线性空间定义ppt课件.ppt

第三章 线性空间,3.1 线性空间的定义,3.2 线性空间基与维数,3.3 线性映射与线性变换,3.4 特征向量与矩阵的对角化,3.1 线性空间的定义,一 线性空间定义,二 线性空间例子,三 线性空间的子空间,设V是一个非空集合，,在V上任意两元素元,运算 + 满足如下性质：,交换律,有,结合律,有,使得对任意,对任意,存在,使得,1）,2）,3）,存在,4）,一 线性空间定义,定义1,对任意的,对任意的,有,定义运算并记为,且,设R为实数域，,对V中的任意元素,及R中的任意元素k,定义运算并记为,且,运算 满足如下性质：,”,“1律”,5）,结合律,6）,都有,7）,分配律,都有,8）,分配律,都有,则称V为R上的一个线性空间，简称为实线性空间，线性,空间中的元素称为向量。,对任意的,对任意的,对任意的,运算+称为加法运算，,称为数乘运算，,它们统称为,线性运算。,称为零向量，,若,则称,为,的,负向量，,并把,的负向量记为,。,注,（1）,零向量 是唯一；,设,也是零向量，则,由零向量 可得,设,都是 的负向量，则,（3）,由负向量我们可以定义向量间的减法“-”：,（2）,负向量是唯一的；,（4）,对数零,及任意向量,有,（5）,若数,对,有,则必有,（6）,思考是否存在只有一个向量的线性空间？,若存在只有一个向量的线性空间-这唯一的会是谁？,称这样的空间为零空间。,存在-,这唯一的向量不是别的只能是零向量，,（4）,对数零,及任意向量,有,（5）,（6）,称这样的空间为零空间。,进一步思考实向量空间的向量个数。,思考是否存在一个向量的实线性空间？,存在-,这唯一的向量不是别的只能是零向量，,要么一个（零空间），要么无数个（非零空间）。,（7）,若实线性空间不是零空间，,（零空间），,则实线性空间,必要无数个向量。,设实线性空间V不是零空间，,则存在非零向量,对不同实数,必有,（若,这意味着,导致,矛盾）。,对实数,当实数,遍历所有实数时,在,中产生,无数个向量。,综上所述对于实线性空间-要么只有一个向量,要么无数个向量（非零空间）。,（8）,定义中的实数域可以是其它域如复数域、,有限域,相应地称V为复数域、有限域上的线性空间。,本书不作声明，,都是指实数域上线性空间。,简称线性空,间。,不过本书关于实数域上线性空间大部分理论,对于一般域上线性空间也成立！,二 线性空间例子,例1,表示全体n维实向量形成的集合，即,关于n维实向量加法和数乘是线性空间。,即对,显然在 零向量,向量,的负向量,注,是最重要的实线性空间。,类似有复线性空间,例2,设,是复数集，,则复数集,关于复数的加法,和实数乘复数为一个实线性空间。,其中,则,在实线性空间,中零向量为数字0；,的负向量,例3,阶实矩阵全体,关于矩阵线性运算是,一个线性空间(实矩阵空间）。,特别的,阶实方阵全体,关于矩阵线性运算是一个线性,空间。,中的零向量为,零矩阵。,向量,的负向量,注,是实矩阵空间,例4,定义在集合,实值函数全体记为,对,定义,则,关于“+”,与,成为一个线性空间(函数空间）。,在函数空间,零向量为常值函数0，,即,对任意,有,向量,的负向量是,例5,实系数多项式全体记为,则,关于,多项式的加法于数乘多项式成为一个线性空间.,不妨假设,中零向量为零多项式,向量,的负向量,例6,设为V为空间里有向线段全体形成的集合,有向线段定义+：,定义数乘,长度是,长度的,倍。,方向是,当,时与,相同;,当,时与,相反。,空间的有向线段集V关于加法数乘是一个线性空间,V中的零向量为零线段（长对为零的线段）,的负向量,设V是一个线性空间，,V 的非空子集W关于V的,三 线性空间的子空间,定义2,加法与数乘成为一个线性空间，,则称W是线性空间V的一个,线性子空间，（简称子空间）。,注,（1）,子空间本身就是一个线性空间。,为子空间是它在一个更大的线性空间里，,之所以称其,而且两者线性运,算一样。,（2）,任何线性空间V都有子空间V和,（零子空间），,它两成为V的平凡子空间。,三 线性空间的子空间,线性空间V 任意子集W未必是V的子空间。,例线性空间,的子集,不是,的子空间。（为什么？）,思考,线性空间的一个子集不含零向量，这个,子集是否有可能成为子空间。,定理1,线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当,1）,对任意的,有,2）,对任意的,有,注,（1）,线性空间V 的非空子集W是V的子空间,当且仅当对加法与数乘封闭。,（2）,若,则W一定不是V的子空间（为什么？）。,推论1,线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当,对任意的,有,推论1*,线性空间V 的非空子集W是V的子空间当且仅当,对任意的,有,例7,设S是n元齐次线性方程组,解向量集，,即,其中,为方程组的系数矩阵。,显然,是,的非空子集，且,有,对任意,即,对任意,有,即,定理 2,n元齐次线性方程组解向量集,是,的子空间。,思考,n元非齐次线性方程组解向量集,是否是,的子空间。,例9,阶上（下）三角方阵全体是,思考,的一个非平凡,线性子空间。,记该子空间为,（1）,请举出,一的个非平凡线性子空间，,这样的子空间是 的一个非平凡线性子空间吗？,（2）,一般地，若,是 的一个（非平凡）子空间，,是 的一个（非平凡）子空间,那么,是否是 的一,个（非平凡）子空间？,例8,复数集,关于复数的加法与实数乘复数成,实线性空间，,的真子集实数集,是,的一个非平凡,线性子空间。,例10,定义在区间,若,实值函数全体，,我们前面知道它关于函数的加法与常数乘函数形成,线性空间。,用,表示定义在区间,连续实值,函数全体；,表示定义在区间,可导实值函数,全体。,则,是,的一个非平凡线性子空间；,是,的一个非平凡线性子空间；,是,的一个非平凡线性子空间。,例11,例12,有向线段全体是V的一个非平凡子空间。,表示次数小于n的实系数多项式全体，,则,是,的一个非平凡线性子空间。,V为是空间有向线段全体关于有向线段,的加法与数乘形成的线性空间。则在一个平面里的,