《计算电磁学》第五讲ppt课件.ppt
2022年11月16日6时11分,第五讲 吸收边界条件,Dr. Ping Du(杜平),E-mail: ,HeFei University of Technology,2022年11月16日6时11分,为何要用吸收边界条件？,由于计算机内存空间有限，让我们的分析区域不能无限大，必须在某处截断。另外，即使内存空间很大，也必须在某处截断。因为大的分析空间就意味着巨大的计算时间。从节省计算时间的角度考虑，也必须截断。,2022年11月16日6时11分,有哪些吸收边界条件？, 基于Sommerfeld辐射条件的Bayliss-Turkel吸收边界条件；, 基于单向波动方程的Engquist-Majda吸收边界条件(1977年)；, Mur吸收边界条件(1981) ；, Trefethen-Halpern近似展开(1986), Higdon算子；,2022年11月16日6时11分, 利用差值技术的廖氏吸收边界条件,廖氏吸收边界条件比Mur二阶吸收边界条件在网格外边界引起的反射要小一个数量级(20dB)，对外向波传播角度或数值色散均不敏感，并且在矩形计算区域的角点处也易于实现。,M. Moghaddam, R. L. Wagner和W. C. Chew (周永祖) 曾指出，如果采用单精度计算，可能导致使用廖氏吸收边界条件的FDTD算法不稳定，而采用双精度则可改善稳定性。, Mei-Fang超吸收边界条件(1992) ；, PML完全匹配层,2022年11月16日6时11分,Engquist-Majda吸收边界条件,考虑二维情形时的齐次波动方程，,(5-1),其中U为标量场分量，c为波的相速度。定义偏微分算子,(5-2),于是方程(5-1)可写为,(5-3),2022年11月16日6时11分,算子L还可以通过因式分解写为,(5-4),其中，,(5-5),(5-6),(5-7),2022年11月16日6时11分,在网格边界，如x=0处，将算子 作用于波函数将完全吸收以任意角度 入射到边界的平面波，即将,(5-8),用于图1中的边界x=0，可构成一个准确的解析吸收边界条件。它将吸收来自区域内的波。,图1 二维吸收边界条件Fig.1. Two-dimensional ABC.,2022年11月16日6时11分,相似地，算子 作用于波函数，将构成x=a处的准确吸收边界条件。,对式(5-5)和(5-6)中根式的处理，可以用Taylor级数展开。,将,在s=0附近展开为Taylor级数，,(5-9),当s很小时，只取一项，,(5-10),2022年11月16日6时11分,将(5-10)代入(5-5)中，有,(5-11),将其代入(5-8)，可得,这就是所分析区域左侧边界x=0的一阶近似吸收边界条件。,(5-12),2022年11月16日6时11分,将(5-9)中的级数取两项，有,(5-13),Substitution (5-13) in (5-5) yields,(5-14),2022年11月16日6时11分,Substituting (5-14) in (5-8) has,这就是所分析区域左侧边界x=0的二阶近似吸收边界条件。,对于图1中的其他边界，相应的二阶近似解析吸收边界条件为,，x=a边界（右边界）,(5-15),(5-16),2022年11月16日6时11分,，y=0边界（下边界）,，y=b边界（上边界）,(5-17),(5-18),考虑三维情形时的齐次波动方程，,(5-19),2022年11月16日6时11分,此时，偏微分算子,将L分解为,和,得到与(5)和(6)相同的准确吸收边界条件算子。,不同的是，s为,(5-20),(5-21),2022年11月16日6时11分,算子作用于波函数U，将在网格左边界x=0处准确地吸收以任意角度入射到边界的平面波。,利用Taylor级数近似展开式(5-10)，可得到x=0处的一阶吸收边界条件，其形式与(5-12)相同。,利用Taylor级数近似展开式(5-13)，可得到x=0处的二阶吸收边界条件。其表达式为,(5-22),2022年11月16日6时11分,两边同乘以 ，得,(5-23),当s很小时，(5-23)是准确吸收边界条件 的很好近似。,对于其他网格边界相应的二阶近似解析吸收边界条件为,，x=a边界,(5-24),2022年11月16日6时11分,，y=0边界,，y=b边界,，z=0边界,(5-25),(5-26),(5-27),，z=h边界,(5-28),对于矢量Maxwell方程的FDTD仿真，近似吸收边界条件(5-23)-(5-28)中的U表示位于网格边界上的E和H的各个切向分量。,2022年11月16日6时11分,Mur差分格式,对于上述一阶、二阶近似解析吸收边界条件，Mur提出了一种简单有效的差分数值算法。利用它们来截断FDTD仿真区域，总体虚假反射在1%-5%。,以一阶情形，x=0边界为例。在,处、,时刻,用中点差分来代替式(5-12)中的偏微分，得,(5-29),2022年11月16日6时11分,(5-30),其中半网格点和半时间步长时刻的值，可用下列二阶精度的平均公式计算,(5-31),(5-32),2022年11月16日6时11分,Substituting (5-31), (5-32) in (5-29), (5-30) and (5-12), after the manipulation, gets,(5-33),这就是Mur一阶吸收边界条件(Murs 1st order ABC)。,下面推导Mur二阶吸收边界条件。仍旧以x=0边界为例，如图2所示。,2022年11月16日6时11分,图2 Mur吸收边界条件 Fig. 2. Murs 2nd ABC.,图中,表示位于x=0网格边界的E或H的切向分量。,2022年11月16日6时11分,具体为，在距离网格边界半步长的辅助网格点,，对,分量,将(5-23)中的偏微分用中心差分来代替。,将式中关于x、t的偏导用中心差分格式写为,(5-34),2022年11月16日6时11分,将该式对时间t的偏导数写为相邻两点(0, j)和(1, j)处对时间偏导的平均， 其表达式为,(5-35),2022年11月16日6时11分,(3) 将该式对y的偏导数写为相邻两点(0, j)和(1, j)处对y偏导的平均， 其表达式为,(5-36),(4) Substituting (5-34)-(5-36) in (5-23), one can obtain,.,Thus, the 2nd ABC at x=0 boundary can be got, which is,2022年11月16日6时11分,(5-37),2022年11月16日6时11分,对于三维情形，考虑x=0边界。,从式(5-23)出发，此时前面的网格图2位于,网格平面，,在距离边界半个步长的辅助网格点 处，对分量,用中点差分代替(5-23)中的偏导运算。,偏导,、,和,与式(5-34)-(5-36)相同。只是在,平面进行计算。,2022年11月16日6时11分,偏导 可表达为在(0, j, k)和(1, j, k)处对z的偏导的平均值，其为,(5-38),将这些差分表达式代入式(5-23)，解出 就得到三维情形下W分量在x=0网格边界出的二阶吸收边界条件,2022年11月16日6时11分,(5-39),2022年11月16日6时11分,问题：边界反射系数与入射角的关系。,葛德彪、闫玉波电磁波时域有限差分方法一书给出了Mur近似边界条件的反射系数。,(5-40),Mur二阶近似边界条件时的反射系数：,Mur一阶近似边界条件时的反射系数：,(5-41),其中 为入射角,2022年11月16日6时11分,反射系数的绝对值与入射角的关系，如图3所示。.,图3 反射系数的绝对值与入射角的关系Fig. 3. Relation between the reflection coefficient and the incident angle.,2022年11月16日6时11分,完全匹配层(Perfect Matched Layer, PML),1994年，Berenger提出了完全匹配层来吸收外向电磁波,1996年,Gedney提出用单轴各向异性材料实现PML以吸收外向电磁波(UPML),非Maxwell方程的，物理机制模糊(缺点),电磁场分量的分裂增加了数值实现的难度、计算机内存消耗(缺点),FDTD模拟的最大动态范围达到80dB (优点),与Berenger提出的PML在数学上是等效的,理论体系是Maxwell方程的,便于理解和高效数值实现, 既可吸收传播模，也能同时吸收凋落模。 初始Berenger的PML难以完成的,2022年11月16日6时11分,(To be continued),
