线性代数1矩阵概念ppt课件.ppt
矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，它广泛地运用于自然科学、工程技术、现代经济管理等各个领域。本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是矩阵的概念及运算、矩阵的初等行变换及逆矩阵。,第二章 矩 阵,2.1 矩阵的概念,【学习本节要达到的目标】,1、理解矩阵概念。2、了解常见的矩阵类型。,在某些问题中 所有数据可以用一个矩形表完整表示 比如线性方程组可以对应一个矩形表,这个矩形表就称为矩阵,一、矩阵概念的引入,例1 设有线性方程组,这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下,这个阵列决定着给定方程组是否有解 以及如果有解 解是什么等问题 因此对这个阵列的研究就很有必要,由此得到排成4行4列的产值阵列,它具体描述了这家企业各种产品各季度的产值 同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况,例2 某企业生产4种产品 各种产品的季度产值(单位 万元)如下表,由此得到一个m行n列阵列,它描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系,例3 生产m种产品需用n种材料 如果以aij表示生产第i种产品(i1 2 m)耗用第j种材料(j1 2 n)的定额 则消耗定额可以用一个矩形表表示,例4. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,四城市间的航班图情况可用表格来表示:,为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,定义(矩阵),由mn个数aij(i1 2 m j1 2 n)排成的一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵（matrix） 记作,其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素,一般情况下 我们用大写黑体字母A B C等表示矩阵也可以记作Amn或 (aij)mn.,如上述例1所得的矩形阵列就是一个45矩阵，可记为A45或 (aij)45，即,A45 =,定义(矩阵相等),如果两个矩阵A B有相同的行数与相同的列数 并且对应位置上的元素均相等 则称矩阵A与矩阵B相等 记为AB 即如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n) 则AB,二、矩阵的基本关系,例如,它们都是23矩阵。仅当a=1, b=2, c=2, d=0, e=3, f =5时，矩阵A和矩阵B才是相等的，即A=B.,定义：对于矩阵A=(aij)mn ：,当m=1时，表示只有一行的矩阵，叫做行矩阵(row matrix)， 记为A=a1 a2 an,所有元素都是零的矩阵称作零矩阵(zero matrix)， 记作Omn或O.,当n=1时，表示只有一列的矩阵，叫做列矩阵(column matrix)，记为,注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,当m=n时，称为n阶矩阵或n阶方阵(square matrix).记为An,即,定义：对于矩阵A=(aij)mn ：,对于n阶方阵，当n=1时，即一阶方阵就是表示一个数a11.,在n阶方阵中，从左上角到右下角的n个元素称为主对角线元素（diagonal）.,主对角线一侧的元素全为0的n阶方阵称为三角矩阵。上三角矩阵（upper triangular matrix）： 非零元素只出现在对角线及其上方。,下三角矩阵（lower triangular matrix）: 非零元素只出现在对角线及其下方。,对角矩阵（diagonal matrix）： 既是上三角矩阵又是下三角矩阵。,单位矩阵（identity matrix）：主对角线元素全为1，其余元素都为0的n阶方阵。,记为En或E.,小 结,(1)矩阵的概念,(2)矩阵相等,如果A(aij)mn B(bij)mn 且aijbij(i1 2 m j1 2 n) 则AB,(3) 特殊矩阵,方阵;,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,Omn,练习：P22.A组1、2、3,2.2 矩阵的运算,1、掌握矩阵的加法、数乘矩阵的运算；2、掌握矩阵乘法、矩阵转置的运算； 3、理解并掌握以下重要结论：ABBA；(AB)T=BTAT.,【学习本节要达到的目标】,定义(矩阵加法),一、矩阵的加法,两个mn矩阵A(aij)mn B(bij)mn将它们的对应位置元素相加，得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和 记为AB 即 AB(aij)mn(bij)mn(aijbij )mn ,例1 设有矩阵A与矩阵B，,3+1,5+3,7+2,2+2,0+1,4+5,3+7,2+0,0+0,1+6,2+4,3+8,4,4,0,8,1,7,9,9,6,2,10,11,解,求A+B,注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.在这里我们把两个行列分别相等的矩阵称为同型矩阵.,矩阵加法的运算规律设A,B,C,O都是mn矩阵，容易验证下列运算规律：,解,例2 设有矩阵 求A+O.,解,根据矩阵加法的定义，,对于矩阵A=(aij)mn，我们称矩阵(-aij)mn为矩阵A的负矩阵，记作-A.,利用矩阵的加法和负矩阵，可以定义矩阵的减法：,例3 已知,求A-B.,解,根据矩阵减法的定义，,例4 设有矩阵A与矩阵B，,求满足矩阵方程A+X=B的矩阵X.,解,由A+X=B得X=B-A，所以,定义(数乘矩阵),以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵 称为数k与矩阵A的数乘矩阵 记为kA 即如果A(aij)mn 那么 kAk(aij)mn(kaij)mn,二、数乘矩阵,例5 设有矩阵A，,解,求1.5A .,解,例6,练习：设,求3A-2B.,解,数乘矩阵的运算规律设k和l是两个常数，A和B均是mn阶矩阵，容易验证下列运算规律：,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算。,解由A2XB 得到,小 结矩阵加法与矩阵数乘的运算规律,设A B C O都是mn矩阵 k l是数 则,(1)ABBA (2)(AB)CA(BC) (3)AOA (4)A(A)O,(5)k(AB)kAkB (6)(kl)AkAlA (7) (kl)Ak(lA) (8)1AA; 0AO.,矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。,
