2CD2AD2，ACD是直角三角形，且ACD90，AD是ACD外接圆的直径如解图，过点E作EFCD于点F，tanECD 1，ECD45，EFCF CE ，,第1题解图,CD ，DFCDCF ，tanEDF ，tanCAD tanCDE，CADCDE，CDECDACDACAD90，即EDA90，DE是ADC的外接圆的切线,2. 如图，抛物线yax2bxc(c0)经过x轴上的两点A(x1，0)、B(x2，0)和y轴上的点C(0， )，P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b a，AB2 .(1)求抛物线的解析式；(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；(3)设直线BD交P于另一点E，求经过点E的P的切线的解析式,第2题图,解：(1)y轴上的点C(0， )，c ，由题意知，b a，AB2 ，令ax2 ax 0，|x1x2|2 ，解得a ，b ；抛物线的解析式是：y x2 x ；,(2)直线BD经过圆心P.理由如下：由(1)知对称轴为x ，D( ， )，,令 x2 x 0，得x1 ，x2 ，即A( ，0)，B( ，0)，则直线BD的解析式为y x ，如解图，连接BP，设P的半径为R，根据勾股定理知BP2OB2OP2，R2( )2( R)2，解得R1，则OPOCR 1 ，P(0， )，点P的坐标满足直线BD的解析式y x .直线BD经过圆心P；,第2题解图,(3)如解图，过点E作EFy轴于点F，得OPBFPE，E( ，1)，设经过E点P的切线L交y轴于点Q.则PEQ90，EFPQ，PE2PEPQ，PQ2，Q(0， )，P的切线的解析式为y x .,