线性代数第六章线性空间与线性变换ppt课件.ppt
2022/11/14,1,第六章 线性空间与线性变换,线性变换,基、维数与坐标,线性空间,定义 1 设 V 是一个非空集合, R 为实数域.,八条运算规律(设 , , V ; , R):, 的积, 记作 ;,并且这两种运算满足以下,总有唯一的一个元素 V 与之对应, 称为 与,= + ;,个元素 V 与之对应, 称为 与 的和, 记作 ,如果对于任意两个元素 , V, 总有唯一的一,又对于任一数 R 与任一元素 V ,1. 定义,一、线性空间的定义,(i) + = + ; (ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V ,(v) 1 = ;,使 + = 0 ;,(iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,都有 + 0 = ;,(vi) ( ) = ( ) ;,(vii) ( + ) = + ; (viii) ( + ) = + . 那么, V 就称为(实数域 R 上的),就称为线性运算。,简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算,统称为(实)向量.,V 中的元素不论其本来的性质如何,线性空间，,例 1 次数不超过 n 的多项式的全体, 记作P x n , 即,对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成,只要验证 P x n 对运算封闭:,项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故,线性空间.,这是因为, 通常的多项式加法、数乘多,二、举例,解：,所以 P x n是一个线性空间.,例 2 n 次多项式的全体,对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空,Q x n 对运算不封闭.,间.,这是因为 0 p = 0 xn + + 0 x + 0 Q x n , 即,例 3 正弦函数的集合,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性,闭:,满足线性运算规律, 故只要验证 S x 对运算封,空间.,这是因为, 通常的函数加法及乘数运算显然,所以 S x 是一个线性空间. 检验一个集合是否构成线性空间,当然不能,则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.,加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算,只检验对运算的封闭性(如上面两例).,若所定义的,例 4 正实数的全体, 记作 R+ , 在其中定义加法及乘数运算为,加法:,数乘:,验证 R+ 对上述加法与乘数运算构成线性空间.,对加法封闭: 对任意的 a , b R+ , 有,证 实际上要验证十条:,对数乘封闭: 对任意的 R, a R+ , 有,( i ),(ii),(iii) R+ 中存在零元素 1 , 对任何 a R+ , 有,(iv) 对任何 a R+ , 有负元素 a-1 R+ , 使,( v ),( vi ),(vii),(viii),因此, R+ 对于所定义的运算构成线性空间. 下面讨论线性空间的性质.,性质 1 零元素是唯一的.,三、线性空间的性质,证明,设 01, 02 是线性空间V中的两个零元素,即对任何 V, 有 + 01 = , +02 = .,于是特,别有 02 + 01 = 02 , 01 + 02 = 01 .,所以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 .,即零元素是唯一的.,性质 4 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0 .,性质 3 0 = 0 ; (-1) = - ; 0 = 0.,性质 2 任一元素的负元素是唯一的.,在第三章中, 我们提过子空间, 今稍作修正. 定义 设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一,因 L 是 V 的一部分, V 中的运算对于 L 而言, 规,一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?,子空间.,乘两种运算也构成一个线性空间, 则称 L 为 V 的,个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和数,四、子空间,律 (i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii) 显然是满足的, 因此,因此我们有 定理 线性空间 V 的非空子集 L 构成子,空间的充要条件是:,L 对于 V 中的线性运算封闭.,满足规律(iii),(iv).,但由线性空间的性质知, 若 L 对运算封闭,则即能,只要 L 对运算封闭且满足规律 (iii)、(iv) 即可.,在第三章中, 我们用线性运算来讨论 n 维数组,这些概念和性质.,性空间中的元素仍然适用.,以后我们将直接引用,有关的性质只涉及线性运算, 因此, 对于一般的线,组合、线性相关与线性无关等等.,这些概念以及,向量之间的关系, 介绍了一些重要概念, 如线性,第二节、基、维数和坐标,在第三章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性, 特再叙述如下.,这当然也适用于一般的线性空间.,这是线性空间,定义 2 在线性空间 V 中, 如果存在 n 个元,记作 Vn .,维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间,个基, n 称为线性空间 V 的维数.,那么, 1 , 2 , , n 就称为线性空间 V 的一,线性表示.,(ii) V 中任一元素 总可由 1 , 2 , , n,(i) 1 , 2 , , n 线性无关;,素 1 , 2 , , n 满足:,若知 1 , 2 , , n 为 Vn 的一个基, 则 Vn,这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造.,并且这组数是唯一的., = x1 1 + x2 2 + + xn n ,何 Vn , 都有一组有序数 x1 , x2 , , xn , 使,若 1 , 2 , , n 为 Vn 的一个基, 则对任,可表示为,二、向量在基下的坐标,反之 , 任给一组有序数 x1 , x2 , , xn , 总有,组有序数来表示元素 .,于是我们有,之间存在着一种一一对应的关系, 因此可以用这,(x1 , x2 , , xn )T,这样, Vn 的元素 与有序数组,唯一的元素 = x1 1 + x2 2 + + xn n Vn .,定义 3 设 1 , 2 , , n 为线性空间 Vn, = (x1 , x2 , , xn)T ., 1 , 2 , , n 下的坐标, 并记作,x1 , x2 , , xn 这组有序数就称为元素 在基, = x1 1 + x2 2 + + xn n ,有序数 x1 , x2 , , xn , 使,的一个基.,对于任一元素 Vn , 总有且仅有一组,例 1 在线性空间 P x 4 中, p1 = 1, p2 = x , p3 = x2 , p4 = x3 , p5 = x4 就是它的一个基. 任一不超过 4 次的多项式 p = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 都可表示为 p = a0p1 + a1p2 + a2p3 + a3p4 + a4p5 ,因此 p 在这个基下的坐标为 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )T .,若另取一 个基,因此 p 在这个基下的坐标为,则,例 2 在二阶实矩阵组成的集合构成一个线性空间 R2 2 中,为其一个基,任意一个二阶矩阵可表示为,建立了坐标以后, 就把抽象的向量 与具体,于是, = y1 1 + y2 2 + + yn n , = x1 1 + x2 2 + + xn n ,设 , Vn , 有,系起来:,可把 Vn 中抽象的线性运算与数组的线性运算联,的数组向量 (x1 , x2 , , xn)T 联系起来了.,并且还,三、向量的运算, + = (x1 + y1)1 + + (xn + yn)n , = (x1)1 + + (xn)n ,即 + 的坐标是,( x1 , , xn )T = ( x1 , , xn )T., 的坐标是,= ( x1, , xn )T + ( y1, , yn )T ,( x1 + y1, , xn + yn )T,总之, 设在 n 维线性空间 Vn 中取定一个基,因此,我们可以说 Vn 与 Rn 有相同的结构, 我们称,也就是说, 这个对应关系保持线性组合的对应.,2. (x1, , xn )T ,1. + (x1, , xn )T + (y1, , yn )T ;,设 (x1, , xn )T , (y1, , yn )T , 则,个一一对应的关系, 且这个关系具有下述性质:,向量空间 Rn 中的向量 ( x1, , xn )T 之间就有一,1 , 2 , , n , 则 Vn 中的向量 与 n 维数组,Vn与 Rn 同构.,由例 1 可见, 同一元素在不同的基下有不同,间 Vn 中的两个基, 且有,设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空,一、定义,的关系呢?,的坐标, 那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样,基变换和坐标变换,把 1 , 2 , , n,利用向量和矩阵的形式, (1) 式可表示为,(1 , 2 , , n) ,这 n 个有序元素记作,(1) 称为基变换公式, 矩阵 P 称为由基,由于1 , 2 , , n 线性无关, 故过渡矩阵 P 可逆.,1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵.,定理 1 设 Vn 中的元素 , 在基 1 , 2 ,足关系式 (1) 则有坐标变换公式, , n下的坐标为 (x1 , x2 , , xn )T., n 下的坐标为 (x1 , x2 , , xn)T , 在基 1, 2 ,若两个基满,二、坐标变换公式,例 3 在 P x 3 中取两个基,及,求坐标变换公式.,将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.,其中,由,解,得,故坐标变换公式为,用矩阵的初等变换求 B-1A :,行变换,中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A .,计算如下:,把矩阵 ( B , A ),即得,练习：已知 P x 3 的两个基 :,求坐标变换公式.,规定多项式,对应,向量,这是P x 3与 R4 之间的一个同,别对应于向量 1, 2, 3, 4, 1 , 2 , 3 , 4 , 则有,构对应.,设多项式 p1 , p2 , p3 , p4 , q1 , q2 , q3 , q4 分,解：,所以 P = A-1B. 用矩阵的初等行变换来求 A-1B.,先求从基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4,的过渡矩阵,即要用向量组 1 , 2 , 3 , 4 表示向,量组 1 , 2 , 3 , 4 .,设过渡矩阵为 P , 则有,(1 , 2 , 3 , 4 ) = (1 , 2 , 3 , 4 )P ,记 A = (1 , 2 , 3 , 4 ), B = (1 , 2 , 3 , 4 ) , 则,上式可写为 B = AP ,初等行变换,所以过渡矩阵 P 为,因此坐标变换公式为,2022/11/14,44,T(+)=T()+T(),(2) 对任意V, 及任意实数 k，有,T(k)=kT(),则称T为V 到 W 的一个线性映射.,定义1:向量空间V到向量空间W一个映射T， 满足：(1) 对任意, V, 有,第三节 线性变换,2022/11/14,45,T(+)=T()+T(),(2) 对任意V, 及任意实数 k，有,T(k)=kT(),则称T为V 的一个线性变换.,定义2向量空间V到自身的一个线性映射T，称为V 的一个变换.若T 满足：(1) 对任意, V, 有,2022/11/14,46,向量在T下的像,记为T()或T.,2.用粗体大写字母T, A，B，C，表示线性变换,1.定义式中（1),(2）可合并为,2022/11/14,47,证：,T(+)=(+)A=A+A=T+T,设A为一n阶实矩阵，对任意Rn,令 T= A,则T为Rn 中的线性变换.,T(k)= (k)A=k(A)=k(T),故 T 为 Rn 中的线性变换.,2022/11/14,48,V 中两类特殊的线性变换：,1. 恒等变换 E,E= , V,2. 零变换 O,O= 0 , V,2022/11/14,49,判定下列变换是否为 上的线性变换,（1）是,（2）不是,2022/11/14,50,定理1设 T 是V 的一个线性变换，则(1)T 把零向量变到零向量,把 的负向量变到 的像的负向量,即,T 0=0；T()= T.,(2)T 保持向量的线性组合关系不变, 即,T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.,(3)T 把线性相关的向量组变为线性相关的向 量组.,p91,(4）线性空间Vn中的线性变换T的像集T(Vn)是线性空间Vn的一个子空间。,2022/11/14,51,定义3设 L(V) 是向量空间V的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下：,加法: (T1+T2) =T1+T2;,数乘: (kT)=kT,乘法: (T1T2)=T1(T2),对 V, kR.,注:若 T1, T2 均为 V 的线性变换，则 T1+T2，T1T2， kT均为 V 的线性变换.,线性变换的运算,p91,2022/11/14,52,二、线性变换的矩阵,T =k1 T 1+k2 T 2+ +km T m,设 V 为向量空间, dim(V)=m.假设1, 2, , m 为V 的一组基,T 为 V 的一个线性变换., =k11+k22+ +kmm,上式告诉我们,只要知道基底的像,就可以知道任何向量在这组基底下的像了.,2022/11/14,53,T1 =a111+a212+ +am1m,T2 =a121+a222+ +am2m,Tm =a1m1+a2m2+ +ammm, ,其中,简记为 T(1,2,m)=(1,2,m)A,（1）,（2）,设基底向量的像在该基底下的表示为,2022/11/14,54,定义:设T为向量空间V中的线性变换, 1, 2, , m为V的一组基,如果,给定V的基1,2,m,线性变换T 对应一个 实矩阵A.,称矩阵A为线性变换T 在基1,2,m, 下的矩阵.,2022/11/14,55,定理3设 V 的线性变换 T有,(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A,向量在基1, 2, , m下的坐标为 (x1, x2, , xm)，T在此基下的坐标为 (y1, y2, , ym), 则,2022/11/14,56,= (1, 2, , m ) A, =x11+x22+ +xmm,T =x1 T 1+x2 T 2+ +xm T m,= (1,2, ,m ),证明：,所以,2022/11/14,57,设 R3 的线性变换T为,T(x1, x2, x3),求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵.,=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3),2022/11/14,58,T1=T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31),T2=T(0, 1, 0)=(a12, a22, a32),T3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33),解：设 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵为A.即,= a111+a21 2+ a31 3,= a121+a22 2+ a32 3,= a131+a23 2+ a33 3,2022/11/14,59,故 T 在标准基 1, 2, 3 下的矩阵为,2022/11/14,60,设 R3 的线性变换T为,T(x1, x2, x3),求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵.,=(2x1-x2, x2+x3, x1),解：设 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵为A.即,2022/11/14,61,由于T1=T(1, 0, 0),T2=T(0, 1, 0)=(-1, 1, 0),T3=T(0, 0, 1)=(0, 1, 0),= (2x1-x2 ,x2+ x3, ,x1),= (2 ,0, ,1),2022/11/14,62,设 R3 的线性变换T为,T(x1, x2, x3),求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵.,=(kx1, kx2, kx3),=k(x1, x2, x3),解:由于 T 1 =k 1=(k,0,0)T,T 2 =k 2=(0,k,0)T,T 3 =k 3=(0,0,k)T,2022/11/14,63,特例：,线性变换 T=k 数量矩阵kE,恒等变换 T= 单位矩阵E,零变换 T=0 零矩阵O,1.由于线性变换与矩阵的对应,所以线性变换之间的运算(加法,数乘,乘法)对应于相应的矩阵之间的运算.,2.线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组基的情况下建立的.基不同,矩阵也不同.,2022/11/14,64,在线性空间 R3 中线性变换T关于基,的矩阵为A，其中,(1)求 T 1, T2, T3., 1, 2, 3,(2)若向量,2022/11/14,65,2022/11/14,66,1,2,m；1,2,m,定理4 设向量空间V有两组基，分别为,则B=C1AC,(1,2,m)=(1,2,m)C,且,T(1,2,m)=(1,2,m)A,T(1,2,m)=(1,2,m )B,=T (1,2,m)C,=(1,2,m)C1AC,p93dli3,=(1,2,m)AC,故B=C1AC,2022/11/14,67,设线性变换,求基,与基,在上述变换下的矩阵,2022/11/14,68,2022/11/14,69,线性变换T在R3中基e1,e2,e3下的矩阵为,求T在基1=2e1+3e2+e3 , 2=3e1+4e2+e3 ,3=e1+2e2+2e3 下的矩阵.,p94,2022/11/14,70,故线性变换 T 在 1, 2, 3 下的矩阵,B=C1AC,解：从e1, e2, e3 到1, 2, 3的过渡矩阵,2022/11/14,71,设平面直角坐标系xy逆时针旋转某角度后变为平面直角坐标系 ,平面上任意向量的旧坐标和新坐标分别为(x,y)和 ,则新旧坐标之间的关系为,三.正交变换,定义3欧氏空间 V 的线性变换T称为正交变换.若对任意, V, 均有(T, T )=( , ),2022/11/14,72,A,B,C,D,E,F,2022/11/14,73,此映射为一个线性变换,它在标准基下的矩阵为,并且为一个正交变换(通常称为坐标旋转变换),常记为 .,2022/11/14,74,定理2设T是欧氏空间的一个线性变换，则下面 几个命题等价：(1)T是正交变换；(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的 V, |T|=| |; (3)如果1,2,m是V的标准正交基,则T1, T2,Tm也是V的标准正交基；(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.,2022/11/14,75,定义4设 T 是向量空间 V 的一个线性变换,如果存在数 及 n 维非零向量 ,使得T = 成立,则称 为T的一个特征值,而 称为 T 属于特征值 的一个特征向量.,2.特征向量的求法在第四章具体讲述.,四、线性变换的特征值与特征向量,T (k )= kT = k = (k ),1.若 为 T的属于特征值 的一个特征向量, 则k (k0)也为T的属于特征值 的特征向量.,2022/11/14,76,证：若 1, 2, , m为T 的m个线性无关的特征向量,且构成 V 的基，由于 Ti= ii,定理5 设 V 为 m 维向量空间,T为 V 的一个线性变换. 那么存在 V 的一组基，使得 T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 T 有 m 个线性无关的特征向量.,p95,2022/11/14,77,2022/11/14,78,2022/11/14,79,线性变换的特征值,特征向量 的求法：,设1,2,m为V 的一组基,(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A, =x11+x22+ +xmm,T=x1T1+x2T2+xmTm,2022/11/14,80,=(1,2,m)A,=,=(1,2,m),=(1,2,m),满足：,A,=,即 (A E)X= 0,2022/11/14,81,(A E)X= 0,所以通过解方程组,指定基底下的坐标X,然后将写成线性组合的形式.,特征多项式,找到属于线性变换T的特征值 和特征向量在,因此求线性变换的特征值和特征向量即是求线性变换在指定基下的矩阵的特征值和特征向量.,2022/11/14,82,设T是实数域上二维线性空间V的线性变换,如果T在一组基 下的矩阵是A,求T的特征值和特征向量.,解:由,|A E|= 0 得,2022/11/14,83,解以A-7,E 为系数矩阵的齐次方程组:,（1,1）,故 为线性变换T的属于特征值 7 的一 个特征向量,2022/11/14,84,解以A+2,E 为系数的齐次方程组:,为线性变换T的属于特征值-2的一 个特征向量.,事实上,所有 都是线性变换T的属于特征值-2的特征向量.,2022/11/14,85,设T是R3上的线性变换,T在标准基底下的矩阵 为A, 求T的特征值与属于各特征值的所有特征向量.,
