近世代数ppt课件（全）3 1 环的定义与性质.ppt

2022/11/15,近世代数,第三章 环与域 1 环的定义与性质,2022/11/15,一、环的定义,定义1 设,是一个非空集合.,上定义了两个代数运算“+”与“.”,关于加法构成一个交换群（加群）；,(3) 乘法对加法两个分配律成立：,则称,为环,或简称,为环.,(分别称为加法与乘法),并且满足,如果在,(1),(2) 乘法结合律成立：,2022/11/15,说明：,是一个交换群.,其加法单位元常用0表示,称为环,的零元.,设,的加法逆元称为,的负元,.,的零元与,的每个元素的负元都是,记作,唯一的.,2022/11/15,定义2 如果环,的乘法还满足交换律,为交换环.,中存在元素,使得,则称,为有单位元的环,并称,为,的,定义3 如果环,单位元.,则称,2022/11/15,例 1,整数集关于数的加法与乘法,构成有单位元的交换环.,这个环的零元是数0,单位元是数1.这个环称为整数环.,同样,有理数集,实数集,复数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环,2022/11/15,定理1,设,是一个环,如果,有单位元,则,单位元是唯一的.,的单位元常记作,.,2022/11/15,二、环的性质,性质1. 规定减法:,，则有移项法则:,2022/11/15,性质2. 规定倍数: 设, 规定,则有倍数法则:对任意,2022/11/15,性质3. 设,为环, 则对,有,2022/11/15,性质4. 规定方幂: 设, 规定,则有下列指数法则:,注意: 如果环,不是交换环, 则等式,一般不成立.,2022/11/15,性质5. 广义分配律: 设, 则,2022/11/15,三、子环,定义4 若环,的非空子集,关于环,的加法与乘法也做成环，称,为,的子环,定理2,，记作,例 2,2022/11/15,例 3,数域,上的全体,阶方阵的集合,关于矩阵的加法与乘法,上的,它的零元为零矩阵, 单位元为单位矩阵.,构成环.,这个环称为数域,阶全阵环.,当,时,这是一个非交换环,2022/11/15,例 4 证明,数集,关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环.,为非平方整数, 则,关于数的加法与乘法都构成有单位元的交换环.,这个环称为高斯整环.,类似地可证, 如果,2022/11/15,四、特殊类型的环,1. 无零因子环,为环,为,的非零元素.,，使,，则称,的一个左零因子；,，使,，则称,的一个右零因子.,定义 5 设,如果存在非零元,为,如果存在非零元,为,左零因子与右零因子统称为零因子.,不是左零因子也不是右零因子的元素，,叫做正则元.,2022/11/15,例5,设,都是,的非零元,而,所以,分别为,的左右零因子.,2022/11/15,定义 6,一个没有零因子的环称为无零因子环.,定理 3 无零因子环,中,关于乘法,如果,或,则,两个消去律成立.即设,2022/11/15,2.整环,定义 7 一个交换的,有单位元,且,的无零因子环,称为整环.,例 6 整数环, 高斯整环,而偶数环为,都是整环,无零因子环.,2022/11/15,3.除环和域,定义 8 设,为有单位元,的环,如果存在,使得,则称,为,的可逆元,并称,为,的逆元.,可逆, 则,的逆元唯一, 且,的逆元也可逆.可逆元,的唯一的,且,若,逆元记作,2022/11/15,例 7,的可逆元仅有1, -1;,由于没有单位元,所以它没有可逆元.,可逆当且仅当,例 9 试求高斯整环,例 8,解,的可逆元.,2022/11/15,定义9,设,是有单位元的环,且,.如果,中每个非零元都可逆,则称,为除环.,交换的除环称为域.,例 10,都是域.,2022/11/15,例 11,为域.,是有单位元的交换环.,的每个非零元都可逆.,证明,证明 可证,下证,2022/11/15,域的除法,设,为域, 则对任意的,有,，记作,由此可定义域,的除法: 设,规定,称,为以,除,的商.,2022/11/15,且有下列运算法则:,2022/11/15,作业：,证明：若,为无平方因子的整数, 则,为域.,