近世代数ppt课件（全）3 4 理想与商环.ppt

2022/11/15,近世代数,第三章 环与域 4 理想、商环,2022/11/15,一、理想的定义与判别,定义1 设,为环,为,的非空子集.,满足:,则称,的一个理想.,如果,为,由定义可知,理想一定是子环.,与,本身都是,理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.,的理想.这两个,吸收律,子群,2022/11/15,的不等于它自身的理想(如果有的话),的真理想.,除环只有零理想与单位理想.,称为,2022/11/15,例 1,试求,的所有理想.,的全部子群为：,为,的理想.,的全部理想为,解,由此知,2022/11/15,二、理想的运算,定义 2 设,为环,为,的理想.,分别称为理想,的和与交.,集合,定理 1 环,的两个理想,的和,与交,都是,的理想.,2022/11/15,证明,(1),是,的理想.,（2）,是,的理想.,2022/11/15,定理 2,环,的任意有限多个理想的和,(因为,).,还是理想.,的任意多个理想的交还是理想.,设,为环,.令是,的所有包含,的理想所组成的集合,环,2022/11/15,定义 4,设,为环, 称环,中所有,的理想的交为由,生成的主理想,即,包含,记作,是,中包含,的最小理想.,2022/11/15,定理 3,设,为有单位元的交换环,则,证明,定理 4 整数环,的每个理想都是主理想.,2022/11/15,定义 5,设,为环,则,为,的理想,称为,生成的理想, 记作,由,2022/11/15,例 2,在,中,如果,则,是怎样,都是零,则,解 (1) 如果,的主理想?,(2) 如果,不全为零.设,为,的最大公因数,则存在,使得,从而,又因,都是,的倍数,即,所以,从而,2022/11/15,例 3,在高斯整环,中,理想,解,由哪些元素组成?,为偶数，,在,中无解，,为奇数，,2022/11/15,练习,证明：Zx中(2,x)不是主理想; Qx中(2,x)是主理想.,2022/11/15,三、商环,设,为环，,为,的理想.则,是,的加群意义下的不变子群:,（2）,，则,（3）,（1）,为,在,中的一个陪集:,（4）,的加法与乘法:,则,关于如上所定义的运算构成环.,，负元：,零元：,2022/11/15,定义6,称环,为商环，也称为环,的模理想,的剩余类环.,为交换环,则,也是交换环.,有单位元,则,也有单位元,且,如,如,2022/11/15,例4,设,为大于1的正整数,则,为,的理想,从而有商环,即商环,就是模,的剩余类环.,2022/11/15,例 5,设,为高斯整环,试确定,解：,从而,对任意的,为偶数,则,为奇数,则,所以,，这是一个仅有两个元素的域.,如果,如果,