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拉普拉斯变换(Laplace变换),拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的应用,在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段. 所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。,一、拉普拉斯变换的概念,以时间t为自变量的函数 ，它的定义域是则积分式,拉普拉斯变换,（ 是一个复变量）,称上式为函数 的拉普拉斯变换式,叫做,的拉氏逆变换,称为原函数,= ,（2） 在 的任一有限区间上连续或分段连续；,（1） 时,一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是,二、拉普拉斯变换存在定理,（3）,拉普拉斯变换,例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换,解,三、一些常用函数的拉普拉斯变换,即,根据定义,拉普拉斯变换,解,例2 求单位脉冲函数 的拉氏变换,即,根据定义,拉普拉斯变换,例3 求指数函数 的拉氏变换,解：根据定义,即,拉普拉斯变换,四、拉普拉斯变换的性质,1. 线性性质,齐次性：设 则,拉普拉斯变换的性质,拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性,叠加性：设,则,2.微分定理,设,可得各阶导数的拉氏变换为,拉普拉斯变换的性质,特别地,当,时,拉普拉斯变换的性质,3.积分定理,设,原函数 积分的拉氏变换为:,拉普拉斯变换的性质,4.时滞定理,设,平移函数的拉氏变换,拉普拉斯变换的性质,若 且 存在,5.初值定理,则,6.终值定理,若 ， 且 的所有极点全部在s平面的左半部。,则 的稳态值,拉普拉斯变换的性质,例4.应用初值定理求 的原函数 的初始值,解：（1）求,（2）求,拉普拉斯变换的性质,五. 拉普拉斯逆变换,根据拉普拉斯变换的定义,右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.,对于绝大多数控制系统，是按照下面方法求拉氏逆变换的。,五. 拉普拉斯逆变换,设,（1）只包含不相同极点时的逆变换,因为各极点均互不相同，因此 可分解成为诸分式之和,五. 拉普拉斯逆变换,式中， 为常数，称为 的留数。,即,各项系数求出后，可按下式求原函数,五. 拉普拉斯逆变换,例5.求下列函数的拉氏逆变换。,已知 ，求,解：,式中，,五. 拉普拉斯逆变换,（2）包含共轭复极点时的逆变换,如果 有一对共轭复极点，则可以利用下面的展开式简化运算。,设 为共轭复极点,式中， 的计算可根据,五. 拉普拉斯逆变换,例6.,求,解：,确定各待定系数,得,五. 拉普拉斯逆变换,（3）包含有 个重极点时的逆变换,将上式展开成部分分式,五. 拉普拉斯逆变换,上式中，,五. 拉普拉斯逆变换,例7.,求,解：,五. 拉普拉斯逆变换,六.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换 解法,利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.,应用,例8 求微分方程 满足初始条件,的解,解： 设,对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得,解得,所以,应用,