第四章转动参考系ppt课件.ppt

Chapter 4 转动参考系,质点在非惯性系中的运动规律。也就是研究参照系具有加速度时，如何描述质点的运动规律。,基本要求,深刻理解转动参照系中相对运动、牵连运动、牵连加速度、科里奥利加速度、牵连惯性力、科里奥利力等基本概念，特别是科里奥利力产生的原因及实质；熟练掌握绝对速度、绝对加速度和相对运动微分方程及其应用 。 本章重点 质点在转动参照系中相对运动微分方程的建立和求解。,Chapter 4 转动参考系内容,4.1 平面转动参考系,4.2 空间转动参考系,4.3 非惯性系动力学(二),4.4 地球自转产生的影响,4.1 平面转动参考系,设平面转动参照系 以角速度 绕垂直于自身的轴转动，如图所示，在动系 上取坐标系Oxyz，动系与静系原点O重合，z轴为转动轴，平面上任一点P的位矢为：,质点相对静止坐标系S的速度为：,相对速度，如P在平板上不动，此项速度为零。,牵连速度,是由于平板转动而带着P点一起转动所引起的 相对静系的速度。,即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。,提问：为什么这里的速度表达式与第三章中定点（或定轴）转动的速度表达式： 比较多了 ？,答：因为在刚体中，组成刚体的各个质点，都只随着刚体一起转动，它们与整个刚体并无所谓相对运动。,相对加速度,1） 为质点P对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成：,2） 是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如平板以匀角速度转动，则此项加速度为零。,现在求P点对静止坐标系S的加速度：,3） 沿矢径指向O点，它是由于平板以角速度 转动所引起的向心加速度。,2）、3）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连加速度。,4） 其方向则垂直于 与 所决定的平面，在平面问题中， 恒沿k方向，故 为位于x、y平面内的矢量，其指向由右手螺旋法则决定（如图所示）。这个加速度叫科里奥利加速度，简称科氏加速度。,科氏加速度是由于在S系中的观察者看来，牵连运动（即 ）可使相对速度 发生变化，而相对运动（即 ）又同时使牵连速度 中的 r 发生改变，即科氏加速度是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的。如果 与 两者中有一个为零，则此项加速度为零。,故在平面转动参照系中，绝对加速度为相对加速度、牵连加速度及科里奥利加速度三者的矢量和。即：,牵连加速度,科里奥利加速度,注意：科氏加速度必须是质点相对运动和牵连运动同时存在才能产生。,相对加速度,4.1 一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速 绕定点O转动，某一点P以相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，P点走过了AB，如已知 ，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。,解：如图建立坐标系，P点的牵连速度和相对速度为：,绝对速度为：,绝对速度的大小为：,与三角形斜边的夹角。,在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：（ 是一恒矢量）,其加速度的大小为：,与三角形斜边的夹角。,4.2 空间转动参照系,空间转动参照系的角速度 的量值和方向都可以改变，转动参照系 的原点和静止坐标系S的原点O重合，因此 恒通过O点。令i、j、k为固着在 系三个坐标轴上的单位矢量，故任一矢量可写为：,由泊松公式： 代入上式得：,相对变化率，G相对于转动参照系的变化。,牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度 转动 并带动G一起转动而引起的变化。,故在转动参照系中，一个矢量G的绝对变化率，等于相对变化率和牵连变化率的矢量和。,如空间转动参照系 的原点与固定参照系S的原点O重合，并以角速度 绕着O转动，则对S系而言，一个在系中运动的质点P的绝对速度为：,相对速度，是质点P相对于 系的速度。,牵连速度 ，是由于 系转动带动 r 一起转动而 引起的速度。,故在转动参照系中，质点的绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。,现在求质点P对S系的绝对加速度,将 的表达式代入上式得：,相对加速度，是质点P相对 系的加速度。,牵连加速度, 由 的大小发生改变所产生的，如参照系 以 恒定角速度转动，则此项为零；,是由于 系以角速度 转动所产生的。,科里奥利加速度,是由于质点P对转动的 系有一相对速度，从而 与 相互影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。,对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与科里奥利加速度三者的矢量和。,注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。,如果 系以匀角速转动， 是一恒矢量（量值和方向都不变）以OB表示之，如图所示，故,在此情况下，加速度简化为：,则：,对于更一般的情况，即 系的原点 不与S系的原点o重合，且 相对o的速度为 ，加速度为 ，则：,式中 为质点相对 的位矢。,4.3 非惯性系动力学（二）,一、平面转动参照系 相对平面转动参照系运动的质点，它的绝对加速度为：,于是：,即对平面转动参照系来讲，如果添上三种惯性力：则牛顿运动定律对 系在形式上就仍然成立。,现在来看这三种惯性力的物理意义：,1) 惯性力: 是由于 系作变角速转动所引起的，如果转动是匀速的（即 的量值是常数），则此项惯性力为零。 2) 惯性力: 叫做惯性离心力，是由于 系的转动所引起的，惯性离心力的量值和 平方及质点离开坐标原点O的距离成正比，它的方向自坐标原点O沿矢径向外。如图所示。 3) 惯性力 叫做科里奥利力，是由于 系的转动及质点对此转动参照系又有相对运动所引起的，科里奥利力的量值和 系转动的角速度 及质点相对于 系的速度 成正比，方向垂直于 及 所决定的平面，并按右手螺旋法则及负号决定指向。如图所示。,例：在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定角速度 绕通过管子一端的竖直轴转动，如果起始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反作用力。,解：选取非惯性参照系，如图建立坐标系 ，小球受力分析所示，由平面转动参照系的动力学方程得：,小球运动微分方程的分量形式为：,（1）式的通解：,利用初始条件：,故小球沿管的运动规律为：,由（2）（3）得管对小球的约束反作用力为：,选用惯性参照系，建立柱坐标系，小球受力分析如图所示，运动微分方程为：,因为： =常数，故 ，则上式简化为：,结果与选用惯性系完全相同。,二、空间转动参照系,空间转动参照系也是非惯性参照系，所以要加上适当的惯性力后，才能使牛顿运动定律仍然成立。 当 系的原点与S系的原点o重合，且 系绕o点以角速度 转动， 不一定是恒矢量，则质点对S系的绝对加速度为：,于是：,或：,由于选取了非惯性系系，产生了三种惯性力：,惯性力： 它与 及 r 垂直，当 为常矢量时 此项为零。,惯性力： 它与惯性离心力有关，在任意瞬时它都与该时刻 的转动轴垂直，并离开转动轴向外。所以叫离轴惯性力。,惯性力： 科里奥利力，它与 及 所决定的 平面垂直。,如果 系以恒定角速度 转动，则相对运动微分方程为：,如果 系的原点 不和S系的原点o重合，且 对o的加速度为 其相对运动微分方程为：,式中 是相对 的位矢。,三、相对平衡,如果质点P相对于系不动，则：有相对运动动力学方程得： 得： 即当质点在非惯性系中处于平衡状态时，主动力、约束反力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零，我们通常把这种平衡叫做相对平衡。 在行驶的火车中（ 系）的观察者，看悬挂在车厢中的小球，就是一个相对平衡问题。,4.4 地球自转所产生的动力学效应,考虑地球绕地轴自转时，可认为它的角速度是沿着地轴的一个恒矢量，即 ，因而只需考虑离轴惯性力和科里奥利力所产生的影响。如果质点相对于地球是静止的，即 ，则只需考虑离轴惯性力的影响。,由于离轴惯性力的作用，使重力常小于引力，重力随着纬度发生变化，在纬度越小的地方，重力越小，只有在两极的地方，重力和引力才相等。另外，除两极和赤道外重力的方向也不和引力的方向一致，引力的作用线通过地球的球心，而重力的作用线一般并不通过地球的球心。如图所示。,在赤道上:=0， 最大，重力W最小，指向地心；，Ft，重力W，方向不指向地心； 在南北极：=/2，Ft = 0，重力W最大=F，且指向地心。,一牵连惯性力,由于离轴惯性力的作用，重力的量值与引力有差别，重力的方向也随着纬度变化，但是这种差别和变化都比较小，所以在研究质点相对于地球的运动时，可以只考虑科里奥利力的效应。,二、科里奥利力,如图所示，一质点在地球北半球的某点P上，以速度 相对地球运动，P点的纬度为，SN是地轴，地球自转角速度沿着该轴，单位矢量i、j、k固着在地球表面上，且i水平向南， j水平向东，k竖直向上，根据上面的讨论， 很小，可忽略含有 项的惯性力，认为重力mg通过地球球心。,质点运动微分方程为：,于是质点P在三个坐标轴方向的运动微分方程为：,F 代表重力以外的作用力,利用上式可以定性或定量地研究科里奥利力的影响。,三、地球上的自然现象,假定质点从有限的高度h处自由下落，我们可以认为g值不变，且重力以外的： ，则动力学方程变为：,初始条件为：,利用初始条件对（1）式积分得：,（1）,（2）,1）落体偏东问题,将（2）代入（1）得：,很小(7.310-5弧度/秒)，忽略 项得：,（3）,（4）,利用初始条件对（4）式积分两次得：,（5）,消去 t 得轨道方程为：,这是位于东西竖直面内的半立方抛物线。质点自高度为h处自由下落，当它抵达地面时，其偏东的数值为：,由上式看出：h为常数时 在赤道上（=0）：偏东的数值最为显著； ； 而在两极：=/2，则 y=0 .,2）河流的冲刷与轨道的磨损,例如 自北向南，科里奥利力则指向西方，这种长年累月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，因而比较陡峭。双轨单行铁路，由于右轨所受到的压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而单行铁路的左轨磨损较甚。如图所示。,当物体在地面上运动时，在北半球上科里奥利力的水平分量总是指向运动方向的右侧，即指向相对速度的右方。,科里奥利力：,3）贸易风,在地球上，热带部分的空气，因热上升，并在高空向两极推进，而两极附近的空气，则因冷下降，并在地面附近向赤道附近推进，形成了一种对流，彼此交易，故称为贸易风。但由于受到科里奥利力的作用，南北向的气流，却发生了东西向的偏转。,在北半球，地面附近自北向南的气流，有朝西的偏向，成为东北贸易风。在南半球，地面附近自南向北的气流，也有朝西的偏向，而成为东南贸易风。如图所示。大气上层的反贸易风，在北半球为西南贸易风，在南半球则为西北贸易风。,4）大气中的涡旋,在地球上，气体和液体在运动过程中，常出现“旋涡”如果读者比较注意收视天气预报，就会注意到常出现涡旋云系在日常生活中，也会见到许多“涡旋”现象，其中有些是不明显的，有些则是明显的，例如快速旋转的小范围的旋风最常见的是水池在向下水管排水时出现的旋涡各种不同的原因，可以形成不同的旋涡，但也有些旋涡有明显的特点水池排水时的旋涡，有一个从无到有的生成过程，而且不同地方、不同水池的旋涡都有相同的绕向,水池在排水时，在排水管口附近形成一个低压区，水池中的水从各方向向低压区运动，形成向低压区会聚的水流如图所示，在水流向低压区的过程中，还受科里奥利力的作用使流线向右弯曲(在北半球)，形成按逆时针方向旋转的旋涡,在大气中，也会出现低压区或高压区空气从四周向低压区运动时，就会出现类似的气旋；当空气从高压区向外运动时，会出现发散的向反方向旋转的气旋,向低压区汇聚的水流,5） 傅科摆 一种可以显示地球自转、摆线很长的单摆，1851年傅科在巴黎首先制成，他第一次试验时，摆长为67米，摆锤是质量为28公斤、直径为30厘米的铁球。,定性解释：考虑在地球北极有一单摆，摆长为l，地球以角速度 旋转，对惯性系（太阳系）来说，摆只受重力作用，摆面不发生旋转。而从地球上观察，因地球自转，单摆除受重力作用外，还受到惯性力的作用，主要是科里奥利力的作用。,如图所示，当摆由左至右摆动时，摆受到的科里奥利力垂直纸面向外，摆球不能沿直线由A到B，而是偏离AB，由A沿曲线运动到B。,如图所示,当摆由右向左摆动时，摆受到的科里奥利力垂直纸面向里，摆球不能沿直线由B到C，而是偏离BC，由B沿曲线运动到C，这样运动下去，摆球运动轨迹为如图所示的形状。,每振动一次摆平面偏转一个角度，计算表明：单摆振动面旋转周期为：,在北极摆平面旋转的角速度等于地球自转的角速度。在北半球摆面顺时针旋转，在南半球摆面逆时针旋转。,6） 潮汐现象,大家知道潮汐现象主要来自月球的引力，其次也有太阳引力的作用当人们认识到月球引力的作用时，可能会想，在面向月球的一面海洋的水面将凸起(图1所示)，随着地球的自转，凸起的水面相对于陆地运动，呈现为涨潮和落潮按照这种想法，每天只能有一次涨潮和落潮然而，在任何地方每天都有两次涨潮和落潮从观察到的现象判断，面向月球和背向月球的一侧各有一凸起的水面，潮汐现象不只是引力的作用,图1 凸起的水面 图2 地月系的质心,地球与月球在相互引力的作用下，绕它们的质心运动(图2所示)月球对地球上各质点的引力的合力，为地球绕地月系统的质心(C点)运动提供向心力在一个以C点为参考点，并随地月连线为坐标轴的参照系观察，地球上各质点除受月球引力的作用外，还受惯性力的作用。,为简单起见，暂不计地球的自转，认为地球相对于转动参照系是静止的，则惯性力只是惯性离心力在转动参照系中观察，引力与惯性离心力的分布是不均匀的在背向月球的一侧引力较小、惯性离心力较大，因而海水被驱动至远离月球的一端形成一个凸起的水面；在C点右边的区域中，引力与惯性离心力的方向皆指向月球，因而有一个更高的凸起的水面(图3所示),如上所述，陆地因地球自转而相对于两个凸起的水面运动，呈现为每天两次涨潮和落潮此外，因海水与地壳之间的相互作用，地球的自转必带动海水转动，故水面的最高处并不在正对月球的方向，而是略向东偏斜,图3 地球上的水面分布,研究：在非惯性系中的 质点动力学问题,1： 存在什么问题？,2：用什么方法研究？,1-4、 质点相对运动动力学基本方程,问题： 分析置于光滑水平圆盘上质点的运动。初始系统静止。,一、质点相对运动动力学基本方程,动系(非惯性参考系),科氏惯性力：(Coriolis inertial force),牵连惯性力:(convected inertial force),2.动点相对静止,4.动系匀速直线平移,1.动点相对平衡,3.动系平移,二、基本方程的特殊情况,基本方程：,科氏惯性力的演示,科氏惯性力作用效应的演示实验,动点: 圆盘边缘上的一点 动系: 电机定子,当动点运动到下半圆时,例：已知 ，求：1、运动微分方程; 2、证明小球在环的右侧运动; 3、管壁侧面压力。,解：取圆环为动系小球为动点,由（1）式得：,由（2）式得：,解：取甲虫M为动点,板为动系,例题：若边长为2L的正方形板以匀角速 绕铅垂中心轴O转动，甲虫 M 相对于板以匀速 u 爬动。确定当甲虫运动到AB的中点时，板作用在甲虫上的摩擦力的方向。,摩擦力什么方向?,三、地球自转的影响,：指向东：指向北：指向天,固连在地球表面的坐标系,1. 地球自转对重力的影响,F 为地球的引力,为绳索的拉力,为牵连惯性力,小球相对地球静止,结论：重力的大小和方向与纬度有关。 当=45时, 0.1,2. 地球自转对自由落体运动的影响,结论：自由落体偏东,问题：落体偏东多少？ 自由落体仅偏东吗？,：指向东：指向北：指向天（重力加速度的反方向）,设：物体从 h = 1 km 的高度自由下落,问题： 有阻尼铅垂下落质点运动情况如何?,思考：如果物体铅垂上抛，质点运动情况如何,3. 地球自转产生的其它影响,(1) 对抛体运动（如炮弹运动）的影响,设：在北半球炮弹初始向正北方向运动,特点：质点在北半球运动时， 向其运行方向的右侧偏移,炮弹运动数值仿真结果：（参数见教材）,（2）傅科摆,特点：质点在北半球运动时， 向其运行方向的右侧偏移,傅科用摆平面的转动证明了地球的自转,北京天文馆,