线性空间基和维数ppt课件.ppt

2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基与坐标,6.3 维数 基 坐标,引入,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,（坐标问题）,6.3 维数 基 坐标,一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义,设V 是数域 P 上的一个线性空间,则称向量 可经向量组 线性表出；,使,6.3 维数 基 坐标,若向量组 中每一向量皆可经向量组,线性表出，则称向量组,可经向量组 线性表出；,若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组,为等价的,，使得,则称向量组为线性相关的；,6.3 维数 基 坐标,（4）如果向量组 不是线性相关的，即,只有在时才成立，,则称为线性无关的,（1）单个向量 线性相关,单个向量 线性无关,向量组线性相关,中有一个向量可经其余向量线性表出,2、有关结论,6.3 维数 基 坐标,（2）若向量组线性无关，且可被,向量组 线性表出，则,若 与 为两线性无关的,等价向量组，则,（3）若向量组线性无关，但向量组,线性相关，则 可被向量组,线性表出，且表法是唯一的,6.3 维数 基 坐标,因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量,1、无限维线性空间,若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，,则称 V 是无限维线性空间,例1 所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是,无限维的.,1，x，x2，xn1,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3 维数 基 坐标,2、有限维线性空间,n 维线性空间；常记作 dimV n .,（1）n 维线性空间：,若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是,任意 n1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个,注：零空间的维数定义为0.,dimV 0 V0,6.3 维数 基 坐标,在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量,（2）基,，称为 V 的一组基；,下的坐标，记为,（3）坐标,设 为线性空间 V 的一组基，,则数组，就称为 在基,若,6.3 维数 基 坐标,有时也形式地记作,注意：,唯一确定的即向量 在基下的坐标唯一的.,但是，在不同基下的坐标一般是不同的,6.3 维数 基 坐标,3、线性空间的基与维数的确定,定理：若线性空间V中的向量组 满足,） 线性无关；,） 可经 线性表出 ,则V为n 维线性空间， 为V的一组基,6.3 维数 基 坐标,证明： 线性无关，,V的维数至少为 n ,任取V中 n1个向量 ，,由)，向量组 可用向量组,若是线性无关的，则n1n，矛盾,线性表出.,V中任意n1个向量是线性相关的,故，V是n 维的， 就是V的一组基,6.3 维数 基 坐标,例23 维几何空间R3,是R3的一组基；,也是R3的一组基,一般地，向量空间,为n维的，,就是 Pn 的一组基称为Pn的标准基.,6.3 维数 基 坐标, n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个, 任意两组基向量是等价的,例3（1）证明：线性空间Pxn是n 维的，且,注意：,线性无关的向量都是V的一组基,（2）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1,1，x，x2，xn1 为 Pxn 的一组基,也为Pxn的一组基,6.3 维数 基 坐标,证:（1）首先，1，x，x2，xn1是线性无关的, 1，x，x2，xn1为Pxn的一组基，,从而，Pxn是n维的.,其次，,可经 1，x，x2，xn1线性表出,注：,在基1，x，x2，xn1下的坐标就是,此时，,6.3 维数 基 坐标,（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的,即,f(x)可经1，xa，(xa)2，(xa)n1线性表出.,1，xa，(xa)2，(xa)n1为Pxn的一组基,在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是,注：,此时，,6.3 维数 基 坐标,若把C看成是实数域R上的线性空间呢？,而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为,例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性,空间的维数与一组基；,解：,复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的,一组基；,它的一组基,注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的， 数1就是它的一组基.,6.3 维数 基 坐标,解：令,有,例5求数域P上的线性空间的维数和一组基,6.3 维数 基 坐标,矩阵 在基 下的,坐标就是,一般地，数域P上的全体 矩阵构成的线性空间,为 维的，,注：,就是 的一组基,矩阵单位,6.3 维数 基 坐标,下的坐标，其中,例6在线性空间 中求向量 在基,6.3 维数 基 坐标,练习,1.已知全体正实数R对于加法与数量乘法：,构成实数域R上的线性空间，求R的维数与一组基.,2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里,6.3 维数 基 坐标,1 解: 数1是R的零元素.,即 x 可由 a 线性表出.,任取R中的一个数 a , 且 ，则a是线性无关的.,故R是一维的，任一正实数就是R的一组基.,6.3 维数 基 坐标,2 解:,6.3 维数 基 坐标,下证线性无关. 设,得齐次线性方程组,其系数行列式,6.3 维数 基 坐标,方程组只有零解：,故线性无关.,又由知，任意均可表成的线性组合，,所以V为三维线性空间，就是V的一组基.,6.3 维数 基 坐标,