贾俊平统计学第六章抽样分布ppt课件.ppt

第六章 抽样分布,第 六章 抽样分布,6.1 统计量6.2 三种不同性质的分布 6.3 一个总体参数推断时样本统计量分布6.4 两个总体参数推断时样本统计量分布6.5 抽样平均误差,学习目标,区分总体分布、样本分布、抽样分布理解抽样分布与总体分布的关系掌握单总体参数推断时样本统计量的分布掌握双总体参数推断时样本统计量的分布掌握抽样平均误差的测度及其影响因素,6.1 统计量,统计量的概念常用的统计量,统计量的概念,定义：设X1，X2，Xn是从总体X中抽取的样本容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1，X2，Xn)，不依赖任何未知参数，则称行数T(X1，X2，Xn)是一个统计量。统计量是样本的函数统计量不依赖任何未知总体参数根据具体样本的观测值x1，x2，xn带入统计量函数，计算出来的值是一个具体的统计量的值。,常用统计量,样本均值，反映总体X数学期望的信息。样本方差、标准差，反映总体X方差、标准差的信息。样本变异系数，反映总体变异系数C的信息。其中 ，反映随即变量在以它的均值为单位时，取值的离散程度,常用统计量,样本k阶矩，反映总体k阶矩的信息。样本k阶中心矩，反映总体k阶中心矩的信息。样本偏度，反映总体偏度的信息。样本峰度，反映总体的峰度信息。,6.2 三种不同性质的分布,总体分布样本分布抽样分布,总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的可以假定它服从某种分布,总体分布(population distribution),一个样本中各观察值的分布 也称经验分布 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布,样本分布(sample distribution),样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是 样本统计量样本均值, 样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),抽样分布 (sampling distribution),6.3 样本统计量的抽样分布 (一个总体参数推断时),样本均值的抽样分布样本比例的抽样分布抽样方差的抽样分布,样本均值的抽样分布,容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布(例题分析)（重复抽样）,【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,样本均值的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）, 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）, 计算出各样本的均值如下表。给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析)（重复抽样）, = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）, 如果从总体中抽取n2的简单随机样本，在不重复抽样条件下，共有43=12个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）, 计算出各样本的均值如下表。给出样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）, = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值的抽样分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n),中心极限定理(central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),的分布趋于正态分布的过程,抽样分布与总体分布的关系,样本均值的抽样分布与中心极限定理 (例题分析),【例】设从一个均值为=10，标准差=0.6的总体中随机抽取样本容量为n=36的样本，假定该总体不是很有偏，要求：计算样本均值小于9.9的近似概率。计算样本均值超过9.9的近似概率。计算样本均值在总体均值附件0.1范围内的近似概率。,解：根据中心极限定理，样本容量30，可视为样本均值近似服从正态分布。,样本均值的抽样分布与中心极限定理 (例题分析),因此知，样本均值服从：,(1),(2),样本均值的抽样分布与中心极限定理 (例题分析),(3),样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布服从（大样本，或者总体正态条件下）正态分布,样本均值的抽样分布(数学期望与方差),样本均值的抽样分布(数学期望与方差),比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n,均值的抽样标准误,所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度，又称为抽样平均误差小于总体标准差计算公式为,重复抽样,不重复抽样,样本比例的抽样分布,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为,比例(proportion),容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布推断总体总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）,【例】设某机床5台中有2台优、3台良，即总体单位数N=5。5 个个体分别为优品A1、A2，良品B1、B2、B3 。若抽到优品，记x1；若抽到良品，记x0。当n2时，样本比例抽样分布如下表,样本比例的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）,总体分布：,抽样分布：,样本比例的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）,【例】仍用上例，采用不重复随即抽样时，机床优质品比率p的抽样分布如下表,样本比例的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）,总体分布：,抽样分布：,样本比例的抽样分布 (例题分析),【例】设 ，试给出CX的分布。,因此,样本比例的抽样分布 (例题分析),【例】假定某统计人员在其填写的报表中有2%至少会有一处错误，如果我们检查了一个由600份报表组成的随机样本，其中至少有一处错误的报表所占的比例在0.0250.070之间的概率有多大？,解：根据中心极限定理，样本容量30，可视为样本比例近似服从正态分布。总体比例=0.02。,样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布（大样本条件下）进行服从正态分布,样本比例的抽样分布(数学期望与方差),样本方差的抽样分布,样本方差的分布,对于来自正态总体N(u,2)的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为 (n-1) 的 2分布，即,卡方(2)分布(2 distribution),2分布:设X1,X2,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则统计量 服从自由度为n的2分布，记为2 2(n)。设 ，则令 ，则 Y 服从自由度为1的 2分布，即 当总体 ，从中抽取容量为n的样本，则,分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E( 2)=n，方差为：D( 2)=2n (n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的 2分布随机变量，U 2(n1)， V 2(n2),则U+V 这一随机变量服从自由度为n1+n2的 2分布,2分布(性质和特点),c2分布(图示),6.4 样本统计量的抽样分布 (两个总体参数推断时),两个样本均值之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个样本方差比的抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布,两个总体都为正态分布，即 ， 两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和,两个样本均值之差的抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布,两个样本比例之差的抽样分布,两个总体都服从二项分布分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似分布的数学期望为方差为各自的方差之和,两个样本比例之差的抽样分布,两个样本方差比的抽样分布,两个样本方差比的抽样分布,两个总体都为正态分布，即X1N(1,12)的一个样本， Y1，Y2， ，Yn2是来自正态总体X2N(2,22 )从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1) 的F分布，即,由统计学家费舍(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则设若U为服从自由度为n1的 2分布，即U 2(n1)，V为服从自由度为n2的 2分布，即V 2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为,F分布(F distribution),F分布(图示), 不同自由度的F分布,随即变量X服从F(n1,n2)分布，则数学期望和方差分布为：,F分布(F distribution),F分布（性质）,若FF(n1，n2），则 F分布在上分位点有性质：,T 统计量的分布,T 统计量的分布,定义：设X N(0,1) ，Y 2(n), 并且X，Y 独立，则 随机变量,服从自由度为n的T分布，记为TT（n）。,T 统计量的分布,设X1，X2，Xn1是来自正态总体N(,2 )的一个样本， 称,为统计量,它服从自由度为(n-1)的t 分布,T分布（性质）,T分布关于X轴（即t 0）对称，因此，T分布在分位点上有,6.5 抽样平均误差,抽样平均误差的意义抽样平均误差的计算影响抽样平均误差的因素抽样极限误差概率度,抽样误差的概念,抽样误差：是指样本指标（统计量）和总体指标（参数）之间数量上的差别。,用数学符号表示：,抽样误差的理解,抽样误差是指由于抽样的随机性而产生的那一部分代表性误差，不包括登记误差，也不包括可能发生的偏差。偏差，破坏了抽样的随机原则而产生的误差；遵守了随机原则但可能抽到各种不同的样本而产生的误差。随机误差有两种：实际误差和抽样平均误差。 实际误差：是指一个样本指标与总体指标之间的差别，这是无法知道的误差。抽样平均误差：是指所有可能出现的样本指标的标准差，也可以说是所有可能出现的样本指标和总体指标的平均离差。,一、抽样平均误差的意义,抽样平均误差的意义,抽样误差是反映统计量对参数代表性程度的；测定统计量的代表性程度的抽样误差时，把各个可能的统计量与参数之间都存在的抽样误差的所有结果都考虑进去，用平方平均数的方法便可求得标准差，即抽样平均误差。 抽样平均误差的意义：是实际可以运用于衡量统计量对于参数代表性程度的一个尺度；是计算统计量与参数之间变异范围的一个根据；在组织抽样调查中，也是确定抽样单位数多少的计算依据之一。,二、抽样平均误差的计算,（一）抽样平均数（样本平均数）的抽样平均误差,根据定义：,1.重复（回置式）抽样抽样平均数的抽样平均误差,重复抽样的情况下，样本变量 是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。,2、不重复（非回置式）抽样抽样平均数的抽样平均误差,不重复抽样的情况下，样本变量 不相互独立的。,式中：,表示第i个被抽中的单位取值为 的概率，即 其中任意一个的概率。,式中：,其中：K，L1，2，N,其中：,（二）抽样成数（样本比率）的抽样平均误差,重复抽样抽样成数的平均误差：,不重复抽样抽样成数的平均误差：,（三）类型抽样的抽样平均误差,类型比例抽样的误差，取决于各组样本单位数的总和与各组组内的方差（即各组组内标准差的平方）的平均数。,采用等比例类型抽样，则,（三）类型抽样的抽样平均误差,类型抽样在等比例抽样时的抽样误差计算公式,在重复抽样条件下：,类型抽样在等比例抽样时的抽样误差计算公式,不重复抽样条件下：,（四）等距抽样的抽样平均误差,无关标志排队等距抽样，一般可以按简单随机抽样方法计算抽样误差。,重复抽样：,不重复抽样：,（四）等距抽样的抽样平均误差,有关标志排队法等距抽样实质上可以看作一种特殊的分类抽样，不同的是分类更细致，组数更多，而在每个组之内则只抽选一个样本单位。因此，一般认为可以用类型抽样的抽样误差公式来计算抽样误差。,有关标志排队法等距抽样相当于分成Nik的n个组的等比例类型抽样。,故,（四）等距抽样的抽样平均误差,重复抽样条件下：,（四）等距抽样的抽样平均误差,不重复抽样条件下：,在等距抽样时，每个组内只抽取一个单位，因此：,（五）整群抽样的抽样平均误差,平均数的群间方差,式中， 全及各群的平均数； 全及平均数； 抽样各群的平均数； 抽样各群的总平均数； 群间方差。,（五）整群抽样的抽样平均误差,成数的群间方差,式中，Pi 全及各群的成数； P 全及成数； pi 抽样各群的成数； p 抽样各群的总成数。,（五）整群抽样的抽样平均误差,整群抽样都采用不重复抽样方法。在计算抽样误差时要使用修正系数:,抽样误差的计算公式:,三、影响抽样平均误差的因素,影响抽样平均误差的因素,样本容量n总体标准差即总体各单位的标志值的变动程度，越大，样本代表性越低，抽样平均误差也越大；反之越小抽样方式、方法回置式、非回置式，非回置式比回置式抽样的代表性高，抽样平均误差较小一般等距抽样、类型抽样比简单随机抽样、整群抽样的样本代表性要高，因而所产生的抽样平均误差较小,四、抽样极限误差（边际误差）,抽样极限误差（边际误差）的概念,样本统计量与总体参数之间的抽样实际误差可能允许的范围。等于统计量围绕总体参数波动的上限或下限与总体参数之差的绝对值。,样本总体平均数的抽样极限误差：,样本比率的抽样极限误差：,参数估计的表达式,抽样极限误差的定义式可变换为不等式：,参数估计的表达式：,概率度,概率度的概念,是抽样极限误差与抽样平均误差的比值。虽然不是概率，但可表征概率的大小。用t表示。相当于标准正态分布的其表达式为：,参数的区间估计的原理,本章小结,总体分布、样本分布、抽样分布单总体参数推断时样本统计量的分布双总体参数推断时样本统计量的分布,作业,统计学贾俊平 P174 6.1、6.3、6.4,结 束,