近世代数ppt课件（全）近世代数1 0 基本概念.ppt
2022/11/15,近世代数绪论,初等代数、线性代数、高等代数都称为,近世代数（modern algebra）也称为,经典代数（classical algebra），研究的对,象是代数方程和线性方程组。,抽象代数（abstract algebra），研究的,对象是代数系统 （带有封闭运算的集合）。,2022/11/15,学习近世代数的意义,由于近世代数在数学的其他分支、近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而它是现代科学技术的数学基础之一，是许多科技人员需要掌握的基本内容和方法，因此近世代数也是数学专业的专业基础课之一。,2022/11/15,几个有趣的应用实例,1.项链问题2.分子结构的计数问题3.正多面体着色问题4.图的构造与计数问题5.开关线路的构造与计数问题6.数字通信的可靠性问题7.几何作图问题8.代数方程根式求解问题,2022/11/15,1.项链问题,问题的提法：用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？,这里所说的不同类型的项链，指两个,项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。,2022/11/15,数学上的确切描述,设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。,沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有n种选择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有nm种。,但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。,2022/11/15,例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链,利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。,随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难，采用群论方法解决是最简单、有效的方法。,2022/11/15,2.分子结构的计数问题,在化学中研究由某几种元素可合成多少种不同物质的问题，由此可以指导人们在大自然中寻找或人工合成这些物质。,例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团，问可能形成多少种不同的化合物？,如果假定苯环上相邻C原子之间的键是互相等价的，则此问题就是两种颜色6颗珠子的项链问题。,2022/11/15,3.正面体着色问题,对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进,下面以六面体为例说明此问题的数学描述。,例3 用n种颜色对六面体的面着色，问有多,首先建立此问题的数学模型，将问题中的一些概念给以量化：,少种不同的着色方法？,行着色，问有多少种不同的着色方法？,2022/11/15,设n种颜色的集合为 A=a1 ，a2 ， an,正六面体的面集合为 B=b1 ，b2 ， b3 ， b4 ， b5 ， b6,，反之，每一个映射对应一种着色法。由乘法原理，全部着色法的总数为n6，但这样的着色法与面的编号有关，其中有些着色法可适当旋转正六面体使它们完全重合，称它们本质相同，我们要求本质不同的着色法的数目。,2022/11/15,两种颜色 （红、绿） n=2,利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。,对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。,1,1,2,2,2,1,1,2022/11/15,4.图的构造与计数问题,图论的一些基本概念： 设V=v1, v2,vn称为顶点集（vertex set）,E是由V的一些2元子集构成的集合，称为边集（edge set） ，则有序对(V,E)称为一个图(graph)，记作G=(V,E)。,作图：每一个顶点用圆圈表示，对边集中的每一个元素i，j用一条直线或曲线连接顶点i与j，顶点的位置及边的长短，形状均无关紧要。,2022/11/15,例如,设V=1,2,10,E=1,2,2,3,3,4,4,5,1,5,1,6,2,7,3,8,4,9,5,10,6,8,7,9,8,10,6,9,7,10,图G=(V,E)为,此图为图论中有名的彼得松（Petersen）图,2022/11/15,例4 画出所有点数为3的图,G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,故可形成8个图。如果不考虑点号，有些图可以完全重合，这样的图称它们是同构的。例如G2G3 G4是同构的。可以看出这8个图中共有4个互不同构的图。,问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？,2022/11/15,5.开关线路的构造与计数问题,一个有两种状态的电子元件称为一个开关，例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通。,问题：用n个开关可以构造出多少种不同的开关线路？,首先必须对此问题建立一个数学模型，然后用适当的数学工具来解决它。,2022/11/15,我们用n个变量x1， x2， xn代表n个开关，每一个变量xi的取值只能是0或1，代表开关的两个状态。开关线路的状态也用一个变量f来表示，f的取值也是0或1，代表开关线路的两个状态。f是x1， x2， xn的函数，称f为开关函数，记作 f(x1， x2， xn),2022/11/15,f的定义域AAA中的元素个数为2n，f在每个元素上的取值有两种可能，所以全部开关函数的数目为22n，这也就是n个开关的开关线路的数目。,如果不考虑开关的标号，则若开关线路结构完全相同，称这些开关线路是本质相同的。要进一步解决本质上不同的开关线路的数目问题，必须用群论的方法。,2022/11/15,6. 数字通信的可靠性问题,现代通信中用数字代表信息，用电子设备进行发送、传递和接收，并用计算机加以处理。由于信息量大，在通信过程中难免会出现错误。为了减少错误，除了改进设备外，还可以从信息的表示方法上想办法。用数字表示信息的方法称为编码。编码学就是一门研究高效编码方法的学科。 下面用两个简单的例子来说明检错码与纠错码的概念。,2022/11/15,例5 简单检错码奇偶性检错码,设用6位二进制码来表示26个英文字母，其中前5位顺序表示字母，第6位做检错用，当前5位的数码中1的个数为奇数时，第6位取1，否则第6位是0。这样编出的码中1的个数始终是偶数个。例如，A：000011 B：000101 C：000110D：001001 用这种码传递信息时可检查错误。当接收方收到的码中含有奇数个1时，则可断定该信息是错的，可要求发送者重发。因而，同样的设备，用这种编码方法可提高通信的准确度。,2022/11/15,例6 简单纠错码重复码,设用3位二进制重复码表示A，B两个字母如下： A：000 B：111则接收的一方对收到的信息码不管其中是否有错，均可译码如下：000 001 010 011 100 101 110 111A A A B A B B B这就意味着，对其中的错误信息做了纠正。 利用近世代数的方法可得到更高效的检错码与纠错码。,2022/11/15,7. 几何作图问题,古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用圆规和直尺能做出哪些图形？ 而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上做记号。为什么会提出这样的问题呢？ 一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。,2022/11/15,历史上（困扰人们很久）的著名问题：,二倍立方体问题：作一个立方体使其体积为一已知立方体体积的两倍。 三等分任意角问题：给定一个任意角，将其三等分。 圆化方问题：给定一个圆（已知半径为r ），作一个正方形使其面积等于已知圆的面积。 n等分一个圆周。 这些问题直到近世代数理论出现后才得到完全的解决。,2022/11/15,8. 代数方程根式求解问题,我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题：五次以上代数方程没有根式解。,2022/11/15,伽罗华（variste Galois，公元1811年公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他第三次送交科学院的论文被泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年。,2022/11/15,伽利略死后，直到19世纪末期，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。 这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。,2022/11/15,学习内容,第一章 基本概念第二章 群论第三章 环与域第四章 整环里的因子分解,
