近世代数ppt课件（全）1 2运算律 同态同构.ppt

2022/11/15,近世代数,第一章 基本概念2 运算律、同态同构,2022/11/15,一、运算律,定义1 设,满足结合律.,是集合M的代数运算，若,都有,，则称,例1,整数集中的加法适合结合律。,例2,整数集中的减法不适合结合律。,注：（1）并不是每一个代数运算都能满足结合律的；,（2）代数运算就是二元运算，而,至少现在是没有意义的。,2022/11/15,（3）对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果，但加括号的步骤显然不止一种：, ,加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？,2022/11/15,定义2,个元素,最后算出的结果是一样的，那么这个结果就记为,，如果所有加括号的步骤,.,注意：从定义2可知，,也可能是有意义的.,2022/11/15,定理1：,如果,的代数运算,满足结合律，,那么,有意义。,论证思路 因n是有限数，所以加括号,的步骤必是有限的，任取一种加括号的步骤,往证：,2022/11/15,定义3,设,是集合A的代数运算，若,则称,满足交换律.,的代数运算,交换律和结合律，那么,定理2 如果,同时满足,中的元的次序可以任意掉换.,2022/11/15,定义4,是一个BA到A的代数运算,是一个A,如果适合结合律 , , 适合第一分配律,则,的代数运算.若 , 对于B的任何b，A的任何,则说 , 适合第一分配律.,都有,类似地可定义第二分配律.,2022/11/15,二、同态同构,有满射的同态映射存在,则说这个映射是一个,定义9 如果对于两个代数系统,定义10,和,有映射,满足,称,是同态映射.,如果对于两个代数系统,和,同态满射,并说,和,同态.,简称,A与,同态.,2022/11/15,例4,运算均为通常意义的数的乘法,不是同态映射,是同态映射，但不是满射,2022/11/15,例4,运算均为通常意义的数的乘法,是同态映射，是满射,2022/11/15,例5,A为全体方阵的集合，运算为矩阵乘法,是同态映射，是满射,所以A与,运算为数的乘法,同态.,定理3,如果,和,同态，那么,(1)若,满足结合律 ，则,也满足结合律 ；,(2)若,满足交换律 ，则,也满足交换律 .,2022/11/15,定理4,设,和,都是代数系统，而映射,关于,以及,都是同态满射，,满足第一分配律,也满足第一分配律；,那么,（1）若,满足第二分配律,也满足第二分配律.,（2）若,2022/11/15,定义11,是个一一映射，那么称,是同构映射.,.,例6 设,通常的加法“+”，现作,，那么,是同构映射.,都是整数中,2022/11/15,定理5,如果,和,同构，那么,(1),满足结合律,也满足结合律 ；,(2),满足交换律,也满足交换律 ；,(3),满足分配律,也满足分配律 .,注意：由上述表明，同构的两个代数体系由 运算所带来的规律性是相同的.,2022/11/15,定义12,一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。,于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。,将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。,定义13,同构的代数体系由于完全相同的代数结构。,2022/11/15,研究代数体系的首要目的,就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。,而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。,2022/11/15,对于与来说的一个A与A间的同构映射，叫做一个关于的A的自同构。,例7 A=1，2，3.代数运算由下表给定:,1 2 3,123,3 33 3 33 3 3,则,是一个关于的A的自同构.,定义14,2022/11/15,思考题2,两个代数体系如果同构了，那么它们之间的同构映射是唯一的吗？,（不唯一）,2022/11/15,课堂练习：,设,证明：,不同构.,证明：（反证法）如果,设,0不在N中，矛盾。,不同构.,2022/11/15,作业：,证明：,（1）,不同构（普通乘法）.,（2）,不同构.,（3）,不同构.,（其中,为非零有理数集）.,2022/11/15,（4）设,为数域，,证明：,是同构的。,”为矩阵的加法）,（其中“+”为数组间的加法，,“,